de cuong hky1 toan CB 11(10-11)

ĐẠI SỐ TỔ HỢP,NHỊ THỨC NEWTON VÀ XÁC SUẤTI/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1.. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ I MƠN TỐN-CB LỚP 11

NĂM HỌC 2010-2011 Vấn đề 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dùng cho trắc nghiệm)

1/ Hàm số y = sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = − 1, 1; hàm lẻ, chu kỳ T0 =2π

* y = sin(ax + b) cĩ chu kỳ T0 2

a

= π

* y = sin(f(x)) xác định ⇔ f x( ) xác định

2/ Hàm số y = cosx: Tập xác định D = R; Tập giá trị T = − 1, 1; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π

* y = cos(ax + b) cĩ chu kỳ T0 2

a

= π

* y = cos(f(x)) xác định ⇔ f x( ) xác định

3/ Hàm số y = tanx: Tập xác định \ ,

2

D R=  +k k Z∈ 

π π

; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 =π

* y = tan(ax + b) cĩ chu kỳ T0

a

= π

* y = tan(f(x)) xác định ⇔ f x( ) ( )

≠ +π π ∈

4/ Hàm số y = cotx: Tập xác định D R k k Z= \{ π, ∈ }; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 =π

* y = cot(ax + b) cĩ chu kỳ T0

a

= π

* y = cot(f(x)) xác định ⇔ f x( ) ≠ kπ (k Z∈ )

5/ Nhận xét: y = f 1 (x) cĩ chu kỳ T1 ; y = f 2 (x) cĩ chu kỳ T2

Thì hàm số y = f x1( )± f x2( ) cĩ chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm)

Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

a) sin 2

1

x y

x

 

−

sin 1

y

x

=

+ f) y tan x 6

 

=  − ÷

  π

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = 2sin 1

4

x

 + +

 

π

b) y =2 cosx+ −1 3 c) y= sinx

d) y = 4sin2x−4sinx+3 e) y =cos2x+2sinx+2 f) y =sin4x−2 cos2x+1

Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx

d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx

Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:

a) y = sin 2x b) cos

3

x

y = c) y =sin2x d) sin 2 cos

2

x

y= x+ e) y =tanx+cot 3x

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1) sinu = a (1)

• Nếu a >1, pt (1) vơ nghiệm

• Nếu a ≤1, pt (1) cĩ nghiệm

đặt a = sinα⇔α = arcsina

Pt (1) ⇔ sinu = sinα ⇔  = π−α + πuu= α + πk2 k2

Đặc biệt : * sinu = 0 ⇔ = π u k

* sinu = 1 u k2

2

π

⇔ = + π

* sinu = −1 u k2

2

π

⇔ = − + π

2) cosu = a (2)

• Nếu a >1, pt (1) vơ nghiệm

• Nếu a ≤1, pt (1) cĩ nghiệm

đặt a = cosα⇔α = arccosa

Pt (2) ⇔ cosu = cosα ⇔  = −α + πuu= α + πk2k2

Đặc biệt : * cosu = 0 u k

2

π

⇔ = + π

* cosu = 1 ⇔ = u k2 π

* cosu = −1 ⇔ = π + π u k2

3) tanu = a (3)

Đặt a = tanα⇔α = arctana (u k

2

π

≠ + π)

Pt (3) ⇔ tanu = tanα ⇔ = α + π u k

Đặc biệt : * tanu = 0 ⇔ = π u k

* tanu = 1 u k

4

π

⇔ = + π

* tanu = −1 u k

4

π

⇔ = − + π

4) cotu = a (4)

Đặt a = cotα⇔α = arccota (u k ≠ π)

Pt (3) ⇔ cotu = cotα ⇔ = α + π u k

Đặc biệt : * cotu = 0 u k

2

π

⇔ = + π

* cotu = 1 u k

4

π

⇔ = + π

* cotu = −1 u k

4

π

⇔ = − + π

Dạng 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

sinu và cosu

Là pt dạng : asinu + bcosu = c (1) (a 2 + b 2≠ 0)

Cách giải

* Nếu a2 + b2 – c2 < 0, pt (1) vơ nghiệm

* Nếu a2 + b2 - c2≥ 0, pt (1) cĩ nghiệm Chia 2 vế pt cho a 2 + b 2 và biến đổi về dạng

