LÍ THUYẾT LỰA CHỌN DANH MỤC TỐI ƯU

Phương pháp thiết lập danh mục tối ưu khi chỉ có tài sản rủi ro: .1... - Với mỗi mức lợi suất ấn định trước luôn tồn tại duy nhất một danh mục biên duyên tương ứng.. Tập hơp các danh mục

LÍ THUYẾT LỰA CHỌN DANH MỤC TỐI ƯU

I. PHƯƠNG PHÁP MARKOVITZ

1. Mục tiêu của nhà đầu tư

.1. Mục tiêu “lí tưởng”

Xét N tài sản rủi ro có lợi suất kí hiệu là i

r

(i=1.N)

Danh mục P có tỉ trọng:





















=

N

P

w

w

w

1

Người ta dùng thước đo rủi ro của danh mục là σP

Bàì toán lựa chọn danh mục “tối ưu lí tưởng”:

Xác định danh mục P sao cho 





→

→

min

max

2

P P

r

σ

Đây là bài toán đa mục tiêu và để giải được cần đánh đổi hai mục tiêu này đưa về bài toán 1 mục tiêu và nhiều ràng buộc

.2. Mục tiêu tối ưu Pareto

Thiết lập hai bài toán tương ứng hai mục tiêu:

Bài toán 1: Cho

0

2 0

2 = σ >

σP

, tìm danh mục P để r P →

max

Bài toán 2: Cho

f

P r r

r = 0 >

, tìm danh mục P để →

2

P

σ min

Tương ứng sẽ có hai bài toán tối ưu:

Xác định





















=

N

w

w

1

sao cho

w

Vw w

r w

N i i T

N

i i i

















=

=

→

∑

∑

=

=

1

2 0 1

1 max

σ

Xác định





















=

N

w

w

1

sao cho

w

Vw w

r r w

N

i i T

N i i i

















=

→

=

∑

∑

=

=

1

0 1

1 min

Vệ mặt lí thuyết hai bài toán 1 và 2 tương đương nhau theo nghĩa nghiệm của bài toán 1 và trị tối ưu tương ứng khi thay vào bài toán 2 sẽ được trị tối ưu của bài toán 2

2. Phương pháp thiết lập danh mục tối ưu khi chỉ có tài sản rủi ro:

.1. Mô hình xác định tập danh mục biên duyên:

Xét thị trường gồm N loại tài sản rủi ro

i

r

: lợi suất của tài sản i (i = 1, ,N),

) ,

(

i i

i N r

và độc lập tuyến tính

V: ma trận hiệp phương sai của lợi suất của các tài sản (ma trận vuông, đối xứng, xác định dương, không suy biến)

V-1: ma trận nghịch đảo của ma trận V (ma trận vuông, đối xứng, xác định dương)

Bài toán: Chọn danh mục tối ưu với lợi suất kỳ vọng ( r P) đã được ấn định trước

Bài toán xác định





















=

N

w

w

1

sao cho:

w

Vw w

r r w

N i i T

N i i i



















=

→

=

∑

∑

=

=

1

0 1

1

min 2

1

Ký hiệu: V = A

− 1 ] ].

1

; [1]: ma trận đơn vị, các thành phần đều là số 1

r V =B

− 1 ] 1

;

r.V− 1 r =C

D = AC – B2

G =

)]

( ]) 1 [ ( [

r V B V

C D

−

− −

H =

])]

1 [ ( ) (

[

1 A V− 1r −B V− 1

D

Nghiệm của bài toán: 0

Hr G

Danh mục P ứng với tỷ trọng w được gọi là danh mục biên duyên ứng với lợi

suất kỳ vọng 0

r

Kết luận:

- Các véctơ G, H do điều kiện thị trường quy định, không phụ thuộc vào lựa chọn của nhà đầu tư

- Với mỗi mức lợi suất ấn định trước luôn tồn tại duy nhất một danh mục biên duyên tương ứng

