Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị cho học sinh trung học phổ thông

2 Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa toán trung học phổ thông, Bất đẳng thức và các bài toán về cực trị hàm số là những nội dung hay và có thể khai thác giúp học sinh hình thành

i

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc một cách nghiêm túc, em đã hoàn thành cuốn luận văn tốt nghiệp này Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người đã giúp đỡ, bên cạnh

em suốt thời gian qua

Đầu tiên, cho phép em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, thầy đã quan tâm, giúp đỡ, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này Không chỉ được giúp đỡ về mặt chuyên môn, trong quá trình làm việc, em còn học hỏi được tinh thần làm việc khoa học và đầy trách nhiệm

từ thầy, từ đó tích lũy được những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho bản thân

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã truyền đạt cho em bao kiến thức quý báu và hoài bão trong suốt thời gian học cao học vừa qua và tạo điều kiện giúp em thực hiện luận văn này

Dù đã hết sức cố gắng tuy luận văn của em không thể tránh khỏi những điều còn thiếu sót Em rất mong nhận được những nhận xét và những lời góp ý từ phía thầy cô

và bạn đọc để luận văn của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Học viên

Phạm Thị Tuyết Trang

iv

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Đóng góp mới của đề tài 3

7 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 5

CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 5

1.1 Một số vấn đề liên quan đến năng lực 5

1.1.1 Mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ 5

1.1.2 Khung năng lực 5

1.1.3 Mối quan hệ giữa mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ và năng lực 6

1.2 Mô hình cấu trúc năng lực của học sinh trung học phổ thông 6

1.2.1 Năng lực chung 6

1.2.2 Năng lực chuyên biệt 7

1.3 Năng lực chuyên biệt trong môn Toán 7

Quan điểm của Mogens Niss về năng lực chuyên biệt trong môn Toán: 7

1.4 Năng lực giải quyết vấn đề 9

1.4.1 Kĩ năng giải quyết vấn đề nói chung 9

1.4.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong môn Toán 11

1.5 Một số phương pháp dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề 12

1.5.1 Phương pháp làm việc nhóm 12

1.5.2 Phương pháp tình huống 13

1.5.3 Dạy học giải quyết vấn đề 15

v

1.5.4 Dạy học dựa trên dự án 18

Kết luận chương 1 23

CHƯƠNG 2 24

MỘT SỐ DẠNG BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 24

2.1 Một số kiến thức về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen 24

2.2 Một số dạng bài chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen theo hướng phát triển năng lực 39

2.2.1 Một số kiến thức liên quan 39

2.2.2 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Jensen theo hướng phát triển năng lực 40

2.3 Một số bài toán về cực trị theo định hướng phát triển năng lực 63

2.3.1 Một số kiến thức liên quan 63

2.3.2 Một số bài toán cực trị theo định hương phát triển năng lực 65

Kết luận chương 2 81

CHƯƠNG 3 83

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

3.1 Mục đích thực nghiệm 83

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 83

3.3 Nội dung thực nghiệm 83

3.4 Cách tiến hành thực nghiệm 83

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 84

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 87

Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục của nước ta hiện nay đang trong giai đoạn cải cách một cách căn bản

và toàn diện Ngày này, giáo dục của chúng ta đang dần thay đổi để chuyển một nền giáo dục lấy trang bị kiến thức chuyên môn làm mục tiêu chủ yếu sang một nền giáo dục chỉ dạy những kiến thức chuyên môn căn bản ở mức tối thiểu Điều quan trong

là dành nhiều thời gian dạy người học về phương pháp, kỹ năng, cách tự học, dạy người học cách sử dụng và khai thác các thiết bị hiện đại ngày một phổ biến… và dạy

để làm người với mục đích những người được đào tạo có khả năng thích ứng nhanh với hoàn cảnh cùng với đó, có khả năng học tập suốt đời và có trách nhiệm đối với gia đình, xã hội và Tổ quốc Để đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, chúng ta đã đưa ra những mục tiêu cụ thể đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông Mục tiêu này có những điểm mới so với mục tiêu của những giai đoạn trước đó Trước hết,

nhấn mạnh tập trung hình thành "năng lực công dân; năng lực thực hành và vận dụng kiến thức vào thực tiễn" Mục tiêu giáo dục của quá trình đổi mới này đó là tập trung

vào việc phát triển năng lực cho người học Năng lực được hiểu là sự vận dụng tổng hợp nhiều yếu tố (kiến thức, kĩ năng, thái độ, động cơ, hứng thú…) nhằm thực hiện công việc có hiệu quả Quan niệm này chi phối toàn bộ các yếu tố của quá trình giáo dục, từ nội dung, phương pháp đến đánh giá kết quả học tập Mục tiêu phát triển năng lực nhằm khắc phục tình trạng quá chú trọng vào trang bị kiến thức hàn lâm, kinh viện; người học biết nhiều lí thuyết nhưng thực hành, vận dụng kém…Mục tiêu này dẫn đến việc chúng ta phải thay đổi một cách căn bản hệ thống đánh giá từ kiểm tra kiến thức sang đánh giá năng lực Đầu vào thì đánh giá năng lực có học được (cấp học, chương trình học ấy) không Trong quá trình thì đánh giá năng lực hiểu và tiếp thu sáng tạo những điều đã học Đầu ra thì đánh giá năng lực vận dụng những điều

đã học tập, rèn luyện vào môi trường sắp tới…Như vậy, chúng ta thấy rằng việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh là vô cùng cần thiết và cấp bách Một trong những năng lực quan trọng cần thiết đó là năng lực giải quyết vấn đề

