Trong nhöõng tröôøng hôïp chòu neùn khi öùng suaát neùn vöôït quaù giaù trò giôùi haïn caùc taám coù khaû naêng bò maát oån ñònh.. Trong phaàn naøy chuùng ta xem xeùt nhöõng vaán ñeà li[r]
Trang 1CHƯƠNG 4
ỔN ĐỊNH TẤM
1 Ổn định tấm
Trong những trường hợp chịu nén khi ứng suất nén vượt quá giá trị giới hạn các tấm có khả năng bị mất ổn định Trong phần này chúng ta xem xét những vấn đề liên
quan mất ổn định tấm mỏng, tương đương khái niệm thin plate buckling vẫn dùng rộng
rãi trong tiếng Anh Giới hạn ổn định cho tấm được xét theo cách sau Giả sử tấm chữ nhật cạnh axb, chịu tác động ứng suất nén σ1 dọc trục 0x Phương trình uốn tấm tựa trên các cạnh x = 0 và x = a được viết dưới dạng:
4 4
4 2 2 2 4 3 4
4 2
x
w N y
w D y x
w D
x
w
x ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= +
trong đó độ cứng chịu uốn: D1 =
) 1
(
12 1 2
3 1 ν ν
−
t E
; D2 =
) 1
(
12 1 2
3 2 ν ν
−
t E
D3 = ν1ν2 +2DT và độ cứng chịu xoắn DT =
12
3
Gt
Lực nén Nx = -σ1.t
Phương trình uốn tấm (4.105) viết trong hệ tọa độ tương đối sẽ là:
ξ = x/a ; η = y/b; w* = w 14
qa
Nếu ký hiệu : γ = a/b; α = γ2
1
2
D
D
; β =
2 1
3
.D D
D
(4.107)
4
4
*
∂ξ
∂ w + 2αβ. 24 *2
∂η
∂ξ
∂ w + α2
4
4
*
∂η
∂ w = - 2 22
1
2
1
∂ξ
∂ γ
D
b
Lời giải cho (4.108) tìm dưới dạng:
w = f
m=
∞
∑
1
Thay giá trị tại biểu thứ cuối vào (4.108) sẽ nhận được phương trình vi phân bậc 4 sau:
fm(IV)(η) - 2β
α (mπ)2fm’’(η) -
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1 )
1
2 1 2
4
π
γ σ
α
π
m D
tb
Bốn nghiệm của phương trình vi phân (4.110) được tìm dưới dạng:
Trang 2s = ± mπ 1 1 12 1
2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
β π
γ
σ α
β
m D
tb
(4.111) Hàm fm(η) phụ thuộc vào giá trị χ =
2
1
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
γ σ
m D
tb Nếu χ < 1 tất cả nghiệm sẽ là nghiệm phức, còn χ > 1 sẽ có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm ảo
s1, 2 = ± am ; s3, 4 = ± ibm
trong đó am = mπ 1 1 12 1
2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
β π
γ σ
α
β
m D tb
bm = mπ 1 1 12 1
2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
β π
γ
σ α
β
m D
tb
(4.112)
Từ đó có thể viết biểu thức của fm:
fm(η) = Amcoshamη + Bmsinhamη + Cmcosbmη + Dmsinbmη (4.113) Các hằng số Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều kiện biên trên y = const Tại y
=0 sẽ tìm hai phương trình mô tả điều kiện biên, còn tại y = a cũng xác lập 2 phương trình Từ hệ 4 phương trình sẽ tìm được giá trị 4 hằng số liên quan, rồi từ đó xác lập phương trình tìm nghiệm σ1 Trong tập họp các giá trị của σ1 sẽ tìm giá trị nhỏ nhất làm nghiệm của bài toán
