Sáng kiến kinh nghiệm 2019

kì thi trung học phổ thông chuyển đổi từ tự luận trong trắc nghiệm, cần quý trọng thời gian làm bài, vì vậy phân tích những sai lầm trong quá trình giải bài toán trong quá trình làm bài tập trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI

- 

 -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ÔN THI TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG”

Lĩnh vực/Môn: Toán

Ngành: Giáo dục thường xuyên

Tên tác giả: HÀ THỊ TUYẾT

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trung tâm GDNN- GDTX Đông Anh

Năm học: 2018 - 2019

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ 2

I Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích của đề tài 2

III.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

IV Phương pháp nghiên cứu 3

B NỘI DUNG 4

I Nhầm lẫn các loại điều kiện 4

II Nhầm lẫn giữa giả thiết trong câu hỏi trắc nghiệm và giả thiết của các định lý trong sách giáo khoa .5

III Xét thiếu trường hợp trong quá trình tìm ra kết quả cuối cùng 6

IV Ngộ nhận về kết quả tổng quát khi mới biết một số trường hợp riêng 9

V Ngộ nhận về tập hợp các kết quả khi chỉ dự đoán được một số kết quả 10

VI Quên điều kiện dẫn đến thừa kết quả trong bài toán 11

VII Đưa ra điều kiện mới dẫn đến giảm số kết quả trong bài toán 11

VIII Sai lầm khách quan do lỗi máy tính điện tử 12

IX Biến đổi sai, tính toán sai 13

X Một vài giải pháp khắc phục sai lầm 13

C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 14

D KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Môn Toán là môn học quan trọng trong trường phổ thông, có tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực cho học sinh là rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và phẩm chất tư duy của học sinh Đồng thời nó cũng rèn luyện tín thông minh, sự sáng tạo, đức tính cần cù, kiên nhẫn, cẩn thận của người lao động

Ngày 04/12/2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố phương án tổ chức kì thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2019 với hình thức bài thi môn Toán tiếp tục là thi trắc nghiệm khách quan Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu Phương

án nhiễu thường được xây dựng dựa trên các sai lầm của học sinh Vì vậy, học sinh cần phải nắm chắc kiến thức mới có thể quyết định chọn phương án nào trong một thời gian rất ngắn

Vì vậy, để giúp học sinh bồi dưỡng năng lực giải toán trắc nghiệm mà tôi đã chọn viết đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh qua việc phân tích những sai lầm cơ bản trong giải toán trắc nghiệm” Với mong muốn học sinh sẽ tránh được những sai lầm phổ biến trong giải toán trắc nghiệm và từ đó sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải các bài tập trắc nghiệm để các em có thể học tập tốt và đạt kết quả cao

II Mục đích của đề tài:

- Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh tránh được những sai lầm đáng tiếc khi giải toán trắc nghiệm, từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán trắc nghiệm cho học sinh

- Mục tiêu của tôi đó là đem đề tài trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân góp phần vào việc nâng cao năng lực giải toán của học sinh, giúp học sinh đạt kết quả cao trong học tập và thi cử

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức trong chương trình toán THPT

- Một số đề thi trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây

- 9 sai lầm thường gặp của học sinh trong việc giải toán trắc nghiệm

- Cách ra đáp án trong đề thi trắc nghiệm, các phương án nhiễu có thể gặp trong các đề thi trắc nghiệm

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp thống kê, so sánh

B NỘI DUNG

I Nhầm lẫn các loại điều kiện.

(điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ)

1.1 Khi mệnh đề: "A B" (nếu có A thì có B) đúng, học sinh có thể ngộ

nhận về kết quả: Khẳng định "B A" (nếu có B thì có A) đúng.

Ví dụ 1: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x a thì hàm số liên tục tại

x a Tuy nhiên, khẳng định sau là sai: Nếu hàm số yf x  liên tục tại

x a  thì hàm số có đạo hàm tại x a  Chẳng hạn, hàm số y x a liên tục

tại x a  nhưng không có đạo hàm tại x a

Ví dụ 2: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x x và đạt cực trị tại 0

điểm đó thì f x  Tuy nhiên, khẳng định sau là sai: Nếu hàm số' 0 0

 

y f x có đạo hàm tại điểm x x và 0 f x  thì hàm số đạt cực trị tại ' 0 0 điểm x x Chẳng hạn, hàm số 0 f x  x3 có đạo hàm tại 1 x  và0

 

f  nhưng không đạt cực trị tại điểm x  0

Ví dụ 3: Hàm số f x  x4 6x2 8x có bao nhiêu điểm cực trị?1

Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C do khi tính đạo hàm của hàm số đã cho f x'  4x3 12x có hai nghiệm là 8 x  và 1 x  2 Tuy nhiên ở đây, tại x  là nghiệm kép, đạo hàm 1 f x không đổi dấu khi ' 

đi qua x  nên hàm số không đạt cực trị tại điểm này Phương án đúng là B.1

1.2 Khi mệnh đề: "A B" (nếu có A thì có B) đúng, học sinh có thể bị

ngộ nhận về kết quả: Khẳng định "A B" (nếu không cóA thì không có B)

đúng.

