De thi thu DH dot 2 2014 mon Toan

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P)... Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P)..[r]

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC

ĐỢT 2 - NĂM 2014

Môn TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I Phần chung cho mọi thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số y x 3 3mx1 (C m)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm tất cả các giá trị của m để (C m) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích ΔIAB bằng 4 2

với I(1;1)

Câu II (2,0 điểm):

1 Giải phương trình: 3sinx cosx 2 cos 2x sin 2x0

2 Giải hệ phương trình:

2 2

3 3

x y R







Câu III (2,0 điểm): Tính tích phân:

1

2 0

1

x







Câu IV (2,0 điểm): Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =a, AD = a 3(a > 0), mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với đáy, SD tạo với (ABCD) một góc là 600

1 Tính thể tích S.ABCD

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

Câu V (2,0 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a b 2c2 b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

II Phần riêng (3,0 điểm): (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: phần A hoặc phần B)

Phần A

Câu 1a (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết B(3;3),

C(5;-3), gọi I là giao điểm của AC và BD Biết I nằm trên đường thẳng Δ: 2x + y – 3 = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB bằng 12, hoành độ của I dương và hoành độ của A âm Tìm tọa độ của A và D

Câu 2a (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 2 ) và mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho

OM = ON 0

Câu 3a (1,0 điểm): Tìm hệ số của x20 trong khai triển nhị thức Newton biểu thức

2 3

1 ( )

n

x

  với n nguyên dương thỏa mãn: 2n 11 2n 21 22n1 2100 1

       

Phần B

Câu 1b (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác

trong kẻ từ A là D

3 2;

2



 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

1

;1 2

I  

  Tìm tọa độ đỉnh B và C

Câu 2b (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A

;0;



  , (P): 2x + 2y – z + 1 = 0 và mặt cầu (S): (x1)2(y1)2(z2)2 1. Viết phương trình mp ( ) đi qua A, vuông góc với (P) và tiếp xúc với (S)

Câu 3b (1,0 điểm) : Giải hệ phương trình:

2

2.8x 2y 17.2y x

y x

  







Hết

-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM – môn TOÁN – THI THỬ ĐỢT 2

I

(2,0

điểm)

Cho hàm số y x 3 3mx1 (C m)

4 2 với I(1;1)

' 3 2 3 ; ' 0 2 (1)

y  x  m y  x m

(C m)có hai điểm cực trị A, B <=> PT (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> m > 0 0,25

Khi đó: A m; 2 m m1 , B  m m m;2 1

=> Ptđt AB: y2mx1 hay

2mx y 1 0

0,25

   2 

2

ABI

m

m

m m



V

0,25

II

(2,0

điểm)

1 Giải phương trình: 3sinx cosx 2 cos 2x sin 2x0.

Phương trình đã cho tương đương:

2 2

2sin 3sin 1 cos (1 2sin ) 0 (sin 1)(2sin 1) cos (1 2sin ) 0 (2sin 1)(sin cos 1) 0

0,5

1

2 sin cos 1 0 (2)

x













2 6

7 2 6

k Z















0,25

(2) 2 sin 1

4 2

3

2 2

x

x k

k Z

















0,25

Kết luận: Các họ nghiệm của phương trình là:

x  k  x  k  x k  x  k  k Z

2 Giải hệ phương trình:

2 2

3 3

x y R







ĐK: 2 x y x  2 y2 0(*)

0,25

0,25

0,25

0,25

C1: Pt 2x 2 x y x  2 y2 1 <=> 2 x y x  2 y2  1 2x

<=> 2 2 2

x







<=> 2 2

1 2

x









Mặt khác từ 2x3 2y31 => y < x Thế 1 2 x3 2y3 vào (2) ta được:

2x3 5x23x2y3y2 y2x3 5x23x2(y1)3 5(y1)23(y1) (3)

Do

1

2

x 

và từ 2y32x31 =>

1 6

y  

Xét hàm số f u( ) 2 u3 5u23u với

6

u 

f u'( ) 6 u210u 3 0 nên hàm f u( ) đồng biến và liên tục trên

6



 

, từ (3) <=> x = y + 1

Thế vào pt: 2x3 2y31 =>

6

6

y

y













-)Với

6

y 

=> x >

1

2 (loại)

-)Với

y   x 

, thử lại: TM

Vậy hệ có nghiệm

x y     

C2: Từ đk (*) Khi đó hệ tương đương

3 3

1 2

x

















     

Tacó:2y2(2y 3)x(2y2 y)x x(2 3y 3)y y(2 1).Do

1

2

y x  x x y  y y 

nên (4) <=> x = y + 1 Thế vào pt

3 3

2x 2y 1 ta đc nghiệm :

,

x  y 

III

(1,0

điểm) Tính tích phân

1

2 0

1

x







Đặt

2 2 2

1 1 1

dx

x x

x















0,25

Khi đó

0 0

IV

(1,0

điểm)

E

S

M

A D

O a

B a 3 C

1 Gọi OACBD Do (SBD) và (SAC) cùng vuông góc với (ABCD) => SO

(ABCD)

 => SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

OD là hình chiếu của SD lên (ABCD) =>SD ABCD;( ) SDO600

Ta có: AC2 AD2DC2 4a2 AC2aBD2aOD a

=> SO OD .tan 600 a 3

0,25

3

S ABCD ABCD

2 Gọi M là trung điểm của SD => SB // OM => SB // (ACM) =>

 ;   ;( )  ;( )

d SB AC d SB ACM d B ACM

Do O là trung điểm của BD => d B ACM ;( ) d D ACM ;( )

=d Gọi DE(ABCD OM), DE E (ACM) ( ACE) và DE SO a  3

0,25

a d

d DA DC DE  a a  a  a  

Vậy

15

5

a

d SB AC 

0,25

V

(1,0

điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:  2 2

a b c  b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

2

P

Do (b c )2 2b2c2

nên từ điều kiện ta suy ra:

0,25

2  2 2 2

a

Cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có:

2

2

a



Do đó:

P

0,25

Xét hàm số:

3 2

3

( )

( 1)

f a

a



 với a > 0

Ta có:

4

a

a





Lập bảng biến thiên ta có:

( )

Pf a f   

 

0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

91

108, giá trị đó đạt được khi

1

5

Câu

1a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết B(3;3), C(5;-3),gọi I là giao điểm của AC và BD Biết I nằm trên đường thẳng Δ: 2x + y – 3 = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB bằng 12, hoành độ của I dương và hoành độ của A âm Tìm tọa độ của A và D

A B(3;3) d

I

D C(5;-3)

( ;3 2 )

I V I t  t với t > 0 Từ CI = 2BI

2

1

3

t







 

 (1;1)

I



0,25

1.3 1.3 2

2

ABC

d B AC

V

uur

V

0,25

2a

=>

1

x









A(-1 ;3)

uuur uur

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :

0

( 3; 3) 3

x y

D y









Vậy A(-1 ;3) và D(-3 ;-3)

0,25

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 2 ) và (P): x + y + z + 1 = 0 Viết phương trình

mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho OM

= ON 0

Gọi ( ) :Q ax by cz d   0a2b2c 20

A  Q  a b c d 

( ) ( )Q  P    a b c 0

0,25

Gọi

;0;0 ( )

0, ( )

d M

d

N

b





0,25

Do

0,25

-) a = b => c = -2a, d = -1, chọn a = 1 => (Q): x y  2z1 0

-) a = -b, tương tự ta có: (Q): -x + y + 1 = 0

Vậy có hai mp (Q) là: (Q): x y  2z1 0 và (Q): -x + y + 1 = 0

0,25

Câu

3a Tìm hệ số của

20

x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức

2 3

1 ( )

n

x

  với n nguyên dương thỏa mãn: 2n 11 2n 21 22n1 2100 1

       

2 1

2n1 1

n

C 

  và 0

n

k



Ta có:

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 101

50

n

n



0,25

Với n = 50

50 50

50 3

0

1

k

x





Số hạng này chứa x20 5k150 20 k34 0,25

Vậy hệ số của số hạng chứa x20 là C5034 0,25

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác trong kẻ

Câu

2b

từ A là D

3 2;

2



 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

1

;1 2

I  

  Tìm tọa độ đỉnh B và

C

A

I

B D C IA=

5 5 2

E

Gọi đường tròn ngoại tiếp VABC là (C) =>

2

2

C x   y 

Gọi EAD( )C Do BAECAE  E là điểm chính giữa »BC

0,25

AD: x = 2 => Tọa độ của E là nghiệm của hệ :

2

2

( 1)

(2; 4)

2

E x



;E=(2;6) (loai :trùng A)

0,25

0,25

E(2;-4) =>

5

; 5 2

IE   

uur

.BC đi qua D có vtpt là

2

5

nr  IEuur  BC x y 

Tọa độ B và C là nghiệm của hệ:

2

2

( 1)

(5;0), ( 3; 4)







Kết luận:

(5;0), ( 3; 4) (5;0), ( 3; 4)

 

 

0,25

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A

;0;



  , (P): 2x + 2y – z + 1 = 0 và mặt cầu (S):

(x1) (y1) (z2) 1 Viết PT mp( ) đi qua A, vuông góc với (P) và tiếp xúc với (S)

Pt ( ) có dạng : axby cz d  0 (a2b2c2 0)

Do

a c

A    a c d  d  

( ) ( )  P 2a2b c 0

2 2

a c

0,25

Do ( ) tiếp xúc với mc (S) có tâm I(1;1;-2) và có bán kính R = 1

 ;( ) 1 4 8 2 4 5 2

11 7

a c









 



0,5

)a c

  , chọn c= 1 => a = 1 => d = 0,

1

2

b   x y  z 11

)

7

, chọn c = -7 => ( ) : 22 x 29y14z18 0

0,25

Vậy có hai phương trình mp ( ) :2 x y 2z0 và ( ) : 22 x 29y14z18 0

Câu

3b

Giải hệ phương trình:

2

2.8x 2y 17.2y x

  







ĐK: y + 3x + 7 > 0 Hệ tương đương:

 6

2.8x 2 y 17.2y x (2)

x y







0,25

Từ (1) y 1 3 x Thế vào (2): => 2.23x23 3 x 17 (3) 0,25

Đặt 23x t t( 0),(3) trở thành:

2

8

2

t

t







 



0,25

-

0,25

Vậy nghiệm của hệ là

1 ( ; ) (1; 2), ;2

3

x y    