2

Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa toán trung học phổ thông, Bất đẳng thức và các bài toán về cực trị hàm số là những nội dung hay và có thể khai thác giúp học sinh hình thành năng lực giải quyết vấn đề trong toán

Từ những lý do trên, tôi đã quyết định lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị cho học sinh trung học phổ thông.”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số dạng bài nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn

đề cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen và các bài toán cực trị hàm số

3 Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nội dung bất đẳng thức và cực trị hàm số trong dạy

học theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề

- Khách thể nghiên cứu: Việc dạy học nội dung chứng minh bất đẳng thức và cực trị hàm số theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá, giỏi

- Phạm vi nghiên cứu: 35 học sinh lớp 12 Lí - Trường trung học phổ thông Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng và nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan đến năng lực nói chung, năng

lực chuyên biệt trong môn Toán nói riêng và năng lực giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu, xây dựng một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen và cực trị hàm số theo hướng giải quyết vấn đề cho học sinh khá, giỏi

- Tổ chức nội dung dạy học chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Jensen và cực trị hàm số để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm một phần kết quả nghiên cứu

- Đưa ra kết luận và một số kiến nghị nhằm nâng cao việc dạy học bất đẳng thức

và cực trị hàm số theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

về dạy học giải quyết vấn đề

- Phương pháp thực nghiệm để đo lường khả năng phát hiện và giải quyết các

vấn đề của học sinh bằng việc xây dựng các bài kiểm tra ngắn

- Phương pháp quan sát để ghi chép quá trình thực nghiệm làm căn cứ bổ sung

cho phần phân tích kết quả thông qua việc theo dõi, lắng nghe, thu thập các thông tin

về sự thể hiện ba mặt của năng lực: kiến thức, kĩ năng, thái độ của khách thể

- Phương pháp xử lí số liệu để phân tích kết quả thu được sau qua trình thực nghiệm thông qua phần mềm Excel

6 Đóng góp mới của đề tài

Về mặt lí luận

- Làm rõ thêm vai trò của việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực giải

quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong giai đoạn hiện nay

- Cách thức xây dựng nội dung dạy học chứng minh bất đẳng thức và cực trị hàm số theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề

Về mặt thực tiễn

- Các dạng bài chứng minh bất đẳng thức và cực trị hàm số có thể sử dụng vào việc giảng dạy của giáo viên giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng giải quyết vấn đề trong môn Toán nhằm phát huy năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT

- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung chứng minh bất đẳng thức

và cực trị hàm số trong nhà trường phổ thông

7 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm 3 phần như sau:

4

Phần mở đầu: Trình bày các vấn đề: Lí do chọn đề tài, lịch sử nghiên cứu vấn

đề, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu

Phần nội dung: Gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Một số dạng bài chứng minh bất đẳng thức và bài toán cực trị theo định hướng phát triển năng lực

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Phần kết luận và kiến nghị: Trình bày những kết luận rút ra trong quá trình nghiên cứu cũng như thực nghiệm và nêu một số ý kiến đề xuất

Ngoài ra có phần phụ lục và tài liệu tham khảo

5

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số vấn đề liên quan đến năng lực

1.1.1 Mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ

Mục tiêu theo nghĩa cơ bản nhất là cái ta cần chiếm lĩnh và ta phải đánh giá được cái đã chiếm lĩnh ấy

Thái độ được xem là khả năng phản ứng (tích cực hoặc tiêu cực) với một số

sự vật, tình huống, hoàn cảnh, quan niệm hoặc những người khác Thái độ gần giống với hứng thú nhưng hứng thú chỉ giới hạn trong một phạm vi hẹp của cảm xúc và sự thích thú tới một nhóm hoạt động nhất định

Thái độ cũng gần giống với quan điểm nhưng nó khác quan điểm về tính khái quát và phương pháp đo lường Quan điểm là sự phản ánh đặc biệt đối với một sự vật hiện tượng cụ thể, trong khi đó thái độ mang tính khái quát và là sự phản ánh tới một nhóm các sự kiện hoặc một nhóm người Hơn nữa, con người nhiều khi nhận thức rõ quan điểm của mình nhưng không hoàn toàn ý thức được về thái độ của mình

Người có năng lực về lĩnh vực nào đó cần hội tụ các yêu cầu sau:

Thứ nhất, có kiến thức, hiểu biết một cách hệ thống, sâu sắc về lĩnh vực đó Thứ hai, biết lựa chọn và thực hiện các hành động cụ thể, lựa chọn được các giải pháp, phương tiện để thực hiện nhiệm vụ phù hợp với mục địch, mục tiêu đề ra

Thứ ba, hành động một cách hiệu quả, ứng phó linh hoạt với những bối cảnh khác nhau

Khung năng lực (Competences framework) là bảng mô tả tổ hợp các kiến thức, kỹ năng, thái độ và đặc điểm một cá nhân cần để hoàn thành tốt công việc Kết cấu của khung năng lực thường gồm 3 nhóm năng lực chính sau:

1.1.3 Mối quan hệ giữa mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ và năng lực

Năng lực của người học đối với một môn khoa học nào đó được mô tả kết hợp kiến thức, kỹ năng, thái độ thành hành vi cần thiết giúp người học thực hiện có hiệu quả những nhiệm vụ thực trong cuộc sống

1.2 Mô hình cấu trúc năng lực của học sinh trung học phổ thông

Năng lực của học sinh trung học phổ thông là khả năng làm chủ hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ, phù hợp với lứa tuổi và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lý và thực hiện thành công nhiệm vụ học tập, giải quyết hiệu quả những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống

Thứ ba, nhóm năng lực công cụ:

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông;

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ;

