Cho phÐp mçi lÇn ®æi mÆt ®ång thêi 5 ®ång tiÒn liªn tiÕp c¹nh nhau.[r]
Trang 1Đề thi vào 10 chuyên năm 1989-1990 Hà Nội
Bài 1 Xét biểu thức 1 2 52 1 2 1
A
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị x để A = -1/2
Bài 2 Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với
dự định Tính quãng đờng AB
Bài 3 Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC Tia Ax AE cắt cạnh CD kéo dài tại F Kẻ trung tuyến AI của AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K Đờng thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G
a) Chứng minh rằng AE = AF
b) Chứng minh rằng tứ giác EGFK là hình thoi
c) Chứng minh rằng hai tam giác AKF , CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF
d) Giả sử E chạy trên cạnh BC Chứng minh rằng EK = BE + điều kiện và chu vi
ECK không đổi
Bài 4 Tìm giá trị của x để biểu thức
2 2
2 1989
y
x
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (1)
Bài 1 Tìm n nguyên dơng thỏa mãn :
2( 1 3. )( 2 4. )( 3 5. ) ( n n( 2) )2001
Bài 2 Cho biểu thức 2
16 8
1
A
a) Với giá trị nào của x thì A xác định
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên
Bài 3 Cho ABC đều cạnh a Điểm Q di động trên AC, điểm P di động trên tia
đối của tia CB sao cho AQ BP = a2 Đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BQ tại M a) Chứng minh rằng tứ giác ABCM nội tiếp đờng tròn
b) Tìm giá trị lớn nhất của MA + MC theo a
Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
b a c b a c b c c a a b
Bài 5 Chứng minh rằng sin750 =
4
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (2)
P
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x 1
Bài 2 Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Nðu chảy cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể
Trang 2Bài 3 Chứng minh rằng phơng trình : x2 6x 1 0 có hai nghiệm
x1 = 2 3 và x2 = 2 3
Bài 4 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn ( M không trùng với A, B) Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là C, D
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích
KM.KN không đổi
c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là P và Q Xác định vị trí của M để diện tích NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi NPQ đại giá trị nhỏ nhất
d) Tìm quỹ tích điểm E
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001
Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1 a) Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên khi x là
số nguyên hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên hay không ? Tại sao ?
b) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức :
Bài 2 Giải phơng trình 4 x 1 x2 5x 14
Bài 3 Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ :
2 2
3 3
4 4
3 5 9 17
ax by
Tính giá trị của các biểu thức A ax 5by5và B ax 2001by2001
Bài 4 Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm là O Gọi d, d’ là các đờng thẳng vuông góc với AB tơng ứng tại A, B Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d ở
M, còn cạnh kia cắt d’ ở N kẻ OH MN Vòng tròn ngoại tiếp MHB cắt d ở
điểm thứ hai là E khác M MB cắt NA tại I, đờng thẳng HI cắt EB ở K Chứng minh rằng K nằm trên một đờng tròn cố đinh khi góc vuông uqay quanh đỉnh O
Bài 5 Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền đợc sơn một mặt màu đỏ và một mặt màu xanh Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phía trên Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5
đồng tiền liên tiếp cạnh nhau Hỏi với cánh làm nh thế sau một số hữu hạn lần
ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía trên đợc hay không ? Tại sao ?
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học s phạm HN
Bài 1 Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x
4
2 3 7 4 3
9 4 5 2 5
.
x
x
Bài 2 Với mỗi số nguyên dơng n, đặt Pn = 1.2.3….n Chứng minh rằng
a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1
b) 1 2 3
1
n
n
Bài 3 Tìm các số nguyên dơng n sao cho hai số x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều
là những số chình phơng
Trang 3Bài 4 Xét phơng trình ẩn x : (2x2 4x a 5)(x2 2x a x )( 1 a 1) 0
a) Giải phơng trình ứng với a = -1
b) Tìm a để phơng trình trên có đúng ba nghiệm phân biệt
Bài 5 Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các
đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC và BD Các đờng thẳng song song này cắt hai cạnh BC và AD lần lợt tại E và F Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J
t-ơng ứng
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cùng là trung điểm của EF b) Trong trờng hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho
EJ = JI = IF
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004
Đại học s phạm HN
Bài 1 Cho x, y, z là ba số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
Bài 2 Tìm tất cả bộ ba số dơng thỏa mãn hệ phơng trình :
2004 6 6
2004 6 6
2004 6 6
2 2 2
Bài 3 Giải phơng trình :
3 4
x
Bài 4 Mỗi bộ ba số nguyên dơng (x,y,z) thỏa mãn phơng trình x2+y2+z2=3xyz đợc gọi
là một nghiệm nguyên dơng của phơng trình này
a) Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dơng khác của phơng trình đã cho
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dơng
Bài 5 Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn (O) Một đờng thẳng d thay đổi luôn đi qua
A cắt các tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) tơng ứng tại M và N Giả sử d cắt lại đờng tròn (O) tại E (khác A), MC cắt BN tại F Chứng minh rằng :
a) ACN đồng dạng với MBA MBC đồng dạng với BCN
b) tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp
c) Đờng thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhng luôn đi qua A