Chuyeån vò ñieåm treân maët trung hoøa cuûa phaàn töû voû coù theå phaân thaønh ba thaønh phaàn, nhö chuùng ta vaãn thöïc hieän trong caùc baøi toaùn lyù thuyeát ñaøn hoài: u , v , w[r]
Trang 1CHƯƠNG 5 VỎ MỎNG
1 Vỏ mỏng
Vỏ trong tài liệu này được hiểu là vật thể bị hạn chế giữa hai mặt cong, chiều dầy
của vật thể là khoảng cách giữa hai mặt cong này nhỏ hơn nhiều nếu so với các kích thước còn lại của vật thể (tiếng Anh: shell) Nếu vật thể chỉ có giới hạn là hai mặt cong vừa
nêu, không có một hạn chế hình học nào khác nữa, chúng ta coi là vỏ kín Ngược lại, vỏ còn
bị hạn chế bởi các cạnh dạng đường bao vỏ, chúng ta có vỏ không kín Hình ảnh vỏ không
kín chúng ta thường gặp tại các công trình dân dụng như mái vòm nhà, mái các nhà thờ, một số kết cấu trên vỏ tàu vv… Vỏ kín đặc trưng của ngành tàu là vỏ tàu ngầm, máy thăm dò đáy đại dương Vỏ thân máy bay thuộc dạng vỏ kín
Mặt trung hòa của vỏ được hiểu là mặt cong cách đều hai mặt ngoài của vỏ Căn cứ
mặt trung hòa này người ta phân biệt các nhóm vỏ: vỏ cầu khi bán kính của mặt trung hòa không thay đổi, mặt trụ tròn nếu bán kính mặt trung hòa, đo tại mặt cắt ngang bất kỳ vật thể, không đổi, mặt côn vv…
Chiều dầy vỏ tại điểm bất kỳ là khoảng cách giữa hai mặt ngoài, đo theo pháp
tuyến với mặt trung hòa, qua điểm Tại đây cần phân biệt hai khái niệm: vỏ dầy và vỏ
mỏng Vỏ được coi là mỏng nếu tỷ lệ giữa chiều dầy và bán kính cung cong không vượt quá
1/20 Phân loại này hoàn toàn mang tính qui ước, phục vụ cho việc giản đơn hóa mô hình tính
Lý thuyết vỏ mỏng nhằm giải bài toán uốn vỏ và tính ổn định vỏ dựa trên các giả thuyết từ thời Kirchhoff :
1 Độ võng của vỏ đều trên suốt chiều dầy của vỏ,
2 Chuyển vị u và v theo hướng trục Ox, Oy của điểm trên vỏ là đại lượng rất nhỏ, nếu so với chuyển vị w theo hướng Oz,
3 Pháp tuyến tuyến tính đến mặt trung hòa của vỏ trước biến dạng sẽ giữ nguyên tư thế vuông góc và tuyến tính với mặt trung hòa vỏ ngay cả sau biến dạng vỏ,
4 Mỗi lớp vật chất bất kỳ thuộc vỏ, song song với mặt trung hòa, sẽ ở trạng thái ứng suất phẳng, còn áp suất tác động giữa các lớp với nhau rất nhỏ, được bỏ qua khi tính,
5 Vật liệu làm vỏ có tính đàn hồi, tuân thủ định luật Hooke
Các giả thuyết trên cho phép áp dụng lý thuyết “strip theory” vào nghiên cứu vỏ Theo cách làm này, nếu tách một phần tử rất nhỏ, song song với mặt trung hòa của vỏ để xem xét, có thể thấy ngay rằng phần tử vỏ ở trạng thái ứng suất phẳng Tại đây chúng ta sử dụng những cơ sở lý thuyết đàn hồi cho vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng để giải quyết vấn đề
Quay lại với phần tử vỏ, cạnh ds và ds trên hình, chúng ta có thể tính: 1 2
2 2
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
= +
dx
dz dx
dz dx
Trang 22 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= +