- Với mỗi danh mục biên duyên

) (r0

w

đều có dạng w = G + 0

r

.H

Xét

) , (

r

luôn tồn tại danh mục biên duyên tương ứng w Tập hơp các danh mục biên duyên này gọi là tập danh mục biên duyên

.1. Cấu trúc tập danh mục biên duyên

Phương sai của danh mục biên duyên:

D

C r B r

P

+

−

= . 2 2. *

2 σ

Biểu diễn hình học của tập danh mục biên duyên:

P Tập danh mục biên duyên

B/A MVP

1/A σ2

P

.1. Biên hiệu quả trong trường hợp không có tài sản phi rủi ro

Một danh mục biên duyên được gọi là hiệu quả nếu:

A

B

r

với MVP là danh mục có phương sai nhỏ nhất

Danh mục Q là danh mục biên duyên mà Q≠

MVP hoặc là danh mục Q không phải là danh mục hiệu quả thì Q được gọi là danh mục phi hiệu quả Biên hiệu quả: là tập hợp các danh mục hiệu quả và danh mục có phương sai nhỏ nhất MVP Phương trình đường biên hiệu quả (biên hiệu dụng):













≥

+

−

=

A

B D

C r B r

A

rP

P P

P

2 2 2

σ

Biểu diễn đường cong biên hiệu quả trên đồ thị:

Biên hiệu quả

B/A

MVP

1/ A σP

3. Phương pháp thiết lập danh mục tối ưu khi có tài sản rủi ro và phi rủi ro

Bài toán: Chọn danh mục tối ưu với lợi suất kỳ vọng ( 0

r

) đã được ấn định trước

Bài toán xác định





























=

f

N

w w

w

1

sao cho

r w w

Vw w

r r w r w

N i

f f i T

N

i i i f f



















= +

→

= +

∑

∑

=

=

1

0 1

1

min 2

1

trong đó f

w

là tỷ trọng của tài sản phi rủi ro

Trong trường hợp có tài sản phi rủi ro thì danh mục biên duyên được xác định như sau:

w* =

]) [ ( ) (

f f

P r V r r r

E − − −

trong đó, V = A

− 1 ] ].

1

; [1]: ma trận đơn vị, các thành phần đều là số 1

r V =B

− 1 ] 1

;

r.V− 1 r =C

E =

C r B r

A* f2 −2 * f +

.1. Cấu trúc của tập danh mục biên duyên

Phương sai của tập danh mục biên duyên:

E

r

P

2

=

σ

Tập danh mục biên duyên gồm hai nửa đường thẳng:

E r

r P = f +σP

( P f

r

r ≥

);

E r

r P = f −σP

(

f

P r

r <

)

.2. Biên hiệu quả trong trường hợp có tài sản phi rủi ro

Giả thiết: A

B

r

rf < MVP=

Xuất phát từ rf ứng với danh mục F: wi = 0, wf = 1

Từ F kẻ tiếp tuyến với biên hiệu quả trong trường hợp không có tài sản phi rủi ro, tiếp xúc tại T – T được gọi là danh mục tiếp tuyến, T có wf = 0 vì T thuộc biên hiệu quả khi không có tài sản phi rủi ro

Có thể chứng minh được danh mục tiếp tuyến T thuộc tập danh mục biên duyên khi có tài sản phi rủi ro Suy ra, đường thẳng FT chính là biên hiệu quả,

là tập các danh mục hiệu quả trong trường hợp có tài sản phi rủi ro

Lợi suất kỳ vọng và phương sai của danh mục tiếp tuyến T được cho bởi các công thức như sau:

f

f T

r A B

r B C r

*

*

−

−

=

T B A r

E

*

−

=

σ

rP 2

rT T

B/A MVP

rf

1/A σT

σ2

2

P

II. MÔ HÌNH CHỈ SỐ ĐƠN:

1. Mô hình và giả thiết:

Hàm số mô tả SIM ở dạng tuyến tính:

rit = αi + βiIt + εit

Các giả định cơ sở của mô hình: lợi suất của chứng khoán có dạng hàm tuyến tính như trên; E(εit) = 0; E(εit.It) = 0,

cov(εit.It) = 0; cov(εi, εt) = 0 (i # j);

