đề cuong môn phuong trinhh vi phân

[r]

Bài 1: xy’ –y = (y-x)ln

y x x



Bài làm : xy’- y = (y-x)ln

y x x

  y’ -

y

x = (

y

x -1)ln(

y

x -1) (1)

đật

y

x = u  y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào (1) ta đợc : u +

xdu

dx - u = (u-1)ln(u-1)



xdu

dx = (u-1)ln(u-1)  ( 1) ln( 1)

du

u u =

dx

x  ( 1) ln( 1)

c

u u  x 

ln( 1)

ln ln( 1) ln ln(u 1) cx ln( 1)





x





Bài 2: y’ =

tg





Bài làm: y’ =

tg





 y’ = y tg(y 1)

x x (1) đật

y

x = u  y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào

(1) ta đợc: u +

xdu

dx = u + tg ( u-1) 

xdu

dx = tg ( u-1)

cos(u 1) du sin( 1)

ln sin( 1) ln sin( 1) sin

y x

x



Bài 3: xy’-y = xtg

y x

Bài làm: xy’-y = xtg

y

x  y' y tg y

 

(1) đật

y

x =u y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào (1)

ta đợc: u +

xdu

dx - u = tgu

y

x

Bài 4 : xy’ – y = (y + x )ln

y x x



Bài làm: : xy’ – y = (y + x )ln

y x x



' y (y 1) ln(y 1)

y

(1)

đặt

y

x =u y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u +

xdu

dx - u = (u1)ln(u1) ( 10 ln( 1)

ln( 1)

ln( 1)





Bài 5: xy’ = y - x

y x

e

Bài làm: xy’ = y - x

y x

y x

y

x

(1)

đặt

y

x = u y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u +

xdu

dx = u -eu

y



Bài 6: (2x-4y)dx + (x + y) dy = 0

Bài làm:

4 2

1

y

y

x







 (1) đặt

y

x = u y = ux 

dy

dx = u +

xdu

dx thay vào

(1) ta đợc:

2

u

( 1)

3 2



( 1)

3 2

C



 

3 2

1

( 1)

u



Bài 7 : Giải phương trỡnh vi phõn: (2x+3y)dx+(x+4y)dy=0

Bài làm: (2x+3y)dx + (x+4y)dy=0

4 4

2 3

x

x

y







 (*)

đặt

x

y = u x = uy 

dx

dy = u +

ydu

dy Vỡ vậy:

(*)

2

2

(2 3)



  Lấy tớch phõn hai vế ta được:

2

2

2

2 ln( 2 2) arctan(u+1)=-2ln|y|+C

du

 

Thay

x

u

y



vào ta được :

2 2

x ln( 2 2) arctan( 1) 2 ln | | ,

y

Bµi 8 : y + xy’= 2

2

1

y y



Bµi lµm : y + xy’= 2

2

1

y y



2

2

( 1)

( 1)





2



D¹ng 2:

Bµi 1: xy’- 2y = 2x4

Bµi lµm: xy’ – 2y = 2x4  y’ -

3

2 2

x  (*)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: y’ -

2

0

y

0

2

C«ng thøc nghiÖm cña (*) lµ : y=

2

1

x

     

2 2 2 ( 2 )

x  xdx C x x C

Bµi 2: (2x+1)y’=4x+2y

Bµi lµm: (2x+1)y’=4x+2y

'

x

Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2

2 1

x

C

(2 1)

2 1

C





C«ng thøc nghiÖm cña (*) lµ y =

(2 1)



xdx

(2 1)

2 1 (2 1)

(2x 1)

1

ln 2 1

2 1

x

Bµi 3: x(y’-y) = ex

Bµi lµm: x(y’-y) = ex  y’ -

x

e y x

 (*)

x

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm lµ: y =

      

1

ln

x

       

Bµi 4: x2y’ + xy + 1 = 0

Bµi lµm: x2y’ + xy + 1 = 0 2

'



(*)

Gi¶i ph¬ng tr×nh :

1

x

x

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :

y =

1 1

       



1

ln x C

x

    

Bµi 5: y = x(y’-cosx)

Bµi lµm: y = x(y’-xcosx)

1

x

(*)

Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1

x

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :

y

1

x

   x cosxdx C  xsinx C  xsinx Cx

Bµi 6: y’ = 2x(x2+y)

Bµi lµm: y’ = 2x(x2+y)  y' 2  xy 2x3 (*)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: y' 2  xy 0

2

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :

y =

e  x e dx C  e  x e dx C  

   e x2 2x e d x2 x2 ( ) 2 C

§Æt x2 = t

2

2 2

( )

§Æt u = t  du dt ; dv = e-tdt v et

 

te dt udv uv vdu te e dt te e

2 x ( ) 2 2 x x

y e  x e e C

Bµi 7: (xy’-1)lnx = 2y

Bµi lµm: (xy’-1)lnx = 2y

' ln

(*)

Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

ln

x x

C

2

(ln )

ln

x

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :

y =

2

2 ln(ln ) 2

ln ln

2

ln

d



bài 8: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

bài làm: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

1

x





Giải phơng trình :

1

x



1

ln y (1 )dx C ln y ( dx dx) C ln y (x ln )x C

xe

Theo công thức nghiệm (*) có nghiệm

y =

3

x











2

e xe

 

Dạng 3 :

Bài 1 : y” + 4 y’+ 4 y = 4x + 16 e2x (1)

Bài làm : Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y” + 4y’ + 4y= 0 (2)

Phơng trình đặc trng :

2

1 2

k  k   k k 

 Nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là : y0= c1e-2x+ c2xe-2x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + 4 y’+ 4 y = 4x (3)

Vì 0 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là :

Y1= (ax+b)e0x  y’1= a ; y1” = 0 thay vào (3) ta đợc : 4a + 4(ax +b) = 4x  4(a+b) + 4ax = 4x

   Nghiệm riêng của (3) là y1= x – 1

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + 4 y’+ 4 y = 16 e2x (4)

Vì 2 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiêm riêng của (4) là: y2=ae2x

 y’2= 2ae2x và y”2= 4ae2x thay vào (4) ta đợc 4ae2x+ 8ae2x + 4ae2x = 16e2x  a = 1

 Nghiệm riêng của (4) là: y2= e2x

 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2= x-1+e2x

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1e-2x +C2xe-2x +x-1+e2x

Bài 2: y“- 2y’-3y = 4e2x- 8xex (1)

Bài làm: Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y“- 2y’-3y = 0 (2)

Phơng trình đặc trng:

2

1 2

k  k   k  k 

 Nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là : y0= c1e-x+ c2e3x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y“- 2y’-3y = 4e2x (3)

Vì 2 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là : y1= ae2x

Y’1=2ae2x và y1” = 4ae2x thay vào (3) ta đợc: 4ae2x-4ae2x-3ae2x = 4e2x  a

=-4 3

 Nghiệm riêng của (3) là y1=

-4

3e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y“- 2y’-3y = - 8xex (4)

Vì 1 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (4) là:

Y2= (ax+b)ex  y’2= aex+(ax+b)ex và y”2= aex + aex+(ax+b)ex= 2aex + (ax+b)ex Thay vào (4) ta đ-ợc: 2aex + (ax+b)ex - 2aex-2(ax+b)ex- 3(ax+b)ex = -8xex  -4axex – 4bex=-8xex  a=2;b=0

 Nghiệm riêng của (4) là: y2= 2ex

 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2

=-4

3e2x + 2ex

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1e-x +C2e3x

-4

3e2x + 2ex

Bài 3: : y” + y’-2y = 3ex -10sinx (1)

Bài làm: Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y” + y’ -2y= 0 (2)

Phơng trình đặc trng :

2

1 2

k  k   k  k 

 Nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là : y0= c1ex+ c2e-2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + y’-2y = 3ex (3)

Vì 1 là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là: y1= x aex=axex

 y1’= aex+axex và y1” = aex+aex+axex=2aex+axex thay vào (3) ta đợc:

2aex+axex+ aex+axex-2axex=3ex  3aex=3ex  a=1 Nghiệm riêng của (3) là: y1=xex

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + y’-2y = -10sinx

Vì  i   0 1i i không là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (4) là:

Y2= acosx+ bsinx  y’2= -asinx + bcosx và y2”= -acosx – bsinx Thay vào (4) ta đợc :

-acosx – bsinx -asinx + bcosx - 2acosx - 2bsinx= -10sinx  (b-3a)cosx-(a+3b)sinx=-10sinx

  Nghiệm riêng của (4) là: y2 = cosx+3sinx

 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2= xex+ cosx+3sinx

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1ex +C2e2x +xex+ cosx+3sinx

Bài 4: y” -3y’ +2y =36xe-x-10cosx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -3y’ + 2y = 0 (1)

Phơng trình đặc trng là : k2 – 3k + 2 = 0  k1  1;k2  2

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1ex + c2e2x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ -3y’ + 2y = 36x e-x (2)

Vì -1 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1 = (ax +b) e-x y' 1 ae x (ax b e) x

; y”1= -ae-x-ae-x+(ax+b)e-x=-2ae-x+(ax+b)e-x

thay vào (2) ta đợc

-2ae-x + (ax + b) e-x - 3a e-x+3(ax + b) e-x+ 2 (ax+ b)e-x = 36xe-x 6axex (5a 6 )b ex 36xex

  nghiệm riêng của (2) là: y1 = (6x +5)e-x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”-3y’ + 2y = -10 cosx (3)

Vì  i    0 i i không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là

y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” 2 = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = -10cosx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = -10 cosx

  nghiệm riêng của (3) là y2= -cosx + 3sinx

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (6x +5)e-x -cosx + 3sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(6x +5)e-x -cosx +3sinx

bài 5 : y” +y =1 + 4sinx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” + y = 0 (1)