dy
dz dy
dz dy
Hình 5.1 và cosin chỉ hướng phần tử ds ds được biểu diễn dạng: 1 2
; )
, cos(
; 0 ) , cos(
; )
, cos(
1 1
1 1
1
ds
dz z ds y
ds ds
dx x
; )
, cos(
; )
, cos(
; 0 ) , cos(
2 2
2 2
2
ds
dz z ds ds
dy y ds x
Từ các công thức trên có thể viết tiếp:
2 2
2 1 2
1
1 1
) , cos(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
dy
dz dx
dz dy
dz dx dz ds
dz ds
dz ds
Những công thức trong lý thuyết vỏ sẽ được giản đơn hơn nếu chúng ta chỉ khảo sát những vỏ thỏa mãn điều kiện sau:
1
; 1
; 1
2 2
<<
<<
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dy
dz dx
dz dy
dz dx
Các công thức vừa nêu cũng cho thấy, với vỏ đang xét, góc giữa ds và ds1 2 có thể coi là vuông, còn chiều dài phần tử của mặt cong xác định như chiều dài phần tử phẳng
(ds) = (ds ) + (ds ) = (dx) + (dy) 1 2 (5.6)
Vỏ thỏa mãn điều kiện (5.5) trong tài liệu này gọi là vỏ thoải
Để xác lập phương trình vi phân, cân bằng phần tử vỏ, cần thiết tiến hành khảo sát hệ thống lực tác động lên phần tử vỏ kích thước các cạnh bằng dx, dy, chiều dầy t Hình ảnh các lực tác động lên phần tử vỏ được giới thiệu tại hình
Các lực có thể biểu diễn bằng công thức dạng sau đây:
N = σ dz ; N = σ dz ; x x y y
Nxy = Nyx = τxydz ;
Trang 3Qx = τ
−
+
∫
t t
/ /
2
2 xzdz ; Q = τ
−
+
∫
t t
/ /
2
2
dz ;
Mx = - zσ
−
+
∫
t t
/ /
2
2 xxdz; M = - zσ
−
+
∫
t t
/ /
2
2
y yydz ;
Mxy = Myx = - zτ
−
+
∫
t t
/ /
2
2
Trong đó t – chiều dầy vỏ,
N , N - lực kéo (nén), x y
M , M - momen uốn, x y
Q , Q - lực cắt x y
Hình 5.3 Phương trình cân bằng cho phần tử vỏ có thể xây dựng từ mô hình tại hình 5.3 Xét trên phần tử vỏ thoải như trình bày tại hình, có thể viết phương trình cân bằng lực chiếu về trục 0x:
∂
∂
N
y dy
xy
∂
∂
N
x dx
x
dy + (N + )dy - N
-Nx x xydx + ( Nxy + )dx = 0 (5.8)
và công thức tương tự cho các lực chiếu về trục 0y
Sau khi rút gọn hai phương trình này có dạng:
0
= +
y
N x
N x xy
∂
∂
∂
∂
0
= +
y
N x
∂
∂
∂
∂
(5.9)
Trong công thức cuối đã bỏ qua Q , Q1 2 là những đại lượng mang giá trị nhỏ hơn nhiều so với N , N và N1 2 xy Nhìn công thức (5.9) chúng ta có thể nhận ra, đây chính là hệ phương trình của bài toán đàn hồi phẳng
Phương trình cân bằng xác lập theo trục Oz có những đặc tính sau Độ lồi ban đầu wI(x,y) của vỏ, tính từ điểm trên mặt trung hòa đến mặt chuẩn qua các cạnh là một thành phần của độ võng Thành phần thứ hai của độ võng chính là chuyển vị w(x,y) của mặt
Trang 4trung hòa dưới tác động lực Các thành phần này tạo thành độ võng tính toán (w + wI) trong các phương trình cân bằng Tiến hành chiếu các lực về trục Oz, có thể nhận thấy:
dxdy x
w w R
N dxdy x
w w x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
+
∂ + +
∂
+
∂
∂
∂
2 2
1 1
và
dxdy y
w w R
N dxdy y
w w x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
+
∂ + +
∂
+
∂
∂
∂
2 2
2 2
