Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC.. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC b.. T
Trang 1Trường THPT Lê Hồng Phong Đề thi thử đại học- cao đẳng lần thứ ba năm học 2008-2009
Môn thi: Toán, khối B và D
Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
1
2
ư
=
x
x y
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 2
2 Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên và
Câu II (2 điểm)
1 Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π )
2 Giải hệ bất phương trình sau:
+
≤ +
ư
<
ư
ư
3 1 3
1
3 3 2 2
) 3 ( log 5
log
x x x x
x x
Câu III (2 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= cos2x- sin x +1
2 Tính đạo hàm của hàm số sau tại x=0:
=
≠
ư
=
=
0 x nếu 0
0 x nếu f(x)
x
2 cos 1
Câu IV (3 điểm)
1 Cho A(-1; 0), B(1; 2) và một đường thẳng (d) có phương trình x- y- 1= 0
a Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng
(d)
b Xác định tọa độ của M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
M
đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B
2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a, OB= b, OC= c (a, b, c>0)
a Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng H là trực tâm
của tam giác ABC
b Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c
Câu V (1 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:
3
≥
ư +
+
ư +
+
ư
c b
a c
b a
c b
a
-Hết -
Chú ý : Thí sinh khối D không phải làm Câu IV-2-b
Họ và tên thí sinh: số báo danh
Trang 2
Hướng dẫn chấm thi môn toán- khối B
I 1 Khảo sát hàm số (1 điểm)
m=2 ⇒ y=
3
2
x3-x2+
3
1
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
yCĐ=y(0)=
3
1
, yCT=y(1)=0 y''=4x-2=0⇔x=
2
1 ⇒ y=
6
1
Đồ thị hàm
số lồi trên khoảng (-∞;
2
1
), lõm trên khoảng (
2
1
;+∞) và có điểm uốn
U(
2
1
;
6
1
)
0.25 Bảng biến thiên
x -∞ 0 1 +∞ y' + 0 - 0 +
y
-∞
3 1
0
c) Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm(1; 0),
(-2
1
;0) và cắt trục tung
tại điểm (0;
3
1
)
2
-2
g x ( ) =
2 3
( )⋅ x 3 -x 2
1 3
2 Tìm m để hàm số có
Trang 3
II
y=
3
1
mx3- (m-1)x2+ 3(m-2)x- 2+
3
1 '
y
⇒ =mx2-2(m-1)x+3(m-2)
Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
>
∆
≠
0 '
0 '
y
m
2
6 1
; 0 ( ) 0
; 2
6 1
Khi đó
=
=
⇔
ư
=
ư
= +
= +
3 2 2
) 2 ( 3
) 1 ( 2
1 2
2 1
2 1
2 1
m m
m
m x
x
m
m x
x
x x
(thỏa mãm điều kiện *)
0.5
1 Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3 sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π)
Phương trình ⇔cos2x- 3 sin2x=1
3
Z k k x
k x
∈
+
ư
=
=
π π π
Vì x∈(0;π) nên phương trình có nghiệm là x=
3
2π
0.25
0.5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=
3
2π
0.25
2 Xét bất phương trình log 5 log (3 )
3 1 3
1 ưx < ưx
Điều kiện :x<3
Bất phương trình ⇔ 5ưx >3ưx ⇔1< x <4 Kết hợp điều kiện suy
3 3 2
9
4 3
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x∈[2;3) 0.25 III 1 y= -2sin2x-sinx+2 Đặt t= sinx với t∈[ ]ư1;1
f'(t)=-4t-1; f'(t)=0
4
1
ư
=
⇔t GTLN =
17 ) 4
1 ( ) 4
1 ( ), 1 ( ), 1 ( max ) ( max
1
;
ư
ư
=
ư
t
GTNN=
1 ( ), 1 ( ), 1 ( min ) ( min
1
;
ư
ư
=
ư
2
Tính được
x
y
∆
→
∆lim0 = 2
0 ( )
2 cos 1 lim
x
x
∆
ư
→
Trang 4= 2
) (
sin 2
2
∆
∆
→
x
IV 1.a Gọi I(a; b) là tâm và bán kính của đường tròn (C ) cần tìm Phương
trình của đường tròn (C ) là (x-a)2+(y-b)2=R2 0.25
(C ) tiếp xúc với đường thẳng (d): x-y-1=0 khi và chỉ khi d(I;
d)=R⇔ aưbư = R
2
1 (1)
0.25
A, B thuộc (C ) nên
=
ư +
ư
= +
ư
ư
2 2 2
2 2 2
) 2 ( ) 1 (
) 1 (
R b
a
R b a