E(εit.εit) = 0, đồng thời để tránh hồi quy giả mạo thì các chuỗi lợi suất đều phải là chuỗi dừng

Trong phương trình hàm số mô tả SIM, số hạng αi biểu thị một bộ phận lợi suất cố định gắn liền của chứng khoán i Theo nghĩa đó, αi là hằng số và không

có quan hệ phụ thuộc gì vào chỉ số It

βi là hệ số đo mức độ nhạy cảm của lợi suất chứng khoán i đối với hành vi của chỉ số It

Nếu βi >1 thì tài sản i được gọi là năng động (Aggressive Asset) Nếu βi <1 thì tài sản i là tài sản thụ động (Defensive Asset)

Cuối cùng, εit đại diện cho phần lợi suất đặc thù của chứng khoán i đang xét, không có tương quan với chỉ số It cũng như mức lợi suất của các loại chứng khoán khác đang tồn tại trên thị trường

2. Ứng dụng SIM thiết lập danh mục tối ưu bằng thuật toán EGP

(Elton – Gruber – Padbercy)

ERB

iI

f

i r r

β

−

=

i

ERB

Sau đó sắp xếp theo thứ tự giảm dần của ERBi

Bước 2: Tính các i

c

bằng công thức

∑

∑

=

=

+

−

=

i

j j

jI I

i j

jI j

f j

I i

r r c

2 2

2

1

η

β σ

β η σ

với Var( j

ε

2

−

=

n

RSS

j

η

Bước 3: Tìm hệ số ngưỡng c*

k

k k

c c

k i c

k i c

=

>

∀

<

≤

∀

≥

*

, ERB

, ,

ERB

i i

Các tài sản i từ 1 đến k sẽ có trong danh mục T

Bước 4: Tính i

w

















−

−

= 2 r r c*

z

iI

f i i

iI

β

∑

=

= k

i i

i i

z

z w

1

III. MÔ HÌNH ĐA NHÂN TỐ

1. Mô hình K nhân tố

.1. Mô hình K nhân tố đối với lợi suất tài sản

Nếu giả thiết

- Các tài sản trên thị trường có lợi suất chịu tác động chung của K nhân tố

Mỗi tài sản chịu tác động của yếu tố riêng có

khi đó mô hình K nhân tố đối với tài sản có dạng:

i i i iK K i

F F

hay

∑

=

+ +

k

i k ik i

r

1

ε β

α

ik

β

(k = 1,…,K) : hệ số nhân tố k của tài sản i, thể hiện mức độ tác động của

nhân tố Fk đối với lợi suất tài sản i Nếu các nhân tố là nguồn gây ra rủi ro cho tài sản thì đây là rủi ro của tài sản i do nhân tố k gây ra

Phương trình trên còn gọi là phương tình nhân tố đối với tài sản i.

Giả thiết của mô hình:

- Các nhân tố chung: F1,F2,…,FK có E(Fk) = 0 với mọi k = 1, ,K

- Nhân tố riêng: E(εi

) = 0 với mọi i

- E (Fs,Fh) = 0 với s≠

h và s,h = 1,…,K hay các nhân tố chung độc lập nhau

- E (Fs, εi

) = 0 với s = 1,…,K hay các nhân tố riêng và các nhân tố chung độc lập

- E(εi

,

j

ε ) = 0 ∀i ≠ j

.2. Ước lượng mô hình nhờ kĩ thuật phân tích thành phần chính

Bước 1: Nhập dữ liệu chuỗi lợi suất.