Trong công thức R và R là các bán kính cung ds và ds 1 2 1 2
Chiếu lực cắt Nxy và Nyx về trục Oz, thực hiện các phép tính cân bằng có thể thấy:
dx y x
w w y
w
∂
∂
∂
∂
+
+
x
w
w I
∂
dx x
N
∂
∂
-Ndy
dx y x
w w x
w
∂
∂
∂
∂
+
+ Ndx
x
w
w I
∂
dy y
N
∂
∂
y x
w
w I
∂
∂
∂2( + )
y
w w x
∂
∂
∂
x
w w y
∂
∂
∂
Thành phần Q và Q khi chiếu về trục Oz sẽ có dạng: 1 2
∂
∂
Q
y dy
y
∂
∂
Q
x dx
x
(Q + x )dy - Q dy + ( Q + x y )dx - Q dx + y
2
2
) (
x
w
w I
∂
2
2
) (
y
w
w I
∂
y x
w
w I
∂
∂
∂2( + )
x
w
w I
∂
∂
∂
∂
∂
N x
N y
+
∂
∂
∂
∂
N
y
N x
+ ( + )
y
w
w I
∂
∂( + )dxdy + q(x,y)dxdy = 0; (5.13)
Hình 5.4 Sau khi rút gọn phương trình:
y
Q x
∂
∂
∂
∂
⎦
⎤
⎢
⎣
1
) (
1
x
w w R
I
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
2
) (
1
y
w w R
I
∂
∂
y x
w
w I
∂
∂
∂2( + )
Phương trình các momen với ký hiệu M = Mxy = Myx:
∂
∂
M y
∂
M x
-M dx + (M + y y dy)dx - M dy + ( M + dx)dy -
Trang 5∂
Q y
2
(Q + y dy) dxdy - q(x,y)dxdy = 0 (5.15)
Tương tự cách làm này có thể viết phương trình momen trên trục 0y Kết quả rút gọn các phương trình momen sẽ là :
∂
∂
∂
∂
M y
M x
Q = y
∂
M xy
M y
+
Phương trình cuối cho phép thay đổi cách viết biểu thức (5.14) Đưa giá trị Q , Qx y vào phương trình (5.14) sẽ nhận được công thức sau:
y x
M y
M x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2 2 2
2
2 +
⎦
⎤
⎢
⎣
1
) (
1
x
w w R
I
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
2
) (
1
y
w w R
I
∂
∂
y x
w
w I
∂
∂
∂2( + )
Và như vậy điều kiện cân bằng phần tử vỏ cho phép viết 3 phương trình (5.9), (5.17) chứa 6 ẩn số ứng lực là N , N , Nx y xy (hoặc Nyx), M , M , và M x y xy (hoặc Myx) Bài toán tìm nghiệm ứng lực của vỏ trở thành bất định Giống như các bài toán trong lý thuyết đàn hồi, bài toán tính vỏ cũng là bất định, ngay cả khi tính phần tử vỏ vô cùng bé Lối thoát cho vấn đề này, theo thông lệ vẫn tiến hành trong lý thuyết đàn hồi là tìm đến chuyển vị và biến dạng vỏ
2 Biến dạng vỏ thoải
Chuyển vị điểm trên mặt trung hòa của phần tử vỏ có thể phân thành ba thành phần, như chúng ta vẫn thực hiện trong các bài toán lý thuyết đàn hồi: u , v , w0 0 Chuyển
vị điểm bất kỳ trong vỏ, nằm cách mặt trung hòa khoảng cách z sẽ mang ký hiệu u, v, w Như đã đề cập trong các giả thiết, chuyển vị w không thay đổi theo chiều dầy vỏ, do vậy ký hiệu đang dùng w đúng cho trường hợp điểm bất kỳ của vỏ, kể cả khi nằm trên mặt trung hòa
Trường hợp vỏ cong, bán kính cung cong R, khi biến dạng chiều dài phần tử vỏ cũng
bị thay đổi, tùy thuộc độ lớn R
’ Hậu quả là, biến dạng bổ sung theo hướng trục Ox (ε ) của biến dạng pháp w sẽ là: x
1 1
'
R
w d
R
wd
α
α
2 2
'
R
w d
R
wd
α
α
Tương tự vậy, biến dạng bổ sung theo hướng Oy sẽ là:
Trong khi đó biến dạng bổ sung do cắt là đại lượng vô cùng bé, có thể bỏ qua trong các phép tính Lưu ý đến đặc điểm trên đây có thể viết quan hệ giữa biến dạng và chuyển
