Tư liệu dạy học vật lí 7

TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. TÝnh[r]

Phần 1.

Thể tích khối đa diện

A Lý thuyết

1 Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)

2 Các công thức tính thể tích của khối đa diện

a) Thể tích khối hộp chữ nhật

V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hộp chữ nhật

b) Thể tích của khối chóp

V= 1

3 Sđáy h ; h: Chiều cao của khối chóp

c) Thể tích của khối lăng trụ

V= Sđáy h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ

B Các dạng bài tập

Dạng 1 Tính thể tích của khối đa diện

*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

Gọi A’ là trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = α

Tam giác vuông SOA có:

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại

A, AB = a, AC = a √3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung

điểm BC Tính VA’ABC theo a?

Giải

-Gọi H là trung điểm BC

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 1

Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có

AB = BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đờng cao hạ từ A của

6 a3

a

C A

a

a

B' C'

Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm

BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

D S

Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ = BD

sin cos sin cosSin AD AB cos  cosa sin cosa sin

       

SA = AB tan α = a sin α

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a các nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD)

và ở cùng một phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên

Ax, điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tíchcủa hình chóp BAMNC

GiảiGọi I là giao điểm của AC và BD

*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định

đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy.

đ-là tâm đờng tròn nội tiếp đáy

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờngcao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó

-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì ờng cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đờng thẳng đó

đ Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuônggóc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp

là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳngchứa đỉnh đã nói ở trên

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bênnghiêng trên đáy một góc α Tính VSABC

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đờng tròn ngoại tiếp

24 cos α

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = √3 và góc giữa 2

đờng chéo = 60o các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o Tính VSABCD

Giải

A B

C O

D

-Hạ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy ⇒ O là tâm đờng tròn đi qua

4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD

Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o

a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông

b) Tính VSABC

Giải

a)

H B A

S

C a

-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 1

2 ) =3a2

-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B

(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = SA2 =a

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o

∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = √3

HK

- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc

H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy

- Gọi K là hình chiếu của H lên AD

Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a √3 , (SAB) (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính

∆SAB hạ SH b AB(SAB) b (ABCD)

Bài 12: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = 12 AD

∆SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD =15a

Tính VSABCD

Giải

H

15a 8a

C B

-Trong ∆SBD kÎ SH b BD

V× (SBD) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD)-Tam gi¸c vu«ng SBD cã 1

SH 2 = 1

SH 2 + 1

SD 2hay 1

SH 2 = 1

64 a2 + 1

225 a2hay SH=√14400

Gi¶i

C

K B

Ta cã HK  AB

AB SH (v× SH  (ABD))

⇒AB  (SKH) ⇒ AB  SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α

∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα

= 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = 1

3 SH SABCD = 2

3a

3 sin 2α

Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC) ACB =60o,

BC = a, SA = a √3 , M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC

Gi¶i

H

C A

B

a M

C¸ch 1

SA b (ABC)

Tõ M kÎ MH // AS c¾t AB t¹i H ⇒ MH b (ABC)

V× M trung ®iÓm SB H- trung ®iÓm

MH= 1

a√3 2

Bµi 15 : H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA  (ABCD),

AB = a, SA = a √2 H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SD.Chøng minh r»ng: SC  (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK

Gi¶i

A

C O

H

a

N F E

Gäi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

KÐo dµi AF c¾t SC t¹i N

Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)

⇒ V = 13OE S Δ AHK= ¿ a3

√2 27

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a √2 ,

SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lợt là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩

AC Tính thể tích hình chóp ANIB

Giải

a K

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD đều Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD

Tính thể tích hình chóp CMNP

Giải

C

N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD

Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O

0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy

bằng chiều cao bằng a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’lấy B sao cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Kẻ đờng sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D.

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a√3

N M

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lợt là trung điểm

SA và SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hìnhchóp S.BCNM

Giải

S H

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a;

AA1 = a √2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Hớng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3√2

12

+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

Giải

a

H C

C'

Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD  ABM

Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = √23

VABCD = 2VCBMA = 2 1

3 CM.S∆ABC =

2 3

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.ĐặtCM=x.Hạ

SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tíchkhối này là lớn nhất

GIảI

C A

S

M D

Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc

với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng α

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứdiện SAKI

Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành

các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD

=a, AC = BD = b, AD = BC = c

Tính thể tích ABCD

Giải

H C P

Q

R B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm PQ, QR, PR.+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 1

4 S∆PQR

6 AD.BC.MN.Sin α Trong đó ABCD là tứ diện có MN là

độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, α =(AD,BC)