- Năng lực tính toán

7

1.2.2 Năng lực chuyên biệt

Năng lực chuyên môn là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn Trong đó bao gồm cả khả năng tư duy lô gic, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khả năng nhận biết các mối quan hệ hệ thống và quá trình Năng lực chuyên môn hiểu theo nghĩa hẹp là năng lực “nội dung chuyên môn”,

theo nghĩa rộng bao gồm cả năng lực phương pháp chuyên môn

Kết luận: Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại với nhau Năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu năng lực chung càng phát triển thì càng dễ thành công năng lực chuyên môn Ngược lại, sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế, con người muốn có mọi hoạt động có kết quả cao thì cần có sự phát triển đồng thời cả hai năng lực

1.3 Năng lực chuyên biệt trong môn Toán

Quan điểm của Mogens Niss về năng lực chuyên biệt trong môn Toán:

Theo Mogens Niss (Imfufa, Roskilde University, P.o.box 260, Dk – 4000 Roskilde, Denmark), năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm:

 Tư duy Toán học;

 Đặt ra và giải quyết các vấn đề Toán học;

 Mô hình Toán học;

 Lý luận Toán học;

 Đại diện các đơn vị Toán học;

 Xử lý các kí hiệu và công thức Toán học;

 Giao tiếp với Toán học;

 Sử dụng các phương tiện, công cụ hỗ trợ

Tư duy Toán học (Suy nghĩ một cách toán học)

Đưa ra vấn đề là một đặc điểm của toán học, và xác định loại câu trả lời (chưa cần thiết trả lời và cách trả lời cầu hỏi)

Hiểu và xác định phạm vi và giới hạn của khái niệm đưa ra

Mở rộng phạm vi của khái niệm bằng cách trừu tượng hóa một số tham số; tổng quát hóa kết quả cho các trường hợp rộng hơn

8

Phân biệt các mệnh đề toán học khác nhau (bao gồm cả điều kiện “nếu-thì”, mệnh đề lượng hóa, giả thiết, định nghĩa, định lý, giả định, các trường hợp)

Đưa ra và giải các bài toán

Nhận biết, đưa ra và xác định các dạng của bài toán – nguyên bản hay ứng dụng; đóng hay mở

Giải các dạng bài toán khác nhau (nguyên bản hay ứng dụng; đóng hay mở), bất kể đưa ra bởi giáo viên hay người khác, và nếu có thể, các cách khác nhau

Mô hình hóa toán học (nghĩa là phân tích và xây dựng mô hình)

Phân tích cơ sở và các đặc điểm của mô hình đang tồn tại, bao gồm cả đánh giá phạm vi và sự tồn tại của mình

Giải mã mô hình đang tồn tại, nghĩa là giải thích và hiểu rõ vấn đề thực tế Biểu diễn mô hình trong trường hợp cụ thể:

- Kết cấu phạm vi

- Toán học hóa

- Làm việc với mô hình, bao gồm giải quyết vấn đề

- Xác định tồn tại cuả mô hình, trong và ngoài

- Phân tích và phản biện mô hình, cho nó và các khả năng có thể

- Diễn tả về mô hình và kết quả

- Theo dõi và điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Lập luận toán học

Theo dõi và đánh giá các thông số được đưa ra bởi người khác

Nhận biết các chứng minh toán học

Biểu diễn các đại lượng Toán học (kí hiệu và biểu thức)

Hiểu và sử dụng (luận giải, giải thích, phân biệt giữa) các cách biểu diễn khác nhau của các đối tượng Toán học, hiện tượng và tình huống

Dịch được từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ biểu tượng/chính thức

Xử lí và vận dụng trình bày báo cáo chứa các kí hiệu và công thức

Giao tiếp về Toán học

Hiểu các bài viết khác, dưới dạng trực quan hay truyền thụ, trong một loạt những ngôn ngữ sổ sách, về những vấn đề có nội dung Toán học

Phát biểu ý kiến bản thân, ở các trình độ khác nhau về lí thuyết và kĩ năng Toán học, dưới hình thức vấn đáp, trực quan hay tự luận, về một vấn đề cụ thể

Sử dụng các phương tiện và công cụ hỗ trợ (bao gồm Công nghệ thông tin)

Hiểu biết về sự tồn tại và khả năng của các công cụ, phương tiện hỗ trợ cho Toán học, về hoạt động, phạm vi và hạn chế của nó

Có khả năng sử dụng các công cụ hỗ trợ

Sử dụng kí hiệu, hình thức và ngôn ngữ chuyên môn, các phép toán học (Usingsymbolic, formal and technical language and operations):

1.4 Năng lực giải quyết vấn đề

1.4.1 Kĩ năng giải quyết vấn đề nói chung

Kỹ năng giải quyết vấn đề (Problem Solving Skills) là một trong những kĩ năng rất cần thiết trong học tập và làm việc, bởi vì cuộc sống là một chuỗi các vẫn đề đòi hỏi chúng ta phải giải quyết mà không vấn đề nào giống vấn đế nào và cũng không

có một công thức chung nào để giải quyết mọi vấn đề Điều quan trọng là chúng ta phải tự trang bị cho mình những hành trang cần thiết để khi vấn đề nảy sinh, chúng

ta có thể vận dụng những kỹ năng sẵn có để giải quyết vấn đề đó một cách hiệu quả nhất Thông thường để giải quyết một vấn đề, về cơ bản có các bước sau:

Bước một, nhìn nhận và phân tích

10

Trước khi cố tìm hướng giải quyết vấn đề, chúng ta nên xem xét kĩ đó có thật

sự là vấn đề đúng nghĩa hay không Chúng ta không nên lãng phí thời gian và sức lực vào giải quyết vấn đề nếu nó có khả năng tự biến mất hoặc không quan trọng

