Các bài toán cực trị trong tam giác

LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải.. về bài toán bất đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chủ tịnh hội đồng bảo vệ

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Người hướng dẫn khoa học

TS.Lê Đình Định

STT

MỤC LỤC 01

Lời cảm ơn……….02

Lời nói đầu……….03

Bố cục chính của luận văn……… 04

Một số ký hiệu dùng trong luận văn……… 07

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị………08

1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……….08

1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản……… 12

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác……… 15

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác……….17

2.1 Một số phương pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác…… 17

2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……… 18

2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai……… 21

2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……….29

2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……… 33

2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……….44

Chương 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác………… 55

Kết luận……… 77

Tài liệu tham khảo……… 78

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

LỜI NÓI ĐẦU

Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và

nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải Có rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này

Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì không

Ví dụ:

a (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  3 cosA 2cosB 2 3 cosC

do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức trong tam giác Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong tam giác, và ngược lại

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc loại khó Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông

Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn thiện Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm rất khó đối với bản thân tôi

3 cosA 2cosB 2 3 cosC 4

Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác Đồng thời tôi cũng đưa

ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác

Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết Tác giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của tôi thêm hoàn thiện hơn

Bố cục của luận văn bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức

cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức

tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

Gồm 5 phần:

Phần 1: Sử dụng các tính chất của tích vô hướng

a) a b  a b. b)

2

1

0

n i i

a



  

 

 

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai

Cho   2

a)  0 af x  0; x b) Nếu  sao cho: af   0 thì

 1 2

0

;

x x



 



 



để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác

Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác

Chương 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác

Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác

Ngày … tháng 12 năm 2016

Học viên

Một số ký hiệu dùng trong luận văn

1) ABC: tam giác ABC

A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB

2) h h h a; b; c: là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c

3) l l l a; ;b c: là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c 4) m m m a; b; c: là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c 5) r r r a; ;b c: là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C 6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC 7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC

8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

9) : với mọi

10) CMR: chứng minh rằng

11) Đpcm: Điều phải chứng minh

12)    ; ; : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

1.1.1 Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác

1.1.1.1 Định lý hàm số sin:

sin sin sin 2

R

1.1.1.2 Định lý hàm số cos:

2 2 2

2 cos

a b  c bc A

2 2 2

2 cos

b a  c ac A

2 2 2

2 cos

c a b  ab A

1.1.1.3 Định lý hàm số tan:

tan 2 tan 2

A B

a b

A B

a b





tan 2 tan 2

B C

b c

B C

b c





tan 2 tan 2

c a

c a



 



1.1.1.4 Công thức tính diện tích tam giác

ABC

1 1 1 ah

2 a 2 b 2 c

S   bh  ch

1 .sin 1 .sin 1 .sin

2ab C 2bc A 2ca B

( ) ( ) ( )

abc

R

2

2R sinAsinBsinC

  p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức He - ron)

1.1.1.5 Công thức bán kính:

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

2sin 2sin 2sin 4

R

- Bán kính đường tròn nội tiếp:

p

- Bán kính đường tròn bàng tiếp:

tan 2

a

p a



tan 2

b

p b



tan

2

c

p c



1.1.1.6 Công thức đường trung tuyến

2 2 2 2

a

2 2 2 2

b

2 2 2 2

c

1.1.1.7 Công thức phân giác trong

2 cos 2

b

l

c a



2 cos 2

c

l

a b



2 cos 2

a

l

b c



1.1.1.8 Công thức hình chiếu

.cos cos (cot cot )

2 2

.cos cos (cot cot )

2 2

.cos cos (cot cot )

2 2

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.2 Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác

Trong mọi ABC ta luôn có:

1.1.2.1 sin sin sin 4 cos cos cos

2 2 2

1.1.2.2 sinh 2Asin 2Bsin 2C4sin sin sinA B C

1.1.2.3 2 2 2

sin A sin B sin C 2cosAcosBcosC 2

1.1.2.4 cos cos cos 4sin sin sin 1

2 2 2

1.1.2.5 cos 2Acos 2Bcos 2C 4cos cos cosA B C1

1.1.2.6 2 2 2

cos A cos B cos C  2cosAcosBcosC 1 Chứng minh:

Các bài từ 1.1.2.1 đến 1.1.2.6 đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các

công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải

Lưu ý: A B C   Ta chứng minh 1.1.2.3 các ý còn lại tương tự

Ta có

2

2

1 cos

C

C

 

:

1.1.2.7 cot cot cot cot cot cot

2 2 2 2 2 2

1.1.2.8 tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2

1.1.2.9 cotAcotBcotBcotCcotCcotA1

1.1.2.10 tanAtanBtanCtanAtanBtanC (ABC không vuông)

Chứng minh

Cách chứng minh của bốn bài từ 1.1.2.7 đến 1.1.2.10 tương tự nhau, ta

chứng minh bài 1.1.2.9

Ta có: cot(A B )   cotC

cot cot 1 cot

cot cot

C



 cotAcotBcotBcotCcotCcotA1

1.1.2.11 cos cos cos

2 2 2 4

R

 ; sin sin sin

2 2 2 4

R



1.1.2.12 tan tan tan 4

p



   ; cot cot cot

2 2 2

r

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.3 Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát

Chứng minh rằng trong mọi ABC và k ta luôn có:

1.1.3.1 sin(2k 1)A sin(2k 1)B sin(2k 1)C

( 1) 4 cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

sin 2kA sin 2kB sin 2kC  ( 1)k 4sinkAsinkBsinkC

1.1.3.3 cos(2k 1)A cos(2k 1)B cos(2k 1)C

1 ( 1) 4sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)