Hớng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam

diện đều bằng α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Giải

C A

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C

-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = α3

Tam giác vuông EBC có CE = α

2 tan α

Tam giác vuông FBC có BC = √CE 2 +EB 2 2

cos cos 2cos

a

a EB

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2,

AC cắt BD tại O SO  (ABCD), SA = 2 √2 Gọi M là trung điểm SC,(ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

Ta có AB // CD (gt)

(ABM) (SCD) = MN

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 √2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1;0; √2 )

VSAMN = 1

6 [ ⃗SA , ⃗SM ].SN = √

2 3

VSABMN = VSABM + VSAMN = √2

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c

a)TÝnh thÓ tÝch A’C’BDb)Gäi M lµ trung ®iÓm CC’TÝnh thÓ tÝch MA’BD.

Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a

và A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích lăngtrụ ABCA’B’C’

A'

O a

Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC

A’A = A’B = A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = √3 a2

4 ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O = a3√3

4

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác

vuông tại A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích của khốilăng trụ

Giải

C

C' A'

A

B

B'

b b'

Dễ thấy AB (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

∆ABC vuông tại A có C^ =600, AC=b nên BC=2b và AB= √3 b

vì AB  (ACC’A’) nên AB b AC’

∆ABC’ vuông tại A có AC’ = AB

tan 300=3 b

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2

⇒CC’ = 2 √2 b =AA’ S∆ABC = 21 CA.CBsin6oo =

B B'

C' A'

(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))

B Các bài tập

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC.

mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thểtích của hai phần đó

Giải

C

B

O A

S

D

M

B' I D'

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA  (ABCD) (SC, (SAB))

= α Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Giải

N M

Q E

Tam gi¸c vu«ng SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = SA2

cos α − sin α¿2=1− sin 2 α

Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua

AB  (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD,

N là trung điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lậpphơng

Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho SM

1

2 ,SN

NB=2 Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số

thể tích hai phần này

Giải

A' C

A

B E

M

N F

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)

Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên

đều bằng a M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thểtích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra

Giải

C'

C

B A

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

So sánh từng phần tơng ứng ta có V1 = V2 ⇒ V1

V2 = 1

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC  BD, ox  (ABCD) Lấy

S  Ox, S  O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chópthành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

S

C

M 3a

2a

C

M

a 3 2a

D

4

5 3

M 5

DÔ thÊy ∆ABC vu«ng t¹i A S∆ABC = 1

A N

B

C

D M

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.

a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a √5

và BAC = 120o Gọi m là trung điểm của cạnh CC1

Chứng minh rằng MB  MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng(A1BM)

Giải



52a2a a √5 ; 0 a √5 ; 0 2a = (9 a2√5

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đờng thẳng

qua M // với OA, OB OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lợt tại A1, B1, C1.Chứng minh rằng: MA1

O

K

A 1

M

Nối M với các đỉnh O,A,B,C Khi đó

VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

Tơng tự ta có VMOAB

VOABC=

MC1OC

VMOCA

VOABC=

MB1OB

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD Các đờng thẳng MA,

MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:

V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các

điểm A1, B1, C1 sao cho SA1

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1 Chứng minh rằng SD1

2 5

Giải

C D

-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44)

-Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50)

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng

a, cạnh bên bằng b Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Giải

a

C

C' O

O'

A 1

A 1 ' B'

B I

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy

một góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải

a O

S

M

B A

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO là trục củaABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SASO

Với AO = a√2

2 , AS =

AO cos 30o= 2

Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,

nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi

thêm thể tích mặt cầu

Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đờng tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là

hình vuông nội tiếp trong đờng tròn tâm O AA’, BB’ là các đờng sinh củakhối trụ Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o Tínhthể tích khối trụ

Giải

A' B'

B

A

D C

Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B

thuộc đờng tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đờng tròn đáy thứ hai của hìnhtrụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o Tính thể tíchkhối trụ

Giải

A J

B

M' C'

D

O'

O

Gọi I, J là trung điểm của AB và CD

Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’

MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:

Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6 Xác định các kích thớc của

khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇔R = 1 và h = 2

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đờng tròn đáy một cung α

và (P) tạo với đáy một góc β Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P)bằng a Tính thể tích của khối nón

Giải

O

A E B

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đờng cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO là

Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x = 3h

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng

2 π Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x vàtìm giá trị lớn nhất của V

Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đờng tròn

đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diệncạnh AM có số đo bằng β và khoảng cách t O đến (SAM) bằng a

Bài 10: Cho mặt cầu đờng kính AB=2R Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h.

Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đờng tròn (C)

Gọi EFlà 1 đờng kính cua (C) ta có :