SKKN phương pháp đưa về xét hàm một biến số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ---oOo---PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lào Cai, tháng 4 năm 2014 Họ và tên tác giả: Đào Văn Lương Chức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

-oOo -PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Lào Cai, tháng 4 năm 2014

Họ và tên tác giả: Đào Văn Lương

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Tổ chuyên môn: Toán – tin học

Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên tỉnh Lào Cai

Phương pháp đưa về xét hàm số một biến số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 8

Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Danh mục chữ cái viết tắt

Chữ viết tắt Giải nghĩa

VMO Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam mụn Toỏn

(Vietnamese Mathematical Olympiad )

ĐH –B2013 Đề thi đại học khối B năm 2013

IMO Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toỏn quốc tế

(International Mathematical Olympiad)

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chơng trình bồi dỡng học sinh năng khiếu toán trung học phổ thông, chuyờn đềbất đẳng thức, cực trị là một nội dung không thể thiếu, các bài toán về bất đẳng thức và tỡmcực trị luôn luôn chiếm một vị trí quan trọng trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi tỉnh, họcsinh giỏi Quốc gia v trongà trong cỏc đề thi tuyển sinh đại học bất đẳng thức, cực trị thường làcõu dựng để phõn loại học sinh

Chuyờn đề bất đẳng thức và cực trị học sinh được học từ rất sớm, hiện nay trờn thị trường

đó cú rất nhiều tài liệu tham khảo cung cấp rất nhiều cỏc phương phỏp để chứng minh bấtđẳng thức hay tỡm cực trị của cỏc biểu thức Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh dạy học tụi nhận thấy

xu hướng ra đề thi đại học và học sinh giỏi của nhiều năm gần đõy phương phỏp hàm số nổilờn như một phương phỏp hiệu quả để giải quyết cỏc bài toỏn về tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏtrị nhỏ nhất của cỏc biểu thức Vỡ vậy tụi đó lựa chọn đề tài:

“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XẫT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TèM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”

làm đề tài sỏng kiến kinh nghiệm của mỡnh trong năm học 2013-2014

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Nghiên cứu và trình bày chuyên đề

“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XẫT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TèM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”

nhằm cung cấp cho học sinh cỏch suy nghĩ để giải quyết cỏc bài toỏn tỡm GTLN và GTNNbằng cỏch đưa về khảo sỏt đối với hàm số cú một biến số Trong SKKN ta cựng xột cỏc ýtưởng để chuyển húa cỏc bài toỏn tỡm GTLN, GTNN của cỏc biểu thức cú chứa nhiều biến

về xột với hàm số một biến số và trong SKKN cũng sẽ cung cấp cỏc nhận xột quan trọngcủa phương phỏp, từ đú giỳp học sinh hiểu rừ phương phỏp và cú một cụng cụ hiệu quả đểgiải quyết lớp bài toỏn này

2.2 Thực trạng của vấn đề

Chuyờn đề bất đẳng thức, cực trị là phần kiến thức quan trọng trong chơng trình toánTHPT Xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cấp và trong kỳ thituyển sinh vào đị học, cao đẳng hàng năm Tuy nhiên việc giải quyết được cỏc bài toỏn vềtỡm GTLN và GTNN là khụng đơn giản Nó đòi hỏi ngời làm toán ngoài việc hiểu rõ kiếnthức, có các kỹ năng cần thiết thì cần phải có một t duy sáng tạo, sắc bén

2.3 Cỏc biện phỏp đó tiến hành để giải quyết vấn đề

Trong phần này SKKN sẽ trỡnh bày cỏc nội dung chớnh là:

D x M

x

f( ) ,

KÝ hiÖu : M max f(x)

D x

D x m

x

f

) f(x cho sao

Định nghĩa 3: Ta bảo, f(x, y, z) và g(x, y, z) là hai đa thức đồng bậc m (nguyên dơng) nếu

   

m m

f( x, y, z) = f(x, y, z) g( x, y, z) = g(x, y, z)