Giải hệ (1), (2) được a=0, b=1, R= 2
Khoảng cách từ M đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B nên
2 2
2 2
) 3 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1
Giải ra được m=
3
7
8+
;
3
7
8+
0.25
Tìm được hai điểm M1(
3
7
8+
;
3
7
5+
); M2(
3
7
8ư
;
3
7
5ư
2
CB OA
CB OH
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
)
O
Tương tự AC⊥BH (2)
Từ hai điều trên suy ra H là trực
tâm của tam giác ABC A
H B
C
0.5
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)=OH
2 2
2 2
1 1
1 1
OC OB
OA
OH=
2 2 2 2 2 2
a c c b b a
abc
+ +
0.5
V
Đặt
+
=
+
=
+
=
>
⇒
ư +
=
ư +
=
ư +
=
2 2 2
0 , ,
y x c
x z b
z y a
z y x
c b a z
b a c y
a c b x
2 2
z
y x y
x z x
z y
0.25
0.25
Trang 5VT= VF
z
y y
z z
x x
z y
x x
y + + + + + )≥3=
( 2
1
Dờu bằng xảy ra khi x=y=z ⇒ a=b=c
0.25 0.25
Hướng dẫn chấm thi môn toán- khối d
I 1 Khảo sát hàm số (1 điểm)
m=2 ⇒ y=
3
2
x3-x2+
3
1
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
yCĐ=y(0)=
3
1
, yCT=y(1)=0 y''=4x-2=0⇔x=
2
1 ⇒ y=
6
1
Đồ thị hàm
số lồi trên khoảng (-∞;
2
1
), lõm trên khoảng (
2
1
;+∞) và có điểm uốn
U(
2
1
;
6
1
)
0.25 Bảng biến thiên
x -∞ 0 1 +∞ y' + 0 - 0 +
y
-∞
3 1
0
c) Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm(1; 0),
(-2
1
;0) và cắt trục tung
tại điểm (0;
3
1
)
2
-2
g x ( ) =
2 3
( )⋅ x3-x2
1 3
2 Tìm m để hàm số có
Trang 6
II
y=
3
1
mx3- (m-1)x2+ 3(m-2)x- 2+
3
1 '
y
⇒ =mx2-2(m-1)x+3(m-2)
Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
>
∆
≠
0 '
0 '
y
m
2
6 1
; 0 ( ) 0
; 2
6 1
Khi đó
=
=
⇔
ư
=
ư
= +
= +
3 2 2
) 2 ( 3
) 1 ( 2
1 2
2 1
2 1
2 1
m m
m
m x
x
m
m x
x
x x
(thỏa mãm điều kiện *)
0.5
1 Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3 sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π)
Phương trình ⇔cos2x- 3 sin2x=1
3
Z k k x
k x
∈
+
ư
=
=
π π π
Vì x∈(0;π) nên phương trình có nghiệm là x=
3
2π
0.25
0.5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=
3
2π
0.25
2 Xét bất phương trình log 5 log (3 )
3 1 3
1 ưx < ưx
Điều kiện :x<3
Bất phương trình ⇔ 5ưx >3ưx ⇔1< x <4 Kết hợp điều kiện suy
3 3 2
9
4 3
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x∈[2;3) 0.25 III 1 y= -2sin2x-sinx+2 Đặt t= sinx với t∈[ ]ư1;1
f'(t)=-4t-1; f'(t)=0
4
1
ư
=
⇔t GTLN =
17 ) 4
1 ( ) 4
1 ( ), 1 ( ), 1 ( max ) ( max
1
;
ư
ư
=
ư
t
GTNN=
1 ( ), 1 ( ), 1 ( min ) ( min
1
;
ư
ư
=
ư
2
Tính được
x
y
∆
→
∆lim0 = 2
0 ( )
2 cos 1 lim
x
x
∆
ư
→
Trang 7= 2
) (
sin 2
2
∆
∆
→
x
IV 1.a Gọi I(a; b) là tâm và bán kính của đường tròn (C ) cần tìm Phương
trình của đường tròn (C ) là (x-a)2+(y-b)2=R2 0.25
(C ) tiếp xúc với đường thẳng (d): x-y-1=0 khi và chỉ khi d(I;
d)=R⇔ aưbư = R
2
1 (1)
0.25
A, B thuộc (C ) nên
=
ư +
ư
= +
ư
ư
2 2 2
2 2 2
) 2 ( ) 1 (
) 1 (
R b
a
R b a
Giải hệ (1), (2) được a=0, b=1, R= 2
Khoảng cách từ M đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B nên
2 2
2 2
) 3 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1
Giải ra được m=
3
7
8+
;
3
7
8+
0.25
Tìm được hai điểm M1(
3
7
8+
;
3
7
5+
); M2(
3
7
8ư
;
3
7
5ư
2
CB OA
CB OH
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
)
O
Tương tự AC⊥BH (2)
Từ hai điều trên suy ra H là trực
tâm của tam giác ABC A
H B
C
0.5
0.5
V
Đặt
+
=
+
=
+
=
>
⇒
ư +
=
ư +
=
ư +
=
2 2 2
0 , ,
y x c
x z b
z y a
z y x
c b a z
b a c y
a c b x
2 2
z
y x y
x z x
z y
z
y y
z z
x x
z y
x x
y
=
≥ + + + +
( 2
1
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z ⇒ a=b=c
0.25
0.25
0.25 0.25