Ví dụ 4: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x a thì hàm số liên tục tại

x a Tuy nhiên, khẳng định sau là sai: Nếu hàm số yf x  không có đạo

hàm tại x a  thì hàm số không liên tục tại x a Chẳng hạn, hàm số

y  x a không có đạo hàm tại x a  nhưng vẫn liên tục tại x a

1.3 Khi mệnh đề: "A B" (nếu có A thì có B) đúng, học sinh có thể bị

ngộ nhận về kết quả: Khẳng định "A B" (nếu không cóA thì có B) sai.

Ví dụ 5: Nếu z là số thực thì môđun của z là một số không âm Khẳng định

sau vẫn đúng: Nếu z không là số thực thì môđun của z là một số không âm

Trong trường hợp này, học sinh cần phân biệt rõ: Mệnh đề tương đương

và mệnh đề hệ quả; Mệnh đề nào là điều kiện cần, mệnh đề nào là điều kiện

đủ, để tránh gạp những nhầm lẫn như trên.

II Nhầm lẫn giữa giả thiết trong câu hỏi trắc nghiệm và giả thiết của các định lí trong sách giáo khoa.

Ví dụ 6: Xét các khẳng định sau:

i) Nếu hàm số yf x  xác định trên  thỏa mãn f 1   f 0  thì đồ thị0 của hàm số y f x  và trục hoành có ít nhất 1 điểm chung

ii) Nếu hàm số yf x  xác định trên  thỏa mãn f 1   f 0  và0

   0 1 0

f f  thì đồ thị của hàm số yf x  và trục hoành có ít nhất 2 điểm chung

Phát biểu nào sau đây đúng?

A Khẳng định i) đúng và khẳng đinh ii) đúng;

B Khẳng định i) đúng và khẳng định ii) sai;

C Khẳng định i) sai và khẳng định ii) đúng;

D Khẳng định i) sai và khẳng định ii) sai;

Đây là một câu hỏi khó, học sinh có thể liên tưởng đến định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục khi đọc các giả thiết ở hai khẳng định này Tuy nhiên, các giả thiết thiếu một điều kiện rất quan trọng là hàm số liên tục Ta

có thể chỉ ra những tình huống để thấy các khẳng định i) và ii) đều sai.

Xét hàm số

f x









Hàm số này không liên tục tại 0

x 

Ta có f 1   f 0 0, f    0 1f  và đồ thị của hàm số không có điểm 0

chung với Ox Chọn phương án D.

Ví dụ 7: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x33x là:4

A x  ; B CT 1 x  ; CT 1 C 1;2; D 1;6 ;

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án C

Nếu hàm số f x đạt cực tiểu tại   x thì 0 x được gọi là điểm cực tiểu của 0

hàm số; f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, còn điểm 0

 

 0; 0 

M x f x được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Bởi vậy phương

án đúng phải là C.

Ví dụ 8: Cho hàm số y f x  xác định trên \ 1;3  và có xlim y 2

  

,

3

lim

x y



, lim1

x y



Khẳng định nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận ngang là đường thẳng y  và2

hai tiệm cận đứng là đường thẳng x  và 1 x  ;3

B Đường thẳng x  là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;1

C Đường thẳng x  là một tiệm cận đúng của đồ thị hàm số;3

D Hàm số có hai tiệm cận đứng là x  và 1 x  ;3

Trong ví dụ này học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương án đúng do khi đọc 4 phương án sẽ có cảm giác cả 4 khẳng định đều đúng Trong sách giáo khoa đưa ra định nghĩa về tiệm cận đứng (tiệm cận ngang)

đều nêu rõ là của đồ thị hàm số Ở đây phương án D thiếu dữ kiện là đồ thị hàm số Chọn phương án D.

III Xét thiếu trường hợp trong quá trình tìm ra kết quả cuối cùng.