Pt (1) ⇔ sin(u + α) = sinϕ ( pt cơ bản) Với 2a 2 cos

a b = α + , 2 2

b

sin

a b = α + ,

2 2

c sin

a b = ϕ +

Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI

MỘT HSLG

Là phương trình cĩ một trong các dạng sau :

* asin 2 x + bsinx + c = 0 (1)

* acos 2 x + bcosx + c = 0 (2)

* atan 2 x + btanx + c = 0 (3)

* acot 2x + bcotx + c = 0 (4) Cách giải:

• đặt t = sinx, t= cosx, t = tanx, t = cotx

• Giải pt bậc hai theo t

Chú ý: pt (1) và (2) cĩ nghiệm khi t ≤1

Dạng 4 PHƯƠNG TRÌNH

asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x = d

Cách giải:

Cách 1:

+) cosx = 0 x k

2

π

⇔ = + π là nghiệm của pt khơng ?

+) cosx ≠ 0 x k

2

π

⇔ ≠ + π, chia hai vế pt cho cos2x ta

cĩ pt bậc hai theo tanx

Cách 2:

Dùng cơng thức hạ bậc sin2x = 1 cos 2

2

x

−

, sinx.cosx

= sin 2 2

x

, cos2x = 1 cos 2

2

x

+

biến đổi về dạng Asin2x + Bcos2x = C

Dạng 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Chú ý :

• Khi giải pt cần phải thuộc cơng thức lượng giác

• Tập luyện nhiều mới định hướng cho cách giải ngắn nhất

Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) sin3x = 1

3) tan(x + 60o) = - 3 4) sin3x = cos4x

5) cot 5

π

 − 

  =

1

7) sin2x = sin 3

4

x π

 + 

o) = cos(x + 120o)

9) tan

4

x π

 + 

  = - cot 2x 3

π

 − 

2 20 3

o x

 − 

  + 3 = 0

11) sin(2x - 10o) = 1

2 với -120

o < x < 90o 12) cos(2x + 1) = 2

2 với - π < x < π

Bài 2 Giải các phương trình:

1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0

5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0

7) sin22x - 2cos2x + 3

4 = 0 8) 4cos2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2

3) 2sin

4

x π

 + 

  + sin x 4

π

 − 

  = 3 22 4)

2

3cos + 4sinx - 6

x

x

5) 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = 3(cos5x - sin7x)

Bài 4 Giải các phương trình

1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0

3) cos2x - sin2x - 3sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0 5) 4sin2x + 3 3sin2x - 2cos2x = 4 6) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3

Bài 5 Giải các phương trình:

1) sin2x + sin22x = sin23x 2) sin4x + cos4x = 1

2 3) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 3

2) = 0 4) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

7) cos2x.cos5x = cos7x 8) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 9) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 10) cos7x + sin22x = cos22x - cosx

Bài 6 Giải các phương trình:

1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1

5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3(sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2sin(x - 45o) = 1

Vấn đề 3 ĐẠI SỐ TỔ HỢP,NHỊ THỨC NEWTON VÀ XÁC SUẤT

I/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1) Quy tắc cộng:

Có n1 cách chọn đối tượng A1

n2 cách chọn đối tượng A2

A1∩ A2 = ∅

⇒ Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các đối tượng

A1, A2

2) Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1.Ứng với mỗi

cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2

⇒ Có n 1 n 2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2

3) Hoán vị:

− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị

của n phần tử

− Số hoán vị: P n = n!.

4) Chỉnh hợp:

− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤

n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp

chập k của n phần tử

− Số các chỉnh hợp: kn

n!

A (n k)!

=

−

5) Tổ hợp:

− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

− Số các tổ hợp: kn

n!

C k!(n k)!

=

−

− Hai tính chất Ckn = Cn kn−

Ck 1n 1−− + Ckn 1− = Ckn

6) Nhị thức Newton

n

n

k 0

C a C a b C a b C b

−

=

+ =

∑

− Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 − Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

− Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

k n k k

k 1 n

T C a − b

+ =

− Đặc biệt: (1 x)+ n =C0n+xC1n +x C2 2n+ + x Cn nn

⇒C n0+C1n+ + C n n =2n (1 x)− n =C0n−xC1n+x C2 2n + + − ( 1) x Cn n nn

⇒C n0−C1n+ + − ( 1)n n C n =0

Bài tập

Bài 1 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?

