Chu de toan 8 chuong II

 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định. Dạng 1: Tìm điều kiện xác định[r]

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chủ đề 1: Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức

 Phân thức đại số

 Một phân thức đại số (phân thức) có dạng

A

B , trong đó A B, là những đa thức và

B khác đa thức 0 A là tử thức, B là mẫu thức.

 Mỗi đa thức hoặc một số coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

 Hai phân thức

A

B và

C

D được gọi là bằng nhau khi A D B  C

 Tính chất của phân thức



A A M

B B M hoặc

: :

A A N

B B N (với M N B, , là các đa thức khác đa thức 0)





 hoặc





 (với B là các đa thức khác đa thức 0)

Dạng 1: Hai phân thức bằng nhau

Để chứng minh



A C

B D có hai cách:

 Chứng minh A D B C 

 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức:

A A M

B B M hoặc

: :

A A N

B B N (M N , 0)

Ví dụ: Chứng minh các phân thức sau bằng nhau:

1

2

2



2 2

3

x x y

x y









Giải

1

2

2



Ta có x1 x26x9 x1 x32

,

x3 x24x3 x3 x1 x3  x1 x32

2

Vậy

2 2



2

2 2

3

x x y

x y









.

Ta có

2 2

x y







Vậy

2 2

3

x x y

x y









.

BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh các đa thức sau bằng nhau:

1

2 2

4

x





3 2

2 4



3

2

2

x





2 2 2 3 2



3

2

3

x





6



Bài 2: Hãy tìm đa thức A trong các trường hợp sau:

2 2

15 10





3

2

6



2

2 3





5

3

2

64 1





2 2

5 2 10 29 10



Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của phân thức

 Với a0 (a là hằng số)

P x a f x m m

: Giá trị nhỏ nhất của P x 

là m khi f x   0

P x a f x m m

: Giá trị lớn nhất của P x 

là m khi f x   0

 Với a0 và P x   0

thì  

a

P x

nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi P x 

lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)

Ví dụ: Tìm GTLN (GTNN) của các phân thức sau:

1

2 2 3

4

10

2 2

B

x x



 

Giải

2

2

Vì x120   x 

nên 1 12 1 1

Dấu bằng xảy ra khi: x  1 0 x1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1

2 tại x 1.

B

Vì x 120   x 

nên x 12 1 1  x 

Suy ra  2

Dấu bằng xảy ra khi: x 1 0  x1

Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 10 tại x 1.

BÀI TẬP

1

2

5

2 2

15

2 4

x  x

18

27

3x 15x 20

5

2

2

6 9

2 6

 

2 2

1

2 1

 

 

Chủ đề 2: Rút gọn phân thức,

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

 Rút gọn phân thức

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm các nhân tử chung

 Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung, phép tính tương tự như rút gọn phân số

 Quy đồng mẫu nhiều phân thức

 Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử

 Mẫu thức chung là tích các nhân tử đã cho (nhân tử không lặp lại) Đối với hằng số,nhân tử chung là BCNN của chúng, đối với luỹ thừa ta chọn luỹ thừa

có số mũ cao nhất

 Tìm mẫu thức chung

 Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức

 Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Dạng 1: Rút gọn phân thức

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức

A A C

B BC

Ví dụ: Rút gọn các phân thức sau:

1

2

2

4

x

 

2 5 2 2

4 2 2 2

3

x y x y





Giải

1

2

 

2

2 5 2 2

2



BÀI TẬP

1

6 8



2

2 2

15 5 9





3

64 64

5

2

3 3

  

  

6

2

3

10 15

xy x y

xy x y





7

2 2

2 2

8

4

x y x y





8

2 2

2 1

3 2

 

 

9

3 2

3

2

2 2

4 4

6 8

 

 

11

2

3 2

10 25

5 25 125

2

7 10

 

Dạng 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

 Rút gọn các phân thức

 Phân tích mẫu thức của từng phân thức thành nhân tử

 Viết nhân tử chung và nhân nhân tử phụ đối với từng mẫu thức

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

x  x x 

Giải

;

3x 15x x  25

2

3x 15x3x x5

x   x x

Mẫu thức chung: 3x x 5 x 5

x



x

x x  x x x

x x x 

x   x x

x   x x  x

Mẫu số chung: x1 x 1 x2 x 1

2

2

1

 

,

2 2

,

x x



BÀI TẬP

1

3

2 4

x

x và 2

3 4

x x



2 4 2 4 4

x

x x  x

3

2

2

1

4 5

x



  và 3

5 25

5 ; 3 ;5 1

4 4 3 6

2

7

Chủ đề 3: Các phép toán với phân thức đại số

 Phép cộng, trừ các phân thức đại số

 Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu thức:

A C A C



 

 Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức:

 Quy đồng hai mẫu thức Thực hiện cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu thức

 Giao hoán:

A C C A

B D D B  

 Kết hợp:

 Phép trừ phân thức:

 

    

 