Trường hợp cả 4 mép tấm tựa trên gối cứng, biểu thức cho w tìm theo cách đã làm trong bài toán Navier
w*(ξ, η) = a
n
m =
∞
=
∞
∑
∑
1 1
Biểu thức cho amn xác định từ phương trình:
amn { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ γ
π 1
2
1
2
tb
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ } = 0 (4.115)
Vì rằng hằng số Fourier amn ≠ 0 biểu thức trong ngoặc phải bằng 0 Do vậy:
π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ γ
π 1
2
1
2
tb
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 0 (4.116)
và σ1 = D
n m
1 2
2 2
2 2
2 2 2 2
π
α
⎛
⎝
⎠
Trang 3Trong họ giá trị σ1 phụ thuộc vào m, n cần chọn giá trị nhỏ nhất Từ (4.117) có thể thấy, giá trị cần tìm này sẽ tìm thấy trong họ nghiệm cho trường hợp n =1 Và như vậy:
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
2 2 2
2 1
2
m
m t
b
γ
π
(4.118)
Giá trị m trong biểu thức cuối phụ thuộc vào α Để xác định m có nhiệm vụ đưa biểu thức nằm trong dấu ngoặc đơn của (4.118) về minimum, có thể gián tiếp xử lý thông qua bất đẳng thức:
(m+1)2 + 2βα + 2 2
) 1 (m+
α ≥ m2 + 2βα +
2 2
m
α (m-1)2 + 2βα +
≥ m2 + 2βα + 22
m
α Từ các bất đẳng thức có thể thấy rằng:
) 1 ( )
1
Rồi rừ đó rút ra kết luận để m làm đúng phận sự đã nêu:
m =1 nếu 0 ≤ √α ≤ √2
m =2 nếu √2 ≤ √α ≤ √6
m = 3 nếu √6 ≤ √α ≤ √12
Từ biểu thức (4.118) có thể nhận thấy rằng N = 2 22
2
m
m + βα+α → ∞ khi α→
0 và α→ ∞, do vậy có thể ngừa rằng có giá trị của α∈(0÷∞) sẽ làm cho N đạt giá trị nhỏ nhất
2 2
2 1
m
m
N =− +
α
∂α
Có thể rút ra m4 = α2 hay là m = √α
Thay giá trị của m vào (4.118) để xác định giá trị ứng suất giới hạn hay là ứng suất Euler σE:
) 1 (
2 2
2
γ
α π
t b D
Trang 4=1 m
=2 m=3
m=3
m=2
2
1 2 2 6 3 4 N
Hình 4.1 Có thể nhận xét rằng, N giảm dần trong phạm vi γ = 0 đến γ = 1 và đạt giá trị minimum lần thứ nhất tại γ = 1 Trường hợp γ > 1 N tăng với tốc độ chậm đến γ = √2, sau đó giảm chậm và đạt minimum tại γ = 2 Chu trình tiếp tục theo hướng đang trình bà, xem hình 4.1
Trường hợp tấm bằng vật liệu đẳng hướng với D1 = D2 = D3 = D; β =1 và γ2 = α công thức tính ứng suất nén giới hạn là:
σ1 =
2 2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
m
m t b
γ π
Trong phạm vi γ ≤ a/b ≤ 1 và m =1 biểu thức trên đây biến thành:
( 2 2 2
2
1 γ
π
t a
D
Nếu tỉ lệ giữa các cạnh là số nguyên, m = γ, công thức tính σE sẽ là:
t b
D
2
4π
Ví dụ 1: Tìm hiểu tính ổn định tấm trực hướng, tựa trên mép x = 0 và x = a,
ngàm tại mép y = ± b/2, chịu nén dọc trục 0x
Hàm chuyển vị tìm dưới dạng: w = f
m=
∞
∑
1
m(η)sinmπξ
Tận dụng tính đối xứng qua trục 0x của bài toán, hàm fm(η) chỉ cần giữ lại thành phần với chỉ số chẵn