Bài 2 Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau Hỏi:

a Bắt dầu bởi chữ số 2

b Bắt đầu bởi chữ số 36

c Bắt đầu bởi chữ số 482

Bài 3 Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau Hỏi:

a Có bao nhiêu số như vậy

b Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1

Bài 4 Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất

thiết phải có mặt chữ số 4

Bài 5 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết

lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa

Bài 6 Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau.

Bài 7

a Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt

b Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 8 Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho

5?

Bài 9 Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người Tìm

số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?

Bài 10 Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc

sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?

Bài 11 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ

hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?

Bài 12 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị

sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp?

Bài 13 Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho:

1 Có đúng 2 người nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Bài 14 Một lớp học có 40 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chia:

1 Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh

2 Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh và có một tổ trưởng

Bài 15 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp,

trong đó có ít nhất 1 nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 16 Giải các phương trình sau :

a C n3 = 5C1n b 2C1n+2C n2+2C n3 =7n c A n6 +A n5 = A n4 d 2 2

2

2A x + 78 =A x

e 2C7n =C7n−1+C7n+1 f 2 2

2

2A x + 78 =A x g 2 2

1 2

3C n+ +nP = 4A n h. 2 1 79

1 − =

A

Bài 17 Cho biết trong khai triển

n x

x

3 2

1

 + 

  tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba

bằng 11 Tìm hệ số của x2

Bài 18 Cho biết trong khai triển x2 1 ,n

x

 + 

  tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46

Tìm hạng tử không chứa x.

Bài 19 Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2

3

n x

 − 

  là 97 Tìm hạng tử

của khai triển chứa x4

Bài 20 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

n x x

7 4

1

 + 

  , biết rằng:

n

C2 11 + +C2 12 + + + C2 1+ =220−1

Bài 21 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2+x)n, biết rằng:

3 −3 − +3 − − + − ( 1) =2048

II XÁC SUẤT

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Biến cố

• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A ⊂Ω

• Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω

• Biến cố đối của A: A=Ω \A

• Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)

• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅

• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

2 Xác suất

• Xác suất của biến cố: P(A) = ( )

( )

n A

n Ω

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0

• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

• P(A ) = 1 – P(A)

• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)

Bài tập

Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8

b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ

c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn

Bài 2: Một lớp học cĩ 25 học sinh, trong đĩ gồm cĩ 15 em học khá mơn Tốn, 17 em học khá mơn Văn.

a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 mơn

b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá mơn Tốn nhưng khơng khá mơn Văn

Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7

b) Các mặt xuất hiện cĩ số chấm bằng nhau

Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên một viên bi,

rồi lấy tiếp một viên nữa Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh

Bài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi

Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh

Bài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú Xác suất bắn trúng của người thứ nhất

là 3

5, của người thứ hai là

1

2 Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.

Bài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa

b) Cĩ đúng 3 đồng xu lật ngửa

c) Cĩ ít nhất hai đồng xu lật ngửa

Bài 8: Một hộp bĩng đèn cĩ 12 bĩng, trong đĩ cĩ 7 bĩng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bĩng.Tính xác suất để lấy

được:

a) ít nhất 2 bĩng tốt b) ít nhất 1 bĩng tốt

Bài 9: Một hộp cĩ 20 quả cầu giống nhau, trong đĩ cĩ 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen Lấy ngẫu

nhiên 3 quả Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra cĩ ít nhất một quả màu đen

Bài 10: Một tổ cĩ 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ Tính xác suất để

2 em đĩ khác phái

Bài 11: Một lớp cĩ 30 học sinh, trong đĩ cĩ 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình Chọn ngẫu nhiên 3

em đi dự đại hội Tính xác suất để :

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Cĩ ít nhất 1 học sinh giỏi

c) Khơng cĩ học sinh trung bình

Bài 12: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên Lấy

ngẫu nhiên 1 số thuộc X Tính xác suất để:

a) Số đĩ là số lẻ

b) Số đĩ chia hết cho 5

c) Số đĩ chia hết cho 9

Vấn đề 4 DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ CỘNG (Dùng cho trắc nghiệm)

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I/ Dãy số

1 Dãy số

: *

( )

u

n →u n

a Dạng khai triển: (u n ) = u 1 , u 2 , …, u n , …

2 Dãy số tăng, dãy số giảm

• (u n ) là dãy số tăng ⇔ u n+1 > u n với ∀ n ∈ N*.

⇔ u n+1 – u n > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u

u+ > với ∀n ∈ N* ( u n > 0).