Ví dụ 9: Tìm m để hàm số y mx 3 mx2 2m1x đồng biến trên tập1 xác định

Học sinh cần chú ý xét riêng trường hợp m  trước khi dùng định lí về dấu0

của tam thức bậc hai Trong tình huống này, m  thỏa mãn yêu cầu bài 0

toán Với hàm số trên, người ta có thể xây dựng 1 phương án nhiễu là thiếu

số 0 trong tập hợp các kết quả

Ví dụ 10: Tập hợp các số thực m đề hàm số  

3

2

3

mx

y   m x  x

có cực trị là:

A \ 1  ; B ; C \ 0;1  ; D \ 0  ; Trong ví dụ này học sinh dễ quên trường hợp m  , hàm số bậc hai luôn có 0

cực trị, vì vậy m  thuộc tập hợp các kết quả Phương án đúng là A.0

Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm B0;2;0 và C0;0;2

Phương trình mặt phẳng  P chứa BC và cách điểm M1;2; 1  một

khoảng bằng

1

2 là:

A y z  2 0 ;

B

;

C

hoặc y z   ;2 0

D

hoặc y z  2 0 ; Trong ví dụ này học sinh thường có hướng giải theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Gọi giao điểm của mặt phẳng  P với trục Ox là điểm

 ;0;0

A a Phương trình mặt phẳng  P có dạng:

Theo giả thiết:

 

 ;  2 2 1 1

2 2

4 2

a

a



Phương trình mặt phẳng  P là: 2x12y12z 1 0 .

Khi giải đến đây học sinh dễ mắc sai lầm lựa chọn phương án B mà quên

mất một trường hợp nữa là mặt phẳng  P có thể không được viết dưới

dạng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn Ở đây học sinh cần phải xét thêm một trường hợp nữa là  P ‖ Ox Khi đó, vectơ pháp tuyến của

mặt phẳng  P được tính: n  AB i,  0;2;2

Ta lập được phương trình mặt phẳng  P theo trường hợp này là: y z  2 0 Trường hợp này thỏa

mãn yêu cầu bài toán nên phương án đúng là D.

Ví dụ 12: Cho hàm số 1 3  2  2  2 

3

Tìm m

để hàm số đạt cực trị tại điểm x  2

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C.

Đạo hàm của hàm số: y' x2 2m m 2  2x 3m2 1

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x  là 2 y ' 2  0

1

3

m

m







Khi giải đến đây hàm số vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc

xét điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x  2

Điều kiện đủ: +, Với m  thì 1 y' x2  4x 4 x23     Bởi 0, x vậy hàm số nghịch biến trên  nên không có cực trị

+, Với m  thì 3 y' x2  16x 28 và ''y 2x 16

Khi đó

 

 

y

y





    hàm số đạt cực đại tại x  2

Vậy m  thì hàm số đạt cực trị tại 3 x  Chọn phương án C.2

IV Ngộ nhận về kết quả tổng quát khi mới biết một số trường hợp riêng.

Ví dụ 13: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

1

y



A \ 1  ; B ; C \ 0;1  ; D \ 0  ; Khi nhìn mẫu số có 2 nghiệm là 1 và 2, học sinh có thể đưa ra đúng đáp án

cho câu hỏi này là đáp án C Trong tình huống này, phương án C là phương

án đúng vì:

 

Tuy nhiên số tiệm cận đứng của đồ thị không phải lúc nào cũng bằng số nghiệm phân biệt của mẫu số Chẳng hạn câu hỏi sau:

Số đường tiệm cận của đứng của đồ thị hàm số

2

3 2

x y

 



 

2

1

   

2 2

4

khác vô cực

Chọn phương án C.

Ví dụ 14: Xét các mệnh đề sau:

1 Đồ thị hàm số

1

y x



 có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

2 Đồ thị hàm số

y

x



có hai tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng

1

y

x



 có một tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng

Số mệnh đề đúng là:

Học sinh dễ dàng kiểm tra nhanh mệnh đề 1 và mệnh đề 2 đúng Trong ví dụ này học sinh dễ mắc sai lầm trong mệnh đề 3 Học sinh dễ dàng tìm ra đồ thị

1

y

x



 có một tiệm cận ngang là đường y  và ngộ nhận 0

đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x  và 1 x  Lí do sai nhầm1

ở đây cũng giống trong ví dụ trên, mẫu số có hai nghiệm phân biệt là 1 và

1 nhưng đồ thị không có đường tiệm cận đứng là x  không tồn tại giới 1 hạn khi x 1 hoặc x 1 Mệnh đề 3 sai Chọn phương án B.

Ví dụ 15: Nếu a và b là hai số thực thì

a b





Khẳng định sau đây là sai: Nếu a và b là hai số phức thì

a b





V Ngộ nhận về tập hợp các kết quả trong khi chỉ dự đoán được một số kết quả.

Ví dụ 16: Số nghiệm thực của phương trình 3x  x 2 là:

Trong ví dụ này học sinh mò được một nghiệm là 1 nhưng không mò được thêm nghiệm khác và có thể ngộ nhận số nghiệm của phương trình là 1 Học sinh có thể vẽ đồ thị của các hàm số để thấy số nghiệm của phương trình là 2

Ngoài ra, học sinh có thể xét hàm số liên tục trên ,

  3x 2, 1  0,  2 0,  1 0

h x   x h  h   h   , tồn tại c  2; 1 ,   h c  0

   2

h x      nên phương trình x h x  có tối đa 2 nghiệm.  0

Chọn phương án C

Học sinh cũng có thể sử dụng một số loại máy tính để tìm ra số nghiệm của phương trình này

VI Quên điều kiện dẫn đến thừa kết quả trong bài toán.