2) Phương phỏp chuẩn húa

a) Bài toỏn 1: Cho H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k và hàm số F(x, y, z) thỏa mãn

F(x, y, z) = F(x, y, z) Khi đó giá trị của F(x, y, z) trên miền {(x, y, z)| H(x, y, z) = a,

a > 0} không thay đổi khi a thay đổi

b) Phương phỏp chuẩn húa

Từ việc chứng minh bài toỏn trờn, ta nhận được kết quả là: Để tìm giá trị của F(x, y, z) trênmiền H(x, y, z) ta chỉ cần tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) = a, cố định thíchhợp Trong đú H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k Cỏch làm này ta gọi là phương phỏpchuẩn húa

3) Mở rộng

Bài toỏn 2: Cho bất đẳng thức: f(x, y, z)  g(x, y, z) (*)

Với f, g đồng bậc và H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k Nếu bất đẳng thức (*) đúngtrên miền H(x, y, z) = a1 thì cũng đúng trên miền H(x,, y,, z,) = a2 với a1, a2 > 0

H(x, y, z) = a H(x',y',z') = a ; x' = x; y; z

a f(x', y', z') = f(x, y, z)

aTơng tự:

a g(x', y', z') = g(x, y, z)

a

Khi đó: f(x, y, z)  g(x, y, z)  f(x', y', z')  g(x', y', z')

Nhận xột: Như vậy để chứng minh (*) đúng trên miền H(x,y,z) chỉ cần chứng (*) đúng trên

miền H(x, y, z) = a > 0 cố định Việc chọn giá trị a là rất quan trọng, bởi vỡ thay cho việcnghiờn cứu tớnh đỳng đắn của (*) trờn miền H(x,y,z) bất kỳ thỡ ta đó chuyển về việc nghiờncứu tớnh đỳng đắn của (*) xột trờn miền H(x,y,z) = a

Đ 2 Phương phỏp đưa về xột hàm số một biến số để tỡm giỏ trị lớn

1 Bài toỏn mở đầu:

Trước hết ta hóy xột bài toỏn sau:

Bài toỏn 1: (Cõu V Khối D-2009) Cho cỏc số thực khụng õm x, y thay đổi và thỏa món:

x+y=1 Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức: S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy

Hướng dẫn giải

Để tận dụng giả thiết x+y=1 ta biến đổi như sau:

S=16x2y2+12(x3+y3)+34xy = 16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)+34xy

Như vậy bài toán bây giờ trở về một bài toán đơn giản:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(t)= 16t2-2t+12 với 1

[0; ] 4



t

Bằng phương pháp lập bảng biến thiên của hà f(t) trên 1

[0; ] 4



t , hoặc sử dụng qui tắc trang

21 SGK – Giải tích 12, ta dễ dàng nhận được ax 25 min 191

khi thực hiện sẽ dài và biểu thức của S không thuận lợi như cách làm trên

20) Trong cách làm trên ta đã chuyển biểu thức của S về hàm f(xy), rồi sử dụng phép đặt ẩn

số phụ Cần lưu ý tới các giả thiết của bài toán và ở dạng toán này khi đổi biến nhất thiếtphải đặt chính xác điều kiện cho biến mới

(Đây là bài tập quen thuộc trong SGK giải tích 12).

Bài toán 3 (Đại học khối B-2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z  0 và 2 2 2

1

x y z  Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P x 5y5z5

Bài toán 4 (Đại học khối B-2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn

điều kiện :2(a2 b2)ab(a b ab )( 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán 5 (VMO-2003- bảng A).

Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện:f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0;) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm

số g(x) = f(x).f(1-x) trên [-1;1]

Hướng dẫn giải

Ta có: f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0; )

Đặt t=cotx, khi x(0; ) thì t thuộc R

Bài toán 6 (VMO-2004 bảng B):

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 4

2

x y z xyz

P x y z

Hướng dẫn giải

Đặt t=xy+yz+zx, đưa Q về dạng Q= 2(t2-32t+144)

*) Tìm điều kiện của t?

