SKKN phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy đượchàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được pháttriển mạnh mẽ trong hoạt đ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ”

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy đượchàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được pháttriển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt

là môn toán Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông kháiniệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứngdụng và xây dựng các khái niệm khác Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài cáccâu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà họcsinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giảitoán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi nàycũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp Trong cácgiờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụngvào việc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn

đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giảitoán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’ Để trảlời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm chohọc sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết Muốn làm tốt đượcđiều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải cókiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chấtcủa toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-mônhọc được coi là ông vua của các môn tự nhiên

Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duycủa người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới Và giúp tôi cónhững phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán Đặcbiệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọngcủa việc giảng dạy toán

Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luônbăn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủđộng trong việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trò là người điều khiến đểcác em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2012-2013 và2013-2014 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này Một mặt là giúphọc sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việcgiải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thútrong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khinghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờlên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”

Viết một cuốn tài liệu rất khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏiphải có đẳng cấp thực sự Cũng may tôi cũng không có tư tưởng lớn của mộtnhà viết sách,tôi cũng không kỳ vọng ở một điều gì lớn lao vì tôi biết những gìmình có còn rất ít ,khi tôi có ý tưởng viêt ra những điều mà tôi gom nhặtđược ,Tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội được nhiều hơn vềtoán sơ cấp Qua từng tiết học , học trò của tôi ít băn khoăn, ngơ ngác hơn,thayvào đó là sự hưởng ứng ,có niềm tin vào sự logic,chặt chẽ ,sáng taọ của toán học.Khi đó mỗi người thày chúng ta lại có thêm một người bạn chung niềm đam

mê trước sự kỳ diệu của toán học mang lại

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian

có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những ngườiyêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhàtrường Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các

em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trongcác kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán

thiệu đến các bạn đồng nghiệp , học sinh và những người yêu toán đề tài :

Dấu “=” xảy ra khi: x1 x2 x3   x n.

− Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn

Ví dụ 1:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn 2 2 2 3





y z

x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xy yz zx x y z

( 2

yz xy

Ta có ' ( )   52  325  0

t

t t t t

f vì t 3 Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó

3

14 )

y x

2 2

Suy ra x  2y  x 0 Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x-2y)=1

 log 4 (x 2 -4y 2 )=1  x 2 -4y 2 =4  x 4y2  4 (do x > 0)

4 4 8 1 4 4

8 )

(

2 2 2

t t

f

15

1 0

) (

'





 t t

4 + 

Từ bảng biến thiên suy ra f(t)  15  P= 2x y  15 Dấu đẳng thức xảy ra

15

1 ,

Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn

(x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 2 2

y x xy

y

x      Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2

2 y x y x

xy

HƯỚNG DẪN GIẢI :

Từ 4 (x2 y2 xy)  1  2 (xy)  3 (xy) 2  (x y) 2  1  2 (xy)

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

2

) ( 3 )

4

1 )

( 2

1 2

) (x y x y x y x y x y x y y

2 x y  xy ) Đặt t = x + y ; ta có :0 t  1,

4

1 )

(t t t

 ; có ' ( ) 21 2t

t t

, với t0 ; 1

3 ) 1 ( )

 f t f  maxP = 43 , dấu = xảy ra  x = y = 21

Ví dụ 6: Cho x,y,z là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất của

Ví dụ 9: Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2x2 y2xy 1 Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4

2 1

P xy

Ví dụ 10: Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

  nên ta có

2

2 2

(3 2) 4

2 1

y x

33 Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 Vậy min P = 34

33.Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2

Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b

b a

ab b

a b

t

1 17 min ( )

Ví dụ 16: Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Từ bảng biến thiên suy ra MinP = 7  x  y z 1.