Ví dụ 17: Số nghiệm thực của phương trình

2 2

0 log

x

 là:

Nếu học sinh chỉ chú ý đến điều kiện x  và giải phương trình0

2

log x 3x  2 0

, có 2 kết quả là x  (không thỏa mãn 4 x  ) và0 1

x  thì chọn phương án B Tuy nhiên, x  không thỏa mãn điều kiện mẫu1

số khác 0 Vì vậy phải chọn phương án A.

VII Đưa ra điều kiện mới dẫn đến giảm số kết quả trong bài toán.

Ví dụ 18: Số nghiệm thực của phương trình 2log 32 x2 log2x2 là:

Vì có hệ số 2 ở vế trái nên học sinh có thể nghĩ ngay đến công thức

2

log x 2log x khi x dương, học sinh biến đổi về 3x  2 x x 1 Giá trị này không thỏa mãn điều kiện để có thể thực hiện được công thức

2

log x 2log x, học sinh có thể kết luận phương trình đã cho vô nghiệm Sai lầm ở đây là học sinh đưa ra điều kiện mới x  để biến đổi và làm mất 0

nghiệm Lời giải đúng như sau:

x







1

2

Chọn phương án B Học sinh cần phải cảnh giác với những biến đổi dẫn đến

phương trình mới có tập xác định khác với tập xác định ban đầu

VIII Sai lầm khách quan do lỗi máy tính điện tử.

Ví dụ 19: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số

y x  x và hai đường thẳng x15,x15

A S 2250; B S 2259; C S 1593; D S 2925;

Trong ví dụ này học sinh có lời giải đúng như sau:

Diện tích hình phẳng cần tính:

Chọn phương án B Tuy nhiên đối với dạng bài tập kiểu này học sinh thường

sẽ sử dụng máy tính điện tử để tính

15 2 15

3



Khi dùng máy tính điện tử sẽ có hai khả năng sau:

15 2 15



Đúng với kết quả tính tay

15 2 15



.Không đúng với kết quả tính tay

Lý do nào hai loại máy tính này cho ta hai kết quả khác nhau là bởi vì: Máy CASIO “thường không đúng” cho tích phân trị tuyệt đối với hai cận chứa 3 đoạn đổi dấu trở nên

Ví dụ 20: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x

và hai đường thẳng x12,x12

A S 1152; B

3457 2

S 

; C

3457 3

S 

; D S 1154; Trong ví dụ này học sinh có lời giải đúng như sau:

Diện tích hình phẳng cần tính:

3457 3

Chọn phương án C Tuy nhiên đối với dạng bài tập kiểu này học sinh

12 2

này thì cả hai loại máy CASIO và VINACAL đều cho ra cùng một đáp số là

1152 Kết quả này chỉ là kết quả gần đúng Khi đó học sinh dễ chọn phương

án sai lầm là phương án A.

IX Biến đổi sai biểu thức, tính toán sai.

Học sinh phải thận trọng khi biến đổi biểu thức Tránh tình trạng quá tin tưởng vào máy tính khi xử lí một biểu thức đã biến đổi sai và yên tâm dùng kết quả được tìm nhờ máy tính

X Một vài giải pháp khắc phục sai lầm.

Để hạn chế những sai lầm trong giải toán trắc nghiệm, học sinh cần chú ý:

 Học cẩn thận các khái niệm, các định lí toán học Chú ý các điều kiện liên quan trong mỗi mệnh đề đúng đã biết để không bị lừa khi câu hỏi

có nội dung gần giống với các mệnh đề nhưng điều kiện đã thay đổi

 Học cẩn thận các mệnh đề đúng về phương trình tương đương, hệ phương trình tương đương và bất phương trình tương đương

 Không ngộ nhận kết quả tổng quát thông qua một số trường hợp riêng

 Biến đổi biểu thức cẩn thận và tính toán cẩn thận

 Trong một số trường hợp, cần dùng máy tính điện tử và hình vẽ để kiểm tra lại kết quả Tuy nhiên, khi sử dụng máy tính điện tử nên nắm bắt rõ một số lỗi thông thường mà máy tính điện tử dễ mắc phải hoặc nên biến đổi biểu thức về các bước đơn giản hơn sau đó mới sử dụng máy tính điện tử

 Với loại câu hỏi trắc nghiêm có 4 phương án gồm 1 phương án đúng

và 3 phương án nhiễu như hiện nay, cần kết hợp cả việc loại trừ

phương án nhiễu để tìm ra phương án đúng

C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy đã mang lại những kết quả tích cực

- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những sai lầm của học sinh, , giúp tôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho