[r]
Trang 1Kỳ thi IMO lần thứ 22 - 1981
1 Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC D, E, F là chân đường cao tương ứng hạ từ P xuống BC, CA, AB Tìm tất cả các điểm P sao cho:
đạt giá trị nhỏ nhất
2 Lấy r sao cho 1 r n, và xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập {1, 2, , n} Mỗi một tập con có một số nhỏ nhất Gọi F(n, r) là giá trị trung bình của các phần tử nhỏ nhất này Chứng minh rằng:
3 Cho m, n là các số nguyên dương trong đoạn [1, 1981] thoả mãn: (n2 - mn - m2)2 = 1
Xác định giá trị lớn nhất của m2 + n2
4 (a) Với giá trị nào của n (n > 2) thì tồn tại một tập n số nguyên dương liên tiếp mà số lớn nhất trong n số đó là ước số của bội số chung nhỏ nhất của (n - 1) số còn lại ?
(b) Với giá trị nào của n (n > 2) thì có duy nhất một tập có tính chất như trên
5 Ba đường tròn cùng một bán kính có chung một điểm O và nằm bên trong một tam giác đã cho Mỗi một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác
Chứng minh rằng: tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và điểm O thẳng hàng
6 Cho hàm f(x, y) với mọi x, y là số nguyên không âm, thoả mãn:
f(0, y) = y + 1 f(x + 1, 0) = f(x, 1) f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x +1, y)) Tìm f(4, 1981)
Page 1 of 2 IMO Vietnamese
13/02/2003 http://www.danglam.com/IMO/22_1981_VN.htm
Trang 2Page 2 of 2 IMO Vietnamese