 Phép nhân các phân thức dại số

 Giao hoán:

A C C A

B D D B

 Kết hợp:



 Phân phối với phép cộng, trừ:

 Phép chia các phân thức đại số



A C A D

B DB C ( với B C D , , 0)



1

B B C BC (

D

C đươc gọi là phân thức nghịch đảo của

C

D)



:C D A D

D C  C

 Phép chia phân thức có các tính chất của phép nhân phân thức

Dạng 1: Thực hiện phép tính:

 Thực hiện các phép tính theo qui tắc

 Rút gọn phân thức

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau

1

2

2

x

3 2 3 2 4 9

x



3

2 2 3

3 2

15 9

4

2 5

2

25 :15 3

x



Giải

2 2

2

2

2

3 2 4 3 2 3 6

2 3 2

x

3

3 2 3 2

4

2

xy

BÀI TẬP

 Phép cộng và phép trừ phân thức:

1

4 4 6 30



1 2 1 1 5

3 2 2

x





1 2 1 1 5

x  x  x  x 6

2 2 2





3 2 3 2 4 9

x



9

2 2

x y x y y     x

10

11

2 2

2 2

x  x x  x x  x x  x

 Phép nhân và phép chia phân thức:

1

2 2

2

3





2

3 3

3

2 2

x xy y x xy y

4

2

x y

x y





5

2 2

x

2

25. 5 1 5 1



7

2

2

3 10. 7 12

9

3 3

2

2

x



3 3

3 x 2 2y 3 x2 xy2





11

:

2

10 10

5 5 :

1

x x

x







13

2 2: 3 3

14

2 2

2: 2. 1

15

2 2y x y xy2 2

x



2

:

17

4 4 1 8: 12 6 1

:

Chủ đề 4: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Giá trị của phân thức

 Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên các phân thức Những biểu thức đó gọi là biểu thức hữu tỉ.

 Các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia giúp biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định

 Phân tích mẫu thức thành nhân tử (nếu có)

 Tìm tất cả các điều kiện của biến sao cho mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

1

5

3 6

x

2 8

x

x x





Giải

1

5

3 6

x

x

Điều kiện xác định: 3x 6 0  3x 6 x2

Vậy khi x 2 thì phân thức

5

3 6

x x xác định.

2 2

2

8

x

x x





Điều kiện xác định:

Vậy khi x 0 và x 8 thì phân thức 2

2 8

x

x x



 xác định.

Bài tập

1 2

3 9

3

x

x x



3 2

2 3 1

x

 



3 2

1

x

x x



2 2

5 6

 

 

5

2

2

1

16 25

x

x



2 2

5

x



 

3 2

2 2 2

x



8

2 2

 

9 2

5

4 3

6 6

25 60 36

x



Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ

 Thực hiện các phép toán đối với các phân thức đã cho

 Rút gọn các phân thức

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ sau thành phân thức

1

1

1

1

x

A

x

x







2

2 2 1

2

x

x









Giải

1

2

2

1

x

x

x





2.

1

2

x





.

Bài tập

1

2

2 2

1

x y x y

x y x y

x

x y







2  2 1  1 1 1

x

3

2

1 1 :

y

2 2

3

1 : 1

5

y

x

x y x y

x y x y





6

7

2 3

2 2

: x y

x

9

2

:

x

:

Dạng 3: Giá trị của phân thức

 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức

 Tìm điều kiện xác định của phân thức  Mẫu thức khác 0.

 Rút gọn phân thức và tính giá trị của phân thức

Ví dụ: Tính giá trị của các phân thức sau:

1

2

3 3 2 3 1

x xy y y

  

tại

3; 1

x y

2

2

2



100

x 

Giải

1

2

3 3 2 3 1

x xy y y

  

2 3

1

x xy y y

y

  



  1

ĐKXĐ: y 13 0 y 1 0  y1

3

3

2

1

1 1

1

1

y

y

y x

y















Thay

3

4

x 

và

1 2

y 

, ta được:

4

 

   

Vậy

2

x xy y y

  



với

3 4

x 

và

1 2

y 

2

2

2



2 2

ĐKXĐ: x 0 và x 1 0 và x 1 0

0

x

  và x 1 và x 1

2 2

2 2

2 1

x

x x

       







2 2

2

2

2 1

2

2

x

x x

x

x x

x















Thay x 100, ta được:

100 50

Vậy

2

2



Bài tập

Bài 1: Cho biểu thức

1 1 : 2

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm điều kiện của x để giá trị của A xác định

c) Tính giá trị của A tại x3,x1

d) Tìm x để của A2,A10

Bài 2: Cho

3 2

B

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm điều kiện của x để giá trị của B xác định

c) Tính giá trị của B tại x 2

d) Tìm x để của B5,B0

Bài 3: Cho biểu thức

2

C

a) Thu gọn C

b) Tìm giá trị của C tại x 2004

c) Tìm x để biểu thức B nhận giá trị nguyên