Bước hai, xác định chủ sở hữu của vấn đề

Không phải tất cả vấn đề có ảnh hưởng đến chúng ta đều do chính ta giải quyết Nếu chúng ta không có quyền hạn Nếu chúng ta không có quyền hạn hay năng lực

để giải quyết nó, cách tốt nhất là chuyển vấn đề đó sang cho người nào có thể giải quyết

Bước ba, hiểu vấn đề

Chưa hiểu rõ nguồn gốc của vấn đề sẽ dễ dẫn đến cách giải quyết sai lệch, hoặc vấn đề cứ lặp đi lặp lại Nếu nói ngôn ngữ của y khoa, việc bắt không đúng bệnh thì chỉ triệu chứng chứ không trị được bệnh, đôi khi “tiền mất, tật mang” Chúng ta nên dành thời gian để lấy những thông tin cần thiết liên quan đến vấn đề cần giải quyết, theo gợi ý sau: Mô tả ngắn gọn vấn đề, nó đã gây ra ảnh hưởng gì?; vấn đề xảy

ra ở đâu?; lần đầu tiên nó được phát hiện ra là khi nào?; có gì đặc biệt hay khác biệt trong vấn đề này không?

Ở đây ta cần tìm hiểu vấn đề bằng cách đặt ra các câu hỏi:

- Tính chất của vấn đề? ( khẩn cấp, quan trọng)

- Yêu cầu chỉ thị của cấp trên là gì?

- Nguồn lực để giải quyết vấn đề?

- Vấn đề này có thuộc quyền giải quyết của mình hay không?

- Có tác dụng khắc phục giải quyết vấn đề dài lâu

- Có tính khả thi

11

- Có tính hiệu quả

Bước năm, thực thi giải pháp

Khi chúng ta tin rằng mình đã hiểu được vấn đề và biết cách giải quyết nó, chúng ta có thể bắt tay vào hành động Để đảm bảo các giải pháp được thực thi hiệu quả, nhà quán lý cần phải xác định ai là người có liên quan, ai là người chịu trách nhiệm chính trong việc thực thi giải pháp, thời gian để thực hiện là bao lâu?, những nguồn lực sẵn có khác…

Bước sáu, đánh giá

Sau khi đã đưa vào thực hiện một giải pháp, chúng ta cần kiểm tra xem cách giải quyết đó có tốt không và có đưa tới những ảnh hưởng không mong đợi nào Những bài học rút ra được ở khâu đánh giá này sẽ giúp chúng ta giảm được rất nhiều

“calori chất xám” và nguồn lực ở những vấn đề khác lần sau

Có thể chúng ta sẽ cảm thấy hơi rườm rà nếu làm theo các bước trên “Vạn sự khởi đầu nan”, lần đầu tiên áp dụng một kĩ năng mới bao giờ cũng đòi hỏi sự kiên nhẫn và quyết tâm Nếu chúng ta thường xuyên rèn luyện thì dần dần kĩ năng giải quyết vấn đề sẽ trở thành phản xạ vô điều kiện

Sau khi đã đưa vào thực hiện một giải pháp, chúng ta cần kiểm tra xem cách giải quyết đó có tốt không và có đưa tới những ảnh hưởng không mong đợi nào không Những bài học rút ra được ở khâu đánh giá này sẽ giúp chúng ta giảm được rất nhiều

“calori chất xám” và nguồn lực ở những vấn đề khác lần sau

Các bước trên được xây dựng trên một nguyên tắc mà người ta tạm gọi là KOALA:

K: Thông tin ( Knowledge)

0: Mục tiêu( Objectives)

A: Phương án( Alternatives)

L: Đánh giá và lựa chọn ( Look ahead)

A: Hành động ( Action)

1.4.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong môn Toán

Giải quyết vấn đề là một quá trình mà cá nhân vận dụng kiến thức, kĩ năng và

kĩ xảo đã được học để đáp ứng yêu cầu của những tình huống không quen thuộc

Giải quyết vấn đề toán học gồm ba bước:

12

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề

 Tạo tình huống gợi vấn đề;

 Giải thích để hiểu đúng tình huống;

 Phát biểu và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Giải quyết vấn đề

 Phân tích, làm rõ những mối quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết;

 Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, ở đây thường vận dụng quy tắc tìm đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, khái quát hóa, suy ngược suy xuôi, ;

 Trình bày cách giải quyết vấn đề

Bước 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải

 Kiểm tra sự đúng đắn của lời giải;

 Kiểm tra tính tối ưu, tính hợp lý của lời giải;

 Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết vấn đề nếu có thể 1.5 Một số phương pháp dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề

Nhược điểm:

Khó tổ chức (do trình độ các nhóm và các thành viên trong nhóm không đồng đều), mất thời gian (cần phải bố trí đủ thời gian cho một vấn đề đi đến giải quyết), đòi hỏi kinh nghiệm tổ chức từ phía người dạy, có thể xảy ra khả năng “người thứ ba vác cây gỗ”…

Các bước triển khai:

13

- Giao nhiệm vụ cụ thể: giải thích, mô tả mục tiêu, yêu cầu, đưa ra cam kết làm việc chặt chẽ (“luật”, thể lệ…), giới hạn thời gian, dự kiến phân chia vị trí, điều kiện làm việc Có hai cách giao nhiệm vụ cho các nhóm: Các nhóm được giao cùng một nhiệm vụ (nhóm đồng việc), mỗi nhóm được giao một nhiệm vụ bộ phận của vấn