Bước 2: Chọn thực đơn phân tích nhân tố, phần mềm sẽ cho kết quả ước

lượng của các nhân tố thỏa mãn tỉ lệ giải thích đã chọn: F1, F2, F3…

Bước 3: Ước lượng mô hình hồi quy với mẫu là bộ số liệu lợi suất và các

nhân tố F1, F2, F3… đã xác định ở bước 2, từ đó tìm được các ước lượng

i i

i

βˆ1, ˆ2, ˆ3, , ˆ

2. Danh mục nhân tố và ứng dụng

Danh mục nhân tố j: P(j) (j= 1,…, K) là danh mục có hệ số nhân tố

j

β

= 1 và

j

k

k = 0 ∀ ≠

β

.

.1. Lập danh mục nhân tố

Bước 1: Chọn K+1 tài sản hoặc danh mục không có rủi ro riêng Phương

trình nhân tố của K+1 tài sản có dạng:

∑

=

+

k

k ik i

r

1

β α

i= 1,…,K

Bước 2: Lập và giải hệ phương trình sau:













=

=

∑

∑

+

=

+

=

1 1

1 1

1

K i

j i

K i

j k ik

j i

w

e

với











≠

∀

=

=

=

=

=

k j e

k j e

K k

K j

j k

j k

, 0

, 1

, , 1

; , , 1

j

i

w

: tỉ trọng tài sản i của danh mục nhân tố j

.2. Một số đặc diểm của danh mục nhân tố

Phương trình nhân tố của P(j):

j j

j

j=1,…,K

∑+

=

=

≡

1 )

( )

i i

j i j

j P

α

j=1, ,K

Quan hệ giữa Pj và Ps bất kì:

s j r

r Cov( Pj, Ps) = 0 ∀ ≠ ⇒Var(P j) =Var(F j)

Phần bù rủi ro của danh mục nhân tố (

j

λ ):

K j

r f

j

j = δ − ∀ = 1 , ,

λ

K j

r f

j

j = λ + ∀ = 1 , ,

δ

3. Mô hình Fama-French

Fama và French (1992) đã phát hiện ra rằng các hệ số bêta của chứng khoán không giúp lý giải được mối quan hệ lợi suất dài hạn, trong khi quy mô của công ty và tỷ suất thị giá so với giá trị kế toán lại rất hữu ích trong việc giải thích này CAPM đơn nhân tố sử dụng một nhân tố bêta để so sánh danh mục với tổng thể thị trường Tổng quát hơn nữa, chúng ta có thể thêm nhiều nhân tố hơn vào một mô hình hồi quy để đưa ra một mô hình tốt hơn Mô hình nổi tiếng nhất đi theo hướng này là mô hình 3 nhân tố được phát triển bởi Gene Fama và Ken French (1996)

rit – rft = i

α + βi1*(rMt – rft) + βi2*SMLt + βi3*HMLt + it

ε

Trong đó:

rit : tỷ lệ lợi suất của tài sản

rft : tỷ lệ lợi suất phi rủi ro

rMt : lợi suất trung bình của toàn thị trường chứng khoán

β

i1: bêta nhân tố, tương tự như bêta cổ điển nhưng không bằng chính bêta cổ điển, và trong mô hình có thêm 2 nhân tố giải thích khác nữa

SML = Chỉ số lợi suất của nhóm quy mô vốn hóa nhỏ - Chỉ số lợi suất của nhóm quy mô vốn hóa lớn

HML = Chỉ số lợi suất của nhóm có tỉ lệ B/M cao – Chỉ số lợi suất của nhóm

có tỉ lệ B/M thấp

Tỉ lệ B/M là tỉ lệ giá trị sổ sách trên giá trị thị trường của chứng khoán (Book-to-Market Ratio)

βi2

= 1: danh mục “đỉnh thấp”; βi2 = 0: danh mục “đỉnh cao”

βi3

= 1: danh mục có tỷ số giá trị sổ sách/ giá cao, vv