Từ giả thiết, suy ra y+z=4-x và yz=2/x

Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

30) Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng các đánh giá trung gian để làm trội biểu thức

cần tìm GTLN và GTNN, khi sử dụng các đánh giá trung gian này cần phải lưu ý đến việcdấu bằng xảy ra đồng thời của các bất đẳng thức trung gian mà ta sử dụng

Bài toán 9: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 9, tìm giá trị lớn nhất của biểuthức: F = 2(x + y + z) – xyz.

có dạng đơn giản hơn đồng thời tạo ra các điều kiện liên hệ giữa các biến.

Bµi to¸n 10: Cho a, b, c > 0 Tìm GTLN của = 7(ab + bc + ca)2 - 9abc 3

Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc) Ta cã thÓ xem a + b + c = 1

Suy ra: F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) - 9abc = 7a(1 - a) + bc(7 - 9a)

Kh¶o s¸t hµm sè f(a), ta cã: maxF(a, b, c) = 2 đạt được khi a=b=c

Bài toán 11: Cho a, b, c > 0 Tìm GTNN của

Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) Ta chØ t×m gi¸ trÞ cña Q trªn miÒn

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c) = 3 + 2(ab + bc + ca)

a + b + c = 3abc + (a + b + c) 3 - (ab + bc + ca)

§ 3 Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến để tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất.

1 Nhận xét 4 : Để tìm cực trị của biểu thức cú chứa nhiều biến số có thể dùng phương

pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là Tìm GTLN (hoặc GTLN) của hàm số với biến thứnhất và các biến còn lại coi là tham số Rồi tìm GTLN(GTNN) của hàm số với biến thứ hai

và ứng với giá trị đã xác định của biến số thứ nhất mà các biến số còn lại coi như là thamsố

2 Ví dụ minh họa.

Bài toán 12:

Xét hàm số : f(x;y) = (1-x)(2-y)(4x-2y) trên miền D = {(x,y)/ 0x1, 0y 2}

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên miền D

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số đã cho trở thành: f(x,y) = 2(1-x)(2-y)[(2-y)-2(1-x)]

Đặt v = 1-x và u = 2- y, ta chuyển về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

F(u,v) = uv(u-2v) = -2uv2+u2v, trên miền : E = {(u,v)| 0u2 , 0v1} Nghĩa là:

Tìm minE F(u,v)0minu 2[min0 v 1F(u,v)]0minu 2[min0 v 1(2uv2u2v)]

g'(v) = -4uv+u2 = u(u-4v) ta thấy g'(v) = 0  v0=

1

y

x v

21

2

2 2

21

2

2 2

 P =

1

31

)1(21

2

2 2 2 2

2

2 2

1)(

1(

)2

1(21

2

2 2

2

2 2 2

=

)1)(

1(

)]

2()1

[(

21

31

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

c ac a

c a c a c

1(

)(21

31

2

2 2

2 2

a

(2)

Xét hàm số f(a) =

)1)(

1(

)(1

1

2 2

2

c a

)12(2

2 2 2

2

c a

ac a

)81(2

2 2

c

Với c > 0 thì g'(c) = 0 tại c0 =

22

1

và dễ thấy qua c0 thì g'(c) đổi dấu từ dương sang âm nên

g(c0) là giá trị cực đại, suy ra Pg(

22

5

1

yz

(2)

15

4

xz

(1)

},min{

5

2

y x z

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x;y;z) =1x 2y3z

(VMO-2001-bảng B) Hướng dẫn giải

Ta viết lại : P(x,y,z) = (1 1) 2(1 1)

z y z

11

 với x > 0 và tham số là z 

5

2

Xảy ra hai trường hợp sau

đây: (Rõ ràng ta nghĩ tới việc xét giá trị mà làm cho z =

11

z z z

211

11

z

z 14

) = 4 (6)

So sánh (5) và (6) kết luận: f(x) =

z x

11

  4 Dấu "=" xảy ra 

z x

11

11

Từ các kết quả a) và b) ta có: P(x;y;z) = (1 1) 2(1 1)

z y z

z y x

Bài toán 15: Xét các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: 21ab+2bc+8ca  12