đề chung Việc lựa chọn cách triển khai tùy thuộc và mục tiêu và đặc điểm của nội dung dạy học: cách thứ nhất phù hợp với yêu cầu tìm ra các hướng giải quyết sáng tạo cho cùng một vấn đề, áp dụng trong trường hợp vấn đề tương đối đơn giản; cách thứ hai áp dụng trong trường hợp vấn đề tương đối phức tạp, khối lượng kiến thức lớn, thời gian hạn hẹp Trong trường hợp này kết quả giải quyết các vấn đề bộ phận của các nhóm sẽ được người dạy kết nối, tổng hợp và chốt lại sau phần làm việc của nhóm

- Chia nhóm: xác định qui mô nhóm, các thành viên của nhóm (chia ngẫu nhiên, chỉ định, theo cơ cấu, theo vị trí…) Lưu ý: cần cố gắng tạo mặt bằng trình độ, năng lực của các nhóm là như nhau

- Hoạt động của các nhóm, người dạy điều khiển, quản lý, hỗ trợ các nhóm làm việc Lưu ý: ra tín hiệu bắt đầu và kết thúc phần làm việc của các nhóm phải rất

1.5.2 Phương pháp tình huống

Khái niệm: Là phương pháp sử dụng những chi tiết, sự kiện, hoàn cảnh, tình huống (phải là tình huống có vấn đề - có thể thật hoặc hư cấu – chứa đựng nội dung dạy học) làm phương tiện để đạt mục tiêu dạy học Thông qua việc phân tích, nghiên

Tình huống mang tính giới thiệu, đề cập

Tình huống nêu ra vấn đề cần giải quyết

Tình huống có tính tổng hợp

Tình huống mang tính gợi ý, dẫn dắt, trình diễn…

Các bước triển khai:

Chuẩn bị tình huống: lựa chọn thông tin, nội dung dạy học, tìm kiếm khả năng

“cấy ghép” vào tình huống thực tế, thiết kế, soạn thảo tình huống, chuẩn bị các câu hỏi hỗ trợ, lên kế hoạch triển khai…

Giới thiệu, mô tả tình huống: cung cấp thông tin, đề ra nguyên tắc, mục tiêu cần đạt, giải đáp thắc mắc…

Triển khai nghiên cứu, phân tích, xử lý tình huống: người học có thể làm việc độc lập, theo tổ, nhóm, thảo luận hay tự đưa ra ý kiến…

Tổng kết việc xử lý tình huống

15

Ưu điểm:

Các vấn đề lồng ghép trong tình huống được nghiên cứu, xử lý một cách tập trung, hiệu quảm có chủ đích, tạo khả năng đưa ra nhiều phương án giải quyết

Khuyến khích tăng cường khả năng, cách tư duy độc lập, sáng tạo

Tăng cường tính giao tiếp, khả năng học qua hành động thực tiễn (learning by doing) Nhược điểm:

Tốn công soạn tình huống phù hợp (tình huống có vấn đề chứa đựng các mâu thuẫn nội tại cũng như mâu thuẫn trong người học; tình huống phải sát thực tế, mang tính thời sự), thiết kế tài liệu phục vụ cho nghiên cứu tình huống

Đôi khi khó tìm ra một giải đáp hiệu quả, có tính thuyết phục cao

Khó tổ chức do trình độ người học không đồng đều, mất thời gian…, mang tính thách thức cao với người dạy

Những điều lưu ý khi soạn thảo và triển khai phương pháp tình huống:

Trong thực tế dạy học, khi lựa chọn và thiết kế tình huống, người dạy cần chú

ý những điểm sau:

- Lựa chọn tình huống cấp thiết, sát thực, điển hình và khả thi

- Lựa chọn tình huống mở, tạo điều kiện phát triển sáng tạo cho con người Khi soạn thảo tình huống nên tuân theo bố cục:

- Chủ đề (tên gọi) tình huống

- Mục tiêu, nhiệm vụ cần giải quyết (thực tế hay giả định)

- Mô tả tình huống: bối cảnh, diễn biến, các đối tượng tham gia, có mặt…

- Chốt lại nội dung tình huống (không bình luận)

Lưu ý: Khi thiết kế tình huống cần sử dụng văn phong ngắn gọn, dễ hiểu, đơn nghĩa (tránh bị hiểu lệch, hiểu sai), phong cách trung lập, hấp dẫn

Sự thành công của phương pháp này phụ thuộc rất lớn vào người học Do vậy, người dạy luôn phải thực hiện vai trò hướng dẫn, điều khiển, hỗ trợ tạo điều kiện, môi trường dạy học nhằm thúc đẩy người học

1.5.3 Dạy học giải quyết vấn đề

Khái niệm: Dạy học dựa trên giải quyết các vấn đề là mô hình dạy học đặc biết

có giá trị nhằm phát huy tối đa tính tích cực của người học Thực chất dạy học dựa trên giải quyết các vấn đề sử dụng một vấn đề (chứa mâu thuẫn) như là động lực để

16

dạy học Thông qua việc giải quyết vấn đề đặt ra, người học sẽ chiếm lĩnh được nội dung dạy học Người học được yêu cầu khảo sát vấn đề, thường là trong các nhóm nhỏ, và làm việc để đưa ra một giải pháp hay một câu trả lời cho vấn đề đó bằng cách

mô tả dựa trên các nguồn thông tin phù hợp

Quá trình triển khai bao gồm:

Đặt vấn đề (tình huống có vấn đề)

Nhận diện rõ vấn đề

Vạch ra các chiến lược, giải pháp

Thu thập, chọn lọc các nguồn thông tin

Điều tra, khảo sát, phân tích

Giải quyết vấn đề (từ bộ phận đến tổng thể)

Đánh giá, kiểm chứng tính xác thực của kết quả

Dạy học dựa trên giải quyết các vấn đề không chỉ đơn giản là tăng số lượng các hoạt động hay bài tập liên quan đến cách giải quyết vấn đề Thực tế, học tập dựa trên vấn đề làm thay đổi rất nhiều các quan điểm thông thường về giảng dạy và học tập Dạy học dựa trên giải quyết các vấn đề đảo ngược lại mô hình dạy và học truyền thống mà trong đó một khối kiến thức liên quan đến chủ đề được trình bày lần lượt từng phần một cho người học tới khi họ nắm được các vấn đề chuyên môn, sử dụng kiến thức tổng thể mà họ vừa tích lũy được

Vai trò của người dạy là gì?