• (u n ) là dãy số giảm ⇔ u n+1 < u n với ∀n ∈ N*.

⇔ u n+1 – u n < 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u

u+ < với ∀n ∈ N* (u n > 0).

3 Dãy số bị chặn

• (u n ) là dãy số bị chặn trên ⇔∃M ∈ R: u n≤ M, ∀n ∈ N*.

• (u n ) là dãy số bị chặn dưới ⇔∃m ∈ R: u n≥ m, ∀n ∈ N*.

• (u n ) là dãy số bị chặn ⇔∃m, M ∈ R: m ≤ u n≤ M, ∀n ∈ N*.

II Cấp số cộng

1 Định nghĩa:(u n ) là cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d, ∀n ∈ N* (d: cơng sai)

2 Số hạng tổng quát: u n = + −u1 (n 1)d với n ≥ 2

2

k k k

u − + +

= với k ≥ 2

2 n

n u u

S = + + +u u u = + = 2 1 ( 1)

2

n u + −n d

Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm)

Bài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a) 222 1

1

n n

u

n

−

=

( 1)

n

n n u

n

+ −

=

1 1

n n

u n

−

= + d)

2

cos

n

u = +n n

Bài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a) 1 2, 1 1( 1)

3

u = u + = u + b) u1=15,u2=9,u n+2 =u n−u n+1 c) 1 0, 1 22

1

n n

u

+

+

Bài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un và chứng minh cơng thức đĩ bằng qui nạp:

a) u1=1,u n+1=2u n+3 b) u1=3,u n+1= 1+u n2 c) u1=3,u n+1=2u n

Bài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

n n

u

n

+

=

n

n n

u = −

( 1) 2

n n

u n

−

=

2

u

n

−

=

Bài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

2

n n

u

n

+

=

1 ( 1)

n u

n n

= + c) u n =n2+4 d)

2 2

2 1

u

n n

+

= + +

Bài 6: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đĩ cho biết số hạng đầu và cơng sai của nĩ:

a) un = 3n – 7 b) 3 2

5

n n

u = + c) u n =n2 d) u n =3n

Bài 7: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:

10 17

u u u

u u

 + − =

10 26

u u u

u u

 + − =

3 14

15 18

u u

 = −

 =



Bài 8: a) Ba gĩc của một tam giác vuơng lập thành một cấp số cộng Tìm số đo các gĩc đĩ.

b) Số đo các gĩc của một đa giác lồi cĩ 9 cạnh lập thành một cấp số cộng cĩ cơng sai d = 30 Tìm số

đo của các gĩc đĩ

c) Số đo các gĩc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và gĩc lớn nhất gấp 5 lần gĩc nhỏ nhất Tìm số đo các gĩc đĩ

Bài 9: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

a) a=10 3 ;− x b=2x2+3;c= −7 4x b) a x= +1;b=3x−2;c x= 2−1

Bài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất cĩ 1 cây, hàng thứ hai cĩ 2 cây, hàng thứ ba cĩ 3 cây, … Hỏi cĩ bao nhiêu hàng?

Vấn đề 5 PHÉP BIẾN HÌNH (Dùng cho tự luận và trắc nghiệm)

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I Phép tịnh tiến

• T vr: M a M′⇔ MMuuuuur'=vr

• T vr(M) = M′, T vr(N) = N′⇒ ' 'M Nuuuuuur uuuur=MN

• T vr: M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  = +x y'' y b x a

 = +



II Phép đối xứng trục

• Đd: M a M′⇔ M Muuuuuur0 '= −uuuuurM M0 (M0 là hình chiếu của M trên d)

• Đd(M) = M′⇔ Đd(M′) = M

• Đd(M) = M′, Đd(N) = N′⇒ M′N′ = MN

• ĐOx: M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  =x y'' x y

 = −



ĐOy: M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  = −x y'' y x

 =



III Phép đối xứng tâm

• ĐI: M a M′⇔ IMuuur'= −IMuuur

• ĐI(M) = M′⇔ ĐI(M′) = M

• ĐI(M) = M′, ĐI(N) = N′⇒ ' 'M Nuuuuuur= −MNuuuur

• Cho I(a; b) ĐI: M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  =x y' 2' 2a x b y−

 = −



Đặc biệt: ĐO: M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  = −x y'' y x

