SKKN tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất... Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:... Tìm GTNN của... * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC..

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0;

Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC

Bài toán 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 4 2 3

1

x y x

1

y Dấu “=” xảy ra khi x = -2

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

1 y 4Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:

2 2 1 1

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0, tức là:

( 1 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 2 2 ) ( 1 2 2 ) 0

1 ( 3 1 ) ( 3 ) 0 3 ( 1 )

m n

Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1 Tìm GTNN của biểu

1 2

x y

Thỏa điều kiện xy = 1

1 ( )

1

t

g t t

Ta có: t2 + 1 1 min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1

Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0

Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của

Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]

5 0 ( 1 ) ( 5 ) 0

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

M =

2 2

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2

(a2 + b2)(c2 + d2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Chọn a x 2 ;c 1;b 4 x d; 1 với 2 x 4

Ta có:

2 2

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3

* Cách 2:

Ta có: y x 2 4 x

Điều kiện: 2 0 2 4

x

x x

Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2

x nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: 2 (x 2 ) ( 4 x) (x 2 ) ( 4 x) 2

Do đó 2

2 2 4

y

Dấu “=” xảy ra x 2 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của y là10 khi x = 6 1

Dấu “=” xảy ra khi x = 5

Tìm GTNN của biểu thức:

A =

2 3

x x

Biểu thức có nghĩa khi 1996 x 1 9 9 8

Vì y 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1 9 9 8

<=> 4 a 1 1 6

<=> 5 a 1 7

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:

GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 a 1 7

D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:

Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2

– 7 với x 1hoặc x 3

Bài toán 4:

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2

+ y2Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2

+ 2y2 = 8 + 2xy <=> 3A = 8 + (x + y)2 8

=> A 8

3

min A = 8

3 khi x = - y

1 1

Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:

B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước

Gợi ý:

Biểu diễn B =

2 2

Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:

E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3

Gợi ý:

Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2

– 3 (y – 2)2

=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3

Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2

+ y2 + z2 = 169

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Max P = 65 khi

5 5 13

5 52 5 26

5 4 2

z y

x

z y x

Bài toán 12:

Tìm GTNN của biểu thức sau:

a) A =

2 1 2

2 2

Với mọi x

Với mọi x

x x

với x > 1

C =

2 2 2 1

Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:

Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3 ; a + b 5

Bài 22:

Cho biểu thức: M = x2

+ y2 + 2z2 + t2Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biết rằng:

=> 2M = 122 + t2

Do đó 2M 1 2 2 M 6 1Vậy Min M = 61 khi t = 0

Bài 23:

Cho phương trình: x4

+ 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1) Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:

Để tồn tại a thì '

0Giải điều kiện này được m4

- m2 0 <=> m(m – 1) 0 0 m 1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2

Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t =

2 2

2 2 1

x Gợi ý: Vì x2

+ 1 > 0 với mọi x Đặt a = 2 22 2

A

Còn với y = 0 thì A = 1

Do đó: Min A = 1

3 với x = y ; max A = 3 với x = - y

Bài 26: Cho a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

=> Q = 2a2 – 2a + 1 1

2

Do đó: Min Q = 1

2 khi a = b = 1

2