Ví dụ 17: (Trích ĐH A2006) Cho hai số thực x y , 0 thay đổi thỏa mãn điều

- Biến đổi giả thiết:

P a b c

Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức: T  3(a2 b2 c2 ) 4  abc

Bài 3 : Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z xyz  3 4



Chứng minh rằng: 183 165 5  x4 y4 x4  18

Bài 4 : (Trích ĐH Khối B - 2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn

xy y 1   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2

(Đề thi Olypic Toán Ailen năm 2009)

Bài 13 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực x,y,z thảo mãn x3 y3 z3  3xyz 1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y2 z2

(Đề thi chọn đội tuyển Inđônêxia dự thi IMO 2009)

Bài 14 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn a3 b3 c3

CMR : a2 b2  c2  6(c a c b )(  )

(Đề thi Olypic Toán Ấn độ năm 2009)

2.4 HIỆU QUẢ CỦA ÁP DỤNG SKKN

Đề tài trên tôi thực hiện tại lớp 12A- Năm học 2013-2014.Sau khi họcxong bài này học sinh thấy hứng thú trong việc học môn toán ,có kỹ năng trongviệc vận dụng khai triển vào việc giải các bài tập,giờ dạy rất sôi nổi ,các emchăm chú lắng nghe Giáo viên phát huy tối đa sự chủ động tích cực-sáng tạocủa học sinh , các em mới là người làm chủ kiến thức ,thầy chỉ là người dẫn dắt ,

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

đánh thức bản năng muốn khám phá của các em.Kết quả khảo sát lớp 12A1 chothấy :

- Số học sinh chuẩn bị bài và làm bài tập tốt ở nhà là 79,0 o/o

- Chuẩn bị bài chưa tốt và làm chưa tốt bài tập là 6,0 o/o

- Không chuẩn bị bài là 15 o/o

Kết quả cụ thể bài kiểm tra một tiết tại lớp 12 A1–Năm học 2013-2014 như sau:Giỏi : 25 o/o

kỹ năng nhất định trong giải toán ,giúp các em trả lời thoả đáng câu hỏi “Tại saonghĩ và làm được như vậy” Đồng thời cho học sinh ngày một yêu thích môntoán ,thấy được bản chất của toán học :Toán học xuất phát từ thực tế và quaytrở lại thực tế Chính vì vậy ,trong giờ dạy nếu người thầy có kiến thức vừachuyên ,vừa sâu ,kết hợp với việc có phương pháp giảng dạy tốt và chuẩn bị kỹbài giảng của mình thì sẽ thu hút được sự chăm chỉ ,lắng nghe của học sinh vàthu được kết quả một giờ dạy tốt.Làm được điều đó chúng ta sẽ ngày càng nângcao hơn nữa chất lượng giáo dục trong nhà trường phổ thông,phát huy được thếmạnh của môn học trí tuệ của loài người

Trên đây chỉ là những tâm huyết mang tính chất chủ quan của riêng bảnthân tôi,kính mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và những ngừơi yêu

Để thực hiện tốt đề tài này ,Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến các Thầy cô trong ban giám hiệu nhà trường,các Thầy cô trong Tổ Toán-Trường THPT Số 3 Bảo Thắng

Hằng năm có rất nhiều những sáng kiến ,những đề tài khoa học có giá trịrất cao được các thầy cô viết bằng sự tâm huyết và trí tuệ, đã được kiểmnghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy và đã được Sở giáo dục xếp loạicao Tôi thiết nghĩ nếu các đề tài đó được phổ biến trong các nhà trường phổthông thì chất lượng giáo dục sẽ được nâng cao,các Thày cô sẽ chuẩn bị chomình những giáo án tốt trước những tiết học Vì vậy Tôi có đề nghị với sở GiáoDục Lào Cai nên sớm phổ biến rộng rãi những đề tài đã được các giải cao vềcác trường phổ thông để các thầy cô cùng học tập ,nghiên cứu và rút ra được cácbài học kinh nghiệm quý báu cho mình, đồng thời sẽ thúc đẩy được phong trào

tự học ,tự đào tạo mình của mỗi thầy cô.Theo tôi đó mới là ý nghĩa thiết thựccủa việc viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường phổ thông

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2013

2 Các số báo của toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2013

3 Sách tham khảo hình giải tích của Phan Huy Khải

4 Sách tham khảo hình giải tích của Trần Phương

5 Sách tham khảo hình giải tích của Nguyễn Văn Dũng

16 Sách tham khảo của Nguyễn Phú Khánh

17 Sách tham khảo của Võ Quốc Bá Cẩn

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài ….……… … Trang 0

2 Nội dung SKKN ….……… … … Trang 32.1 Cơ sở lý luận của vấn đề … ….……… Trang 32.2 Thực trạng của vấn đề……… Trang 42.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề……… Trang 42.4 Hiệu quả của SKKN……… Trang 18

3 Kết luận ……… … Trang 19

4.Tài liệu tham khảo……… Trang 21