 = −



IV Phép quay

• Q(I, α ): M a M′⇔ ( ;IM IM IM'=IM')= α



• Q(I, α )(M) = M′, Q(I, α )(N) = N′⇒ M′N′ = MN

• Q(I, α )(d) = d′ Khi đó: ·( ), ' 0 2

2

nếu

d d

nếu

α < α ≤ π



π − α ≤ α < π



• Q(O,900): M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  = −y x'' x y

 =



Q(O,–900): M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  =x y'' y x

 = −



V Phép vị tự

• V(I,k): M a M′⇔ IMuuur'=k IM.uuur (k ≠ 0)

• V(I,k)(M) = M′, V(I,k)(N) = N′⇒ ' 'M Nuuuuuur=k MN.uuuur

• Cho I(a; b) V(I,k): M(x; y) a M′(x′; y′) Khi đó:  =y x'' kx ky+ −(1(1 k b k a))

 = + −



Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆A′B′C′.

Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(6; –5),B(-2;7).Tìm ảnh của điểm A,B qua

phép biến hình sau:

a/Phép tịnh tiến theo vectơ ur=(2; 1)− b/ Phép đối xứng qua trục Ox ; trục d: 2x-y=0

c/Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(2;3)

e/Phép quay tâm O, gĩc quay 900 f/ Phép quay tâm O, gĩc quay

2

π

−

g/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3 h/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½

i /Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy

k/Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo ur= − −( 2; 1)

l Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O gĩcquay 900

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): -2x +5y -4 = 0

Viết phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ ur= − ( 3;1) b/ Phép đối xứng qua trục Ox

c/ Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(-1;2)

e/ Phép quay tâm O, gĩc quay 900 f/ Phép quay tâm O, gĩc quay

2

π

−

g/ Phép vị tự tâm O, tỉ số -1/2 h/ Phép vị tự tâm I(-2;-1), tỉ số 3

i/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy

k/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo ur=(2; 3)−

l/ Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(0;3), tỉ số -2 và phép quay tâm O gĩc quay

900

Bài 3 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho 2đường trịn (C1): ( ) (2 )2

x− + +x = và (C2): x2 + y2 + 2x - 4y – 2 = 0

Viết pt đường trịn (C1’) và (C2’) là ảnh của 2đường trịn (C1) và (C2)qua phép biến hình sau:

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ ur=(2; 3)− b/ Phép đối xứng qua trục Ox

c/ Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm M(-2;3)

e/ Phép quay tâm O, gĩc quay 900 f/ Phép quay tâm O, gĩc quay

2

π

−

g/ Phép vị tự tâm O, tỉ số 2 h/ Phép vị tự tâm M(-3;1), tỉ số 2/3

i/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy

k/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo ur= − −( 2; 1)

l/ Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O góc quay

900

Bài 4: Cho hcn ABCD.Gọi I là giao điểm của AC và BD Gọi E,F lll trung điểm của AD,BC Chứng

minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau

Bài 5: Cho hcn ABCD Gọi O là tâm của nó; E,F,G,H,I,J lll trung điểm của các cạnh

AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng: hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau

Vấn đề 6 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

ĐLí 1:

Qua một điểm không nằm trên

một đường thẳng cho trước, có

một và chỉ một đường thẳng

song song với đường thẳng đã

cho

Đlí 2:

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi

một cắt nhau theo ba giao tuyến

phân biệt thì ba giao tuyến ấy

đồng qui hoặc đôi một song

song

HQ:

Nếu hai mp phân biệt lần lượt

chứa hai đường thẳng song song

thì giao tuyến của chúng (nếu

có) cũng song song với hai

đường thẳng đó hoặc trùng với

hai thẳng đó

Đlí 3:

Hai đường thẳng phân biệt cùng

song song với đường thẳng thứ

ba thì song song với nhau

M ∉ d ⇒∃!d’: '

'//

M d

d d

∈







( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

// //

( ) ( )

a

a b c M b

a b c c

a b c



∩ ∩ =









1

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) // //

( ) //

d

d d d d

d d

α

β





⊃ 



//

b c

≡ 

⇒







Đlí 1:

Nếu đường thẳng d không nằm

mp(α) và d song song với d’

nằm trong (α) thì d song với (α)

Đlí 2

Cho đường thẳng a song song

với (α) Nếu mp(β) chứa a và cắt

(α) theo giao tuyến b thì b song

( )

d

d

α

α α

 ⇒





⊂ 