Người dạy phải luôn duy trì sự tập trung gấp hai lần, tỉnh táo trước các tình huống và cảm xúc của người học trong khi khơi gợi các câu trả lời và suy nghĩ của người học trong quá trình học tập

Trong mô hình dạy học này, người dạy có thể đảm nhận những vai trò sau:

- Chuyên gia thành thạo về môn học và kiến thức liên quan

- Người hướng dẫn cho sinh viên các nguồn tham khảo khác, ví như các tài liệu, địa chỉ Internet…

- Trưởng lớp và một người điều khiển các hoạt động nhóm, nhưng thường chỉ làm nền

- Người khơi gợi, “mào đầu” của ý kiến, người kiểm tra và người thử thách

- Người khuyến khích người học trải nghiệm các khó khăn

17

- Người cùng học và cùng người học khám phá các giải pháp sáng tạo những vấn đề không có duy nhất một đáp án

- Trọng tài, quan tòa, thẩm phán hay sứ giả hòa bình nếu mọi chuyện tồi tệ

Một cách học tập dựa trên vấn đề tiêu biểu – chuỗi dạy học dựa trên giải quyết vấn

đề là:

- Có bối cảnh có tính kích thích các nhu cầu học tập

- Người học trở nên chủ động rất nhanh Họ được phân chia về các nhóm giải quyết vấn đề và bắt đầu trực tiếp thảo luận, bàn bạc qua với giáo viên, những người cùng học và những người tham gia khác

- Người học xây dựng một cơ sở kiến thức gồm các tài liệu liên quan, học cách kiểm tra chúng ở đâu và tìm kiếm thêm tài liệu

- Người học cố gắng hệ thống hóa lại và củng cố kiến thức, sau đó gặp trợ giáo và thảo luận về trường hợp liên quan đến kiến thức mà học nắm được Kiến thức được vận dụng vào vấn đề/trường hợp cần giải quyết

- Vấn đề được xem xét lại và người học phát triển các kỹ năng tự học và kỹ năng làm việc nhóm

Hai biến số chính quyết định những loại hình khác nhau của dạy học dựa trên giải quyết vấn đề:

- Mức độ chặt chẽ của vấn đề được đặt ra:

+) Vấn đề được soạn thảo chặt chẽ, trường hợp nghiên cứu được đặt ra rất chi tiết, với tất cả các thông tin cần thiết cho việc tìm các hướng giải quyết vấn đề đó

+) Vấn đề đặt ra có kèm theo một số dữ kiện có tình gợi mở, người học phải tìm ra phần còn lại

+) Vấn đề đã quá rõ hay chưa xác định thì không có dữ kiệu, người học hoàn toàn phải nghiên cứu vấn đề/trường hợp này

- Phạm vi những chỉ dẫn của người trợ giáo:

+) Vấn đề được trợ giáo bàn đến trong bài giảng

+) Phương pháp dạy học dựa trên vấn đề hoặc trường hợp điển hình cần trình bày các trường hợp nghiên cứu cho người học trước khi giảng bải

+) Vấn đề được giới thiệu, cung cấp các thông tin hay nguồn thông tin cần thiết, sau đó được thảo luận nhóm

18

Một điều cần đặc biệt lưu ý là kiệu vấn đề đưa ra trước, sau đó cung cấp thông tin cần thiết để giải quyết vấn đề đó, hay đưa thông tin trước, vấn đề sau Trường hợp thứ nhất là dạy học dựa trên giải quyết vấn đề cổ điển, trường hợp thứ hai là cách đổi mới để giúp người học chủ động và năng động hơn

1.5.4 Dạy học dựa trên dự án

Mô tả:

Những yêu cầu mới đối với người học:

- Xây dựng được động cơ, thái độ học tập đúng đắn

- Xây dựng được các mục tiêu học tập rõ ràng, cách thức thực hiện đạt mục tiêu

- Xây dựng được kế hoạch học tập cụ thể

- Chủ động sáng tạo trong học tập

- Hệ thống hóa được kiến thức

- Hình thành năng lực tự đánh giá

Bản chất của PPDH theo dự án:

Bản chất của PPDH theo dự án chính là sự chuyển đổi người học sang cơ chế

tự phát triển theo định hướng cá nhân trong hoạt động học tập cộng tác, chuyển từ cách dạy “thầy nói” trên bục giảng sang hướng dẫn “trò làm” nhiệm vụ thực (“from sage on the stage to guide on the side”, Alison King, 1993)

- Tăng khả năng giao tiếp, hình thành các kỹ năng sống, kỹ năng mềm;

- Phát triển năng lực tìm tòi, nghiên cứu khoa học, quan sát, thu thập và xử lí thông tin, triển khai thử nghiệm…

- Phát triển tư duy phê phán, tư duy hệ thống…

Đặc điểm của PPDH theo dự án:

- Quá trình lĩnh hội tri thức diễn ra một cách tự nhiên, đa dạng và phong phú

có tính đến yếu tố đặc điểm cá nhân người học; mang tính liên ngành, xác thực và thách thức cao đối với người học;