1.1.3.4 cos 2kA cos 2kB cos 2kC    1 ( 1) 4cosk kAcoskBcoskC

1.1.3.5 tankAtankBtankCtankAtankBtankC

1.1.3.6.

cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1)

1.1.3.7

tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 1

1.1.3.8 cotkAcotkBcotkBcotkCcotkCcotkA1

1.1.3.9 2 2 2

cos kA cos kB cos kC   1 ( 1) 2cosk kAcoskBcoskC

1.1.3.10 2 2 2 1

sin kA sin kB sin kC   2 ( 1)k 2coskAcoskBcoskC

Chứng minh Bài 1.1.3.1 là bài tổng quát của Bài 1.1.2.1

Ta có: sin(2k 1)A sin(2k 1)B sin(2k 1)C

2sin(2 1) cos(2 1) 2sin(2 1) cos(2 1)

2( 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

( 1) 4 cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4 lần lượt là bài tổng quát của bài

1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4 cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1

Bài 1.1.3.5 là bài tổng quát của bài 1.1.2.10

Từ đó có được: tankAtankBtankCtankAtankBtankC

Bài 1.1.3.6 là bài tổng quát của bài 1.1.2.7 chứng minh tương tự bài 1.1.3.5 Bài 1.1.3.7 là bài tổng quát của bài 1.1.2.8

Ta có

tan(2 1) tan(2 1)( )

cot (2 1) (2 1)

1

tan (2 1) (2 1)



1 tan(2 1) tan(2 1)

tan(2 1) tan(2 1)



Từ đó ta có đựơc:

tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 1

Bài 1.1.3.8 là bài tổng quát của bài 1.1.2.9 cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.7

Bài 1.1.3.9 là bài tổng quát của bài 1.1.2.6

Ta có: 2 2 2

cos kA cos kB cos kC

=1(1 cos 2 ) 1(1 cos 2 ) ( 1) cos cos ( )

k

1 ( 1) cosk kC cos (k A B) cos (k A B)

1 ( 1) 2cosk kAcoskBcoskC

Bài 1.2.3.10 là bài tổng quát của Bài 1.2.1.3 chứng minh tương tự bài 1.2.3.9

của bài tập 1.2.1.; bài tập 1.2.2.; bài tập 1.2.3

1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số không âm: a a1, 2, ,a n Ta có bất đẳng thức:

1 2

1 2

n n

n

a a a n

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski

Cho n cặp số bất kì: a a1, 2, ,a b b n; ,1 2, ,b n

Ta có bất đẳng thức:

(a b a b   a b n n)  a a   a n b b   b n Hay gọn hơn:

2 2

    

     Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: k a: i kb i (*)

Với i 1, 2, ,n (nếu b i  0; i(*) được viết: 1 2

1 2

n n

a

b  b   b )

1.2.3 Bất đẳng thức Trêbƣsep

Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau:

1 2 n; 1 2 n

a a  a b b  b

Ta có bất đẳng thức sau:

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

     (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a1 a2   a n; b1b2   b n

CHÚ Ý: Nếu hai dãy số trên sắp xếp ngược chiều nhau thì bất đẳng thức (*)

đổi chiều

1.2.4 Bất đẳng thức Jensen

Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi Trước hết xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi

1.2.4.1 Cho hàm số y f x  xác định trên  a b; Hàm f được gọi là lồi trên đó nếu thoả mãn điều kiện sau đây:

Nếu x x1 2 a b, ,m n, 0 :m n 1 thì f mx 1nx2mf x 1 nf x 2

1.2.4.2 Hàm số y f x  xác định trên đoạn  a b, gọi là lõm trên đó, nếu như -f(x) là lồi

Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm)

Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên  a b,

- Nếu như f ''( )x    0; x ( , )a b thì f x( ) là hàm lồi trên  a b,

- Nếu như f ''( )x    0; x ( , )a b thì f x  là hàm lõm trên  a b,

1.2.4 3 Bất đẳng thức Jensen

Cho f x  là hàm lồi trên  a b, Giả sử x x1, 2, ,x n a b, Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

1 2

1

n

n

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2   x n.

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

a)

2

3 cos cos

cosA B C (ABC nhọn)

b)

2

3 3 sin sin

sinA B C 

c)

2

3 2

sin 2

sin 2 sin A B  C 

d)

2

3 3 2

cos 2

cos 2 cos A B  C 

e)

8

1 cos cos cosA B C 

f)

8

3 3 sin sin sinA B C 

g)

8

3 3 2 cos 2 cos 2 cos A B C 

h)

8

1 2 sin 2 sin 2 sin A B C  i) cotA cotB cotC 3 (ABC nhọn ) j) tanA tanB tanC 3 3 ( ABC nhọn)

2

tan 2

tan 2 tanA B C 

2

cot 2

cot 2 cot A B  C  m) tan tan tanA B C3 3

n)

3 3

1 2 tan 2 tan 2

Chứng minh (Xem trong [1])

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

2.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị trong tam giác

Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị

trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải

và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản Các cách giải đó là gì? đó là dựa vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó là

sử dụng một số bất đẳng thức đã biết Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất quan trọng sau về hàm số lượng giác cos, tức là cosx 1 với mọi x Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

M  sin + sin B - cosA C

Lời giải

Ta có

in sin cos 2sin cos cos 2 cos cos

Lại có:

2

2 cos cos 2 cos 2 cos 1 2 cos

Vì vậy:

3 sin sin cos

2

M  A B C

Vậy max 3

2

M  khi và chỉ khi 1

cos

2 2

C







 tam giác ABC cân tạiC với

2 3



Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

sin sin 1 cos

3