vị điểm của mặt trung hòa vỏ thoải như sau:
Trang 6a – khoảng sườn
Bỏ qua các thành phần vô cùng bé, phương trình ổn định vỏ tựa tự do sẽ có dạng:
⎭
⎬
⎫
− +
+ +
− +
+
− +
⎩
⎨
⎧
−
− +
=
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
12 1 5
, 0
1
*
n E taR
EI n
m
m m
n m
R
t n
m R
Eh
q
α
α ν
α
α ν
α
(5.108)
Các công thức (5.103), (5.104), và (5.108) xác định tải trọng giới hạn về mặt lý thuyết Kết quả tính theo công thức trên lớn hơn giá trị thu được từ các thí nghiệm ổn định Những người làm công tác nghiên cứu ổn định vỏ trong ngành tàu thường sử dụng thêm hệ số hiệu chỉnh khi tính giá trị tải trọng giới hạn cho kết cấu thực Các hệ số này bao gồm thành phần tính đến ảnh hưởng sai lệch mặt cắt kết cấu so với vòng tròn η1, ảnh hưởng của vật liệu η2, dùng cho vật liệu không hoàn toàn tuân thủ định luật Hooke Như vậy trong thực tế tính toán, áp lực giới hạn cần được tính theo công thức sau hiệu chỉnh:
Hệ số η thu được từ thí nghiệm: 1
0,6 < η < 1 1
7 Ổn định vỏ cầu
Vỏ cầu kín có ứng dụng rộng rãi trong các công trình dân dụng Chúng ta sẽ khảo sát vỏ cầu bán kính R đủ lớn, chịu áp lực đều q, tác động từ phía lồi Khi mất ổn định trên mặt vỏ xuất hiện hàng loạt chỗ lồi, kích thước những điểm lồi nhỏ nếu so với R Những điều kiện trên cho phép áp dụng công thức (5.93) khi khảo sát tính ổn định
Trước tiên ần xác định ứng suất chuỗi cho trạng thái không momen Vì rằng vỏ cầu chịu áp lực đều, đối xứng qua tâm cầu, ứng suất chuỗi tính bằng biểu thức:
Mặt khác có thể viết:
Đưa biểu thức cuối vào đạo hàm phương trình (5.93) sẽ đưa lại phương trình sau:
4 4 0 4 2
D∇ ∇ ϕ + t.σ ∇ ∇ ϕ + (Et/R2)∇ ϕ = 0 4 (5.112)
4 Với vật liệu đẳng hướng, w = ∇ ϕ, phương trình trên đây sẽ mang dạng:
Để xác định tải trọng gây mất ổn định vỏ cầu, cần phải giải phương trình (5.113), tìm nghiệm khác 0 Cách làm thể hiện bằng ví dụ cụ thể sau
2
trong đó λ đang là ẩn số của bài toán
Thay biểu thức (5.114) vào phương trình (5.113) và rút gọn sẽ nhận được:
0 0 2
2 + +σ λ =
R Et D
Trang 7Từ đó:
λ λ
R
Et D
Bây giờ cần xác định λ , tại đó hàm
t
qR
2
0 =
σ sẽ đạt cực trị
0 2 2
0
= +
−
=
λ λ
σ
R
Et D d
t d
0 Ứng suất σ sẽ là giá trị nhỏ nhất khi (5.116)
2
DR
Et
±
=
λ
Do đó:
3 2 2
0 2
2
λ λ
σ
R
Et d
t d
−
= nên ứng suất σ sẽ đạt minimum tại: 0
Vì rằng
D
Et R
1
−
=
Thay biểu thức tính λ này vào (5.114) sẽ nhận được quan hệ:
DEt R
0 =
σ
Từ đó áp lực giới hạn sẽ phải là:
2 2
) 1 ( 3
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
R
t E q
Với vật liệu có ν = 0,30 có thể viết:
2 21 ,
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
R
t E
Để xác định dạng mất ổn định cần thiết tìm nghiệm chu kỳ của phương trình (5.114), khi λ mang dấu âm Tính chu kỳ xuất phát từ cơ sở là sau khi mất ổn định vỏ cầu vẫn là vỏ kín