- Tốc độ thực hiện công việc không đồng nhất, phản ánh rõ nét mức độ phát triển của từng cá nhân người học;

- Cho phép áp dụng tích hợp tối đa các nhóm PP, kỹ thuật dạy học khác;

- Cho phép áp dụng và hiện thực hóa tối đa các kiến thức nền vào các tình huống thực tế khác nhau;

- Yêu cầu áp dụng đánh giá thực

Phân loại dự án học tập:

Có thể phân loại các dự án học tập dựa trên một số tiêu chí chung như sau: theo lĩnh vực chủ đề, chủ điểm; theo qui mô tổ chức hoạt động; theo thời hạn thực hiện; theo

số lượng người tham gia v.v

Căn cứ vào hoạt động chính của người học, Collins (1989) chia các dự án thành:

- Dự án kiểu trò chơi

- Dự án đóng vai

- Dự án tham quan, dã ngoại

- Dự án mang tính mô tả (thuyết trình, nói chuyện chuyên đề, sinh hoạt chủ đề…)

- Dự án kiến tạo (ý tưởng thực hiện hoạt động tạo ra một sản phẩm cụ thể) Căn cứ vào định hướng kỹ năng chiếm ưu thế trong hoạt động của người học, có thể chia ra thành:

- Dự án mang tính định hướng thực hành, rèn kỹ năng;

- Dự án một thành phần (trong khuôn khổ của 1 môn học)

- Dự án liên môn (liên kết một vài môn học)

- Dự án nhỏ (ngắn hạn, kéo dài trong vài tuần học…)

- Dự án lớn (kéo dài trong cả năm học…)

Yêu cầu xây dựng dự án học tập:

- Mục tiêu dự án rõ ràng: mục tiêu nhận thức, mục tiêu kỹ năng hành động,

tổ chức, triển khai…, hệ thống mục tiêu trung gian

- Lựa chọn các nội dung môn học phù hợp với hoạt động dự án (tính mở, liên ngành, tạo điều kiện hợp tác, sử dụng công nghệ, các phương pháp nghiên cứu đa dạng )

- Mô tả rõ ràng các sản phẩm cuối, sản phẩm trung gian

- Kế hoạch chi tiết, nhiệm vụ tường minh, cụ thể,

- Phân công nhiệm vụ rõ ràng, hợp lý

- Thiết kế các hoạt động trình bày, đánh giá sản phẩm

Các hoạt động của người dạy và người học trong dạy học theo dự án:

Giai đoạn Hoạt động của giáo viên

Lựa chọn Thảo luận, thống nhất Xây dựng các nội dung

nhiệm vụ chi tiết

Định hướng Cùng tham gia thảo luận

Thảo luận

Đề xuất, thống nhất

21

Tổ chức, chỉ đạo Đề xuất

Phân vai Lựa chọn nguồn tài

nguyên, xây dựng hệ

thống câu hỏi nhiệm vụ

Hỗ trợ, bổ sung Định hướng

Thảo luận

Đề xuất Tìm kiếm, hệ thống hóa Xác định sản phẩm cuối,

chiến lược qui trình ngược

Tìm kiếm Thảo luận Thực hiện theo vai Thử nghiệm

Điều chỉnh

3 Hoàn thiện sản phẩm cuối

Tư vấn Điều phối Trợ giúp Khuyến khích, thúc đẩy Đánh giá ngoài

Tìm kiếm Thảo luận Thực hiện theo vai Điều chỉnh

Đánh giá nội bộ

4 Trình bày sản phẩm

Điều khiển, tổ chức Xây dựng tiêu chí Quan sát, đánh giá

Trình bày Chia sẻ Đánh giá

5 Phản hồi

Cung cấp thông tin Chia sẻ, nhận xét Định hướng

Chia sẻ thông tin Rút kinh nghiệm Điều chỉnh

22

23

Kết luận chương 1

Trong xu thế đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục hiện nay, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đã trở thành một trong những yêu cầu cần thiết và vô cùng cấp bách Việc hình thành cho người học những năng lực dần trở nên vô cùng quan trọng Học sinh không chỉ tiếp nhận kiến thức mà còn cần phải hình thành và phát triển năng lực Một trong những năng lực đó là năng lực giải quyết vấn đề nói chung và giải quyết vấn đề trong toán học nói riêng

Chương 1 đã xây dựng một hệ thống các cơ sở lí luận liên quan đến năng lực,

mô hình cấu trúc năng lực cho học sinh trung học phổ thông Trong đó, chúng ta không thể không nhắc đến năng lực chung, năng lực chuyên biệt và quan điểm của Mogens Niss về năng lực chuyên biệt trong môn toán

Năng lực giải quyết vấn đề nói chung và năng lực giải quyết vấn đề trong môn Toán cũng được nghiên cứu để chúng ta hệ thống một cách cơ bản việc hình thành phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

Ngoài ra, chương 1 cũng đưa ra một số phương pháp dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh để giáo viên có thể vận dụng một cách phù hợp, linh hoạt khi thiết kế các giáo án theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn

đề

24

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

2.1 Một số kiến thức về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen

2.1.1 Tập lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính , R là tập các số thực

Định nghĩa 2.1 Tập A X được gọi là lồi, nếu:

Từ định nghĩa 1, ta nhận được các mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2 Giả sử tập A i  X lồi, i (i1, ).m Khi đó, 1A1  m A m là tập lồi

Mệnh đề 2.3 Giả sử X i là không gian tuyến tính, tập A i X i lồi (i1, ).m Khi

đó, tích Đề các A1 A m là tập lồi trong X1 X m.