fm(η) = Amcosh amη + Cmcosbmη (4.126) Điều kiện biên tại y = ±b/2 tức là η = ± 1/2 áp dụng cho hàm fm(η)
fm(±1/2) = 0;
Trang 5Amcosh (am/2 ) + Cm cos ( bm/2) = 0;
Am.am.sinh(am/2) + Cm.bm.cos(bm/2) = 0 (4.128) Từ đó tìm được phương trình để xác định ứng suất giới hạn:
bm cosha m
2 sinb m
2 + amsinha m
2 cos b m
hoặc là:
b m
2 tg b m
2 = - a m
2 tanha m
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình cuối sẽ là giới hạn cần tìm
Nghiệm được tìm bằng phương pháp gần đúng, có thể đưa về dạng:
σ1* = k πD
b t
1
2 với k = σ
π 1 2
1 2
tb
Một số giá trị k dùng cho vật liệu đẳng hướng, phụ thuộc tỉ lệ a/b như sau:
Bảng 1
Có thể dựa vào lý thuyết ổn định tìm cách xác định công thức thực tế cho biểu thức tính tải giới hạn Chúng ta cùng quay lại trường hợp tấm chữ nhật chiều dài a, chiều rộng b, chịu lực nén dọc theo hướng Ox, song song cạnh chiều dài a, tựa trên bốn mép tấm Trường hợp này hệ thống lực tác động trong mặt xOy của tấm như sau:
Nx = -N = const; Ny = Nxy = 0
Phương trình chuyển vị tấm có dạng:
0 2
2
∂
∂ +
∇
x
w N w
Chuyển vị w được trình bày dạng chuỗi =∑∑∞ ∞
m n mn
b
y n a
x m a
sin sin Sau thay thế w vào phương trình đang nêu có thể viết:
b
y n a
x m a
a
m N b
n a
m D
m n
mn
π π
π
2 2 2
2 2 2
2 4
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Nghiệm phương trình sẽ là:
Trang 6Sử dụng các ký hiệu quen thuộc:
S b
D b
a
2 4 32
;
γ
π λ
γ = = điều kiện (j) sẽ được viết lại:
( 2 2)( 2 2) 0
2
2 2 2 2
=
−
−
−
p q pq mn
n q p m
mnpq a
n m a
γ
γ
Trường hợp nhận m = n = 1, 2 các hệ số a11, a22 được tìm từ hệ hai phương trình đại số:
0 9
4 1
22 11
2
2 2
= +
+
a a
γ
γ
λ
0 9
4 1
16
11 22
2
2 2
= +
+
a a
γ
γ λ
hay :
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
0
0 1
16 9
4
9
4 1
22 11
2
2 2 2
2 2
a a
γ
γ λ γ
γ λ
Vector {a} khác không trong trường hợp này, định thức của phương trình ma trận phải bằng 0, nghiệm phương trình bậc hai của γ được xác định như sau:
( 2)2
2
1 9
1
γ
γ λ
+
±
=
Từ đó có thể xác định lực giới hạn:
3
2 2 2
4
1 32
9
γ
γ
±
=
b
D
S cr
Tấm mỏng chịu lực cắt tại các mép sẽ chuyển sang trạng thái mất ổn định nếu giá trị lực cắt vượt quá giới hạn Công thức tính ứng suất cắt giới hạn các tấm mỏng:
2 2 2
) 1 (
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
=
b
t E C
π
Hệ số C cho trường hợp này trình bày tại hình 2.5
Trang 70 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 a/b 2.5
5
7.5
10
C
Các mép ngàm
Các mép tựa
Hình 2.5
Công thức cần thiết tính hệ số C dùng trong các qui phạm có dạng:
C ≈ 4(b/a)2 + 5,34 với a/b ≥ 1
C ≈ 5,34(b/a)2 + 4,0 với a/b < 1
Dạng mất ổn định tấm chịu lực cắt mép của tấm a = 2b có dạng như trình bày dưới đây
Hình 2.6