Tứ giác DFBE là hình gì?. Vì sao?[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1: (6điểm)
a Giải phương trình
148 − x
169− x
186 − x
199 − x
b Tìm các số nguyên a và b sao cho đa thức
A(x) = x4 + ax2 + b Chia hết cho đa thức B(x) = x2 + x +1
Bài 2 (4 điểm)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1
CMR: abc+1+ bc
a+1+
ac
b+1 ≤
1 4
Bài 3 (4 điểm)
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
b Giải bất phương trình
3 − 2 x x+1 ≥ 1
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm
B, D lên AC A, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD
a Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b Chứng minh Δ CHK đồng dạng Δ BCA
c Chứng minh AC2 = AB.AH + AD.AK
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1
a(3đ)
b.(3đ)
Giải phương trình: 148 − x25 +169− x
186 − x
199 − x
(148 − x25 −1)+(169 − x23 −2)+(186 − x21 − 3)+(199 − x19 −4)=0
123 − x25 +123 − x
123 − x
123 − x
(123 − x)(251 +
1
23+
1
21+
1
19)=0
Vì (251 +
1
23 +
1
21+
1
19)≠ 0
123-x=0
x=123
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {123}
Thực hiện được phép chia 2 đa thức đúng kết quả
A(x) : B(x) = (1-a)x + b –a
- Lý luận (1-a)x + b –a = 0
¿
1 −a=0
b − a=0
¿ {
¿
- Tìm được a = b = 1
1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
1.5đ 1đ
1đ
Bài 2
(4đ)
Áp dụng bài toán phụ
x , y >¿ 1
x+
1
y ≥
4
x+ y¿
-> x + y1 ≤1
4(1x+
1
y)
Nên ta có abc+1= ab
(a+c )+(b+c) ≤
ab
4 (a+c1 +
1
b+c) (vì a+b+c=1 (gt) (1)
bca+1= bc
(a+b)+(a+c) ≤
bc
4 (a+b1 +
1
a+c) (2)
acb+1= ac
(a+b)+(b+c) ≤
ac
4 (a+b1 +
1
b+c) (3) Kết hợp (1)(2) và (3)
ab
c+1+
bc
a+1+
ac
b+1 ≤
1
4(ab+bca+c +
bc +ac
a+b +
ab+ac
b+c )
=> abc+1+ bc
a+1+
ac
b+1 ≤
1
4(a+b +c) Hay abc+1+ bc
a+1+
ac
b+1 ≤
1
4 (đpcm)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Bài 3
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết
Trang 3P=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]
P=(x2 + 6x – x – 6)(x2+3x+2x+6)
P=(x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
P = (x2 + 5x)2 – 62 = (x2 + 5x)2 – 36
Vì (x2 + 5x)2 0 với ∀ x => (x2 + 5x)2- 36 −36 với ∀ x
Hay P −36 với ∀ x
Min P = -36 (x2 + 5x)2 =0
x2 + 5x = 0
x(x+5) = 0
x=0
¿
x+5=0
¿
¿
¿
¿
x=0
¿
x=−5
¿
¿
¿
¿
Giải bpt 3 − 2 x x+1 ≥ 1 đk: x -1
3 − 2 x x+1 +1≥ 0
3 − 2 x +x+1 x +1 ≥ 0
4 − x x +1 ≥ 0
¿4 − x ≥ 0
x+1>0
¿
¿
¿
4 − x ≤0
¿
x+1<0
¿
¿
¿
¿
¿
¿4 ≥ x
x>− 1
<=>− 1<x ≤ 4
¿
¿
x ≥ 4
¿
x<− 1
¿
¿
<=> x=0
¿
¿ ¿ Vậy nghiệm của bất phương trình là {x /−1<x ≤ 4 }
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ
Bài 4:
H
C B
F
Trang 4b
c
DF//BE (vì cùng với AC
Δ AFD = Δ CEB (ch.gn) -> DF = BE
DFBE là hbh
BC//AK -> BCK = 900
ABC = 900 + BCH (góc ngoài Δ CHB)
HCK = 900 + BCH
ABC = HCK
Mà CDK = ACD + DAC (góc ngoài Δ DKC)
HBC = BAC + BCA (góc ngoài Δ HBC
Mặt BCA = DAC; BAC = DCA
-> Δ CKD đồng dạng Δ CHB -> CD
BC=
CK CH Hay ABBC= CK
CH −
CH
BC=
CK AB -> Δ CHK đồng dạng Δ BCA (c.g.c)
Δ AEB đồng dạng Δ AHC -> Δ AHC ->
AB
AC=
AE
AH − AE AC=AB AH
Vì Δ AFD đồng dạng Δ AKC -> AF
AK=
AD
AC − AF AC=AD AK
Từ (1) và (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK
AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK
AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)
AB.AH + AD.AK = AC 2 vì Δ AFD = Δ CEB (cmt)
E
D