25

Mệnh đề 2.4 Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y là toán tử tuyến

tính Khi đó,

a) A X lồi =>T(A) lồi;

b) BY lồi => Nghịch ảnh T -1 (B) của B là tập lồi

Định nghĩa 2.3 Vectơ xX được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x x1, 2, ,x mX,

k i i k

k k

26

(1 k ) y k k .

x    x  A (đpcm)

2.1.2 Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 2.4 Giả sử AX , tương giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A, và kí hiệu là coA

Nhận xét 2.2

a) coA là một tập lồi Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A lồi <=>A = coA

Định lí 2.2 coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Chứng minh

Theo nhận xét 1, coA lồi, bởi vì AcoA cho nên coA chứa tất cả các tổ hợp lồi của A (định lí 1.1)

Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi, chứa A Do đó, nó chứa coA

Hệ quả: Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A

Giả sử X là không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.5 Giả sử AX , tương giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được

gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA

Nhận xét 2.3

coA là một tập lồi đóng Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

Mệnh đề 2.5 Giả sử A X lồi Khi đó,

a) Phần trong intA và bao đóng Acủa A là các tập lồi;

b) Nếu x1int ,A x2A, thì: x x1, 2  x1 (1 )x2:0   1 int A

Nói riêng, nếu intA   thì: Aint ,intA Aint A

Mặt khác, coAcoA,bởi vì coA là tương giao của tất cả các tập lồi (không

cần đóng) chứa A Vì vậy coAcoA

Do đó: coAcoA

2.1.3 Nón lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 2.6 Tập K  X được gọi là nón có đỉnh tại 0, nếu:

K được gọi là nón có đỉnh tại x , nếu o Kx o là nón có đỉnh tại 0

Định nghĩa 2.7 Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, có

  hoặc 1 ta vẫn có (1- ) xyK. Vậy K là nón lồi có đỉnh tại 0

Hệ quả 1 Tập K  X là nón lồi <=>K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính

dương của các phân tử của K, tức là nếu x1, ,x mK,1, ,m 0 thì

1

m

i i i





Hệ quả 2 Giả sử A là tập bất kì trong X,K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính

dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất của A

Định nghĩa 2.8 Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm

0 là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A, kí hiệu là K A

Định nghĩa 2.9 Tương giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A

được gọi là bao tuyến tính của tập A, kí hiệu là lin A

29

Tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi A tại xA,được gọi là nón

pháp tuyến của A tại x , kí hiệu là N x A Như vậy, ( )

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều: X = R n

Định lí 2.6 Giả sử AR n  ,K A là nón lồi sinh bởi tập A Khi đó, mỗi điểm

i

 

Giả sử K là nón lồi sinh bởi B Khi đó, B coBK B.

Theo định lí 2.6, nếu  1, x coB thì tồn tại r điểm  1,x1 , , 1, x rB và r

số 10, ,r 0 với r n 1 sao cho:  1,x 1 1,x1  r1,x r

31

1

1( , , , )

n

n i i i

Mặt khác, theo định lí Carathéodory: (S, A, , A)= coA

Vì vậy, coAcoA

2.1.5 Tập Affine và bao Affine

Mệnh đề 2.8 Tập M R n là không gian con <=>M là tập affine chứa 0

Định nghĩa 2.14 Tập affine A được gọi là song song với tập affine M, nếu tồn tại

Định lí 2.9 Mỗi tập affine A  song song với một không gian con duy nhất L

được xác định như sau:

Từ định lí 2.9 ta có thể định nghĩa được chiều của tập affine

Định nghĩa 2.15 Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều của

không gian con song song với nó

Chú ý: ta quy ước dim  1

Giả sử L là một không gian con trong R n Phần bù trực giao của L được xác

Khi đó, L cũng là một không gian con và dimLdimL n L, (  ) L

Định nghĩa 2.16 Tập affine n – 1 chiều trong R n là được gọi là một siêu phẳng

Định lí 2.10 Giả sử R,0 b R n Khi đó, tập: H xR n: x b,  là một siêu phẳng trong R n Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng cách này (theo nghĩa: đồng nhât các siêu phẳng có ,b  được nhân với cùng một số)

m n

i n

Định nghĩa 2.17 Tương giao của tất cả các tập affine chứa n

AR được gọi là bao

affine của A và kí hiệu là aff A

Nhận xét: aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A

  Các số 0, ,m như thế được gọi là tọa độ trọng tâm của x

Định nghĩa 2.19 Ánh xạ T R: n R m được gọi là affine, nếu với mọi

x yR R

T  xy   TxTy

Nhận xét Ánh xạ T R: n R m là affine, A là tập affine trong R n

=>T A là tập affine trong R m Như vậy, aff (TA) = T (aff A)

Ta có thể quy về trường hợp m = n, bởi vì nếu cần thiết ta sẽ mở rộng các tập

độc lập affine đã cho cho Khi đó, theo lí thuyết đại số tuyến tính, tồn tại duy nhất

Chứng minh:

a) Nếu T là affine, ta lấy a = T0 và T 1 x = Tx – a và nhận được T1 là ánh xạ affine

với T 1 0 = 0 Vậy T 1là ánh xạ tuyến tính

b) Ngược lại, nếu T 1 x = Tx + a với T 1 là tuyến tính, thì:

Định nghĩa 2.20 Bao lồi chứa k+1 điểm độc lập affine b1, ,b được gọi là đơn k

hình k – chiều Các điểm b b0, , ,1 b kđược gọi là đỉnh của đơn hình

Định lí 2.14 Giả sử S là đơn hình n – chiều trong Rn với các đỉnh b b0, , ,1 b Khi k

đó, intS  

Chứng minh:

Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem: b0 b1 b n 0

Lấy x0,xR n;0, , n là tọa độ trọng tâm của x Khi đó,