Phơng trình đặc trng là : k2 + 1 = 0  k1 i k; 2 i

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1eix + c2e-ix

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ + y = 1 (2)

Vì 0 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1= a  y’1 = 0 ; y”1 = 0 Thay vào (2) ta đợc a = 1  nghiệm riêng của (2) là: y1= 1

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”+ y = 4sinx (3)

Vì  i    0 i i là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là:

y2= x(acosx + bsinx)  y’2= acosx + bsinx + x(-asinx + bcosx)

y” 2 = - asinx + bcosx-asinx+bcosx+x(-acosx-bcosx)= -2asinx+ 2bcosx-(a+b)xcosx

thay vào (3) ta đợc : -2asinx + 2bcosx - (a+b)xcosx + x(acosx + bsinx) = 4sinx

 -2asinx + 2bcosx-bxcosx +bxsinx = 4sinx  a = 4 ; b = 0

 nghiệm riêng của (3) là y2= 4xcosx

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = 1 + 4xcosx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1eix+c2e-ix+1 +4xcosx

Bài 6: y” - 5y’ + 4y = 4x e2x + 34cosx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -5y’ + 4y = 0 (1)

Phơng trình đặc trng là : k2- 5k + 4 = 0  k1  1;k2  4

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1ex + c2e4x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ -5y’ + 4y = 4x e2x (2)

Vì 2 không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1 = (ax +b) e2x

1

' ae x 2( ) x

y”1 = 2ae2x + 2ae2x + 4( ax + b )e2x = 4ae2x + 4( ax + b )e2x

thay vào (2) ta đợc: 4ae2x + 4( ax + b )e2x -5ae2x 10(ax b e ) 2x+4(ax +b) e2x= 4x e2x

 -(a+2b)e2x-2axe2x = 4x e2x

  nghiệm riêng của (2) là:y1 = (-2x +1)e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”-5y’ + 4y = 34cosx (3)

Vì  i    0 i i không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là

y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” 2 = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 5asinx -5bcosx +4acosx + 4bsinx = 34cosx

(3 5 ) cos (5 3 )sin 34cos

 nghiệm riêng của (3) là y2= 3cosx -5 sinx

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là:

y = y0+y1+y2= c1ex + c2e4x +(-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Bài 7: y” -3y’ + 2y = 2x e2x + 10 sin x

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -3y’ + 2y = 0 (1)

Phơng trình đặc trng là : k2 – 3k + 2 = 0  k1  1;k2  2

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1ex + c2e2x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ -3y’ + 2y = 2x e2x (2)

Vì 2 là một ngiêm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1 = x(ax +b) e2x = (ax2 + bx)e2x

2 2 2 1

' (2ax b) e x 2( ) x

y”1 = 2ae2x + 2( 2ax + b )e2x + 2( 2ax + b )e2x + 4 ( ax2 + bx) e2x

= 2ae2x + 4 (2ax + b) e2x + 4 (ax2 + b)e2x thay vào (2) ta đợc

2ae2x + 4 (2ax + b) e2x + 4 (ax2 + b)e2x- 3( 2ax + b)e2x- 6(ax2 + bx) e2x+ 2 (ax2+ bx)e2x = 2xe2x

 2ae2x + (2ax + b)e2x = 2x e2x

  nghiệm riêng của (2) là:

y1 = (x2 -2x)e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”-3y’ + 2y = 10 sinx (3)

Vì  i    0 i i không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là

y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” 2 = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = 10sinx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = 10sinx

  nghiệm riêng của (3) là y2= 3cosx + sinx

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (x2 -2x)e2x + 3cosx + sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(x2-2x)e2x+3cosx +sinx

Bài 8: : y” - 4y’ + 8y = 4e2x + 20 cos2x

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” - 4y’ + 8y = 0 (1)

Phơng trình đặc trng là: k2- 4k + 8 = 0  k 1   2 2i; k2   2 2i

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0= C1e(2+2i)x + C2e(2-2i)x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y” - 4y’ + 8y = 4e2x (2)

Vì 2 không là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1= ae2x  y’1= 2ae2x ; y”1 = 4ae2x thay vào (2) ta đợc phơng trình

4ae2x - 8ae2x + 8ae2x= 4e2x  4ae2x = 4e2x  a = 1

 nghiệm riêng của (2) là : y1= e2x

 Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y” - 4y’ + 8y = 20cos2x (3)

Vì  i   0 i2 2  i không là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là

y2= acos2x + bsin2x  y’2= -2asin2x + 2bcos2x ; y2”= -4acos2x - 4bsin2x

Thay vào (3) ta đợc : -4acos2x - 4bsin2x +8asin2x -8bcos2x + 8acos2x + 8bsin2x = 20cos2x

 (4a-8b)cos2x + (4b + 8a) sin2x = 20 cos2x

  nghiệm riêng của (3) là : y2= cos2x – 2sin2x

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 =e2x+ cos2x- 2sin2x

Kết luận: Nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2= C1e(2+2i)x+ C2e(2-2i)x+ e2x+ cos2x-2sin2x