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(a,b,c) =

c b a

321





(VMO- 2001) Hướng dẫn giải

, thì đề bài chuyển về bài toán sau:

Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x+8y+21z12xyz Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:

8247

xy

y x z

y x

(1)

Suy ra : P(x,y,z)x+2y+24 87





xy

y x

=

74

85

với biến là x > 47y và y là tham số y >0

2 2

2

)74(

3532

5616

|)'4

(

|)'854

(

x xy

x y x y x

32

32

1432

4745

2

c b a

z

y

y y

x y

Vậy : MinP(a,b,c) =

215

Nhận xét 5: Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến cho thấy đường lối giải rõ ràng hơn

so với cách vận dụng bất đẳng thức, đồng thời có thể dùng để giải một loạt các bài toán tìmcực trị của hàm nhiều biến

§ 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2( 22)

xy y P

xy x





Bài tập 2: (A-2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x y xy x )  2y2 xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

A

x y

Bài tập 3 (ĐH B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn:

(x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài tập 5 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y, x z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu biểu thức P 2 x3 y z

Bài tập 7 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

     Dấu ‘=’ xảy ra khi nào ?

Bài tập 12 (VMO-2001-bảng A) XÐt c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

6 3

} 3 ,

2 min{

2 2

1

z y

z

x

y x

z

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P(x,y,z) = 2 2 2

3 2 1

z y

2 2

2

|

| 1

1

|

| 1

1

|

|

z x

z x z

x

z y y

(2)

xy

3

(1)

3 3

4 18

1 2

3 0

2 2

2

2

x z z

y y

x

y

x y

z

H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: F(x,y,z) = 3 3

4

9 27

80 2

1

y x

-2.4 Hiệu quả của SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm này đợc ỏp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh và cấp Quốc gia trong năm học 2013-2014 đạt hiệu quả tốt, cú 4 học sinh đạt giải học sinh giỏi Quốc gia mụn Toỏn học Sỏng kiến kinh nghiệm là chuyờn đề tốt được sử dung trong việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu

3 Kết luận

Bất đẳng thức, cực trị là phần kiến thức quan trọng trong chơng trình toán THPT.Xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cấp, trong cỏc đề thi tuyển sinhvào đại học và cao đẳng hằng năm Tuy nhiên việc giải quyết được cỏc bài toỏn về bất đẳngthức, cực trị là khụng đơn giản Nó đòi hỏi ngời làm toán ngoài việc hiểu rõ kiến thức, cócác kỹ năng cần thiết thì cần phải có một t duy sáng tạo, sắc bén

Sáng kiến kinh nghiệm này đợc ỏp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh vàcấp Quốc gia cú hiệu quả Sỏng kiến cũng cú thể được sử dụng thành chuyên đề để giúp họcsinh THPT phát triển kỹ năng, kỹ xảo và t duy trong quá trình giải toán Sáng kiến cũng cóthể đợc sử dụng nh là một tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh yêu thích môn toán vàchuẩn bị thi vào các trờng đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi Sáng kiến có thể phát triểnthành đề tài nghiên cứu, gắn liền với chơng trình THPT nhằm giúp cho học sinh tiếp thu và

t duy một cách nhanh nhất

Sáng kiến kinh nghiệm đã đạt đợc mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra Tuynhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu xót Rấtmong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các em học sinh khi

sử dụng tài liệu này

Lào Cai tháng 4 năm 2014

Giáo viên

Đào Văn Lương

Tµi liÖu tham kh¶o

1 Giới thiệu đề thi đại học cao đẳng từ 2002 đến 2013 tác giả: Trần Tuấn Điệp – Ngô Long Hậu- Nguyễn Phú Trường

2 Tuyển tập đề thi chọn HSGQG môn Toán

3 T¹p chÝ to¸n häc vµ tuæi trÎ

4 §Þa chØ Webside.” Mathscope.org”