de luyen thi hoc sinh gioi toan 6

Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC).. Kẻ đường cao AH.a[r]

ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( 4 điểm)

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và |y| = 3

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho a; b N và ( 11a + 2b) ⋮ 12 Chứng minh ( a + 34b) ⋮ 12

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6

Tìm số a biết 100 < a < 200

Câu 3 ( 4 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36

2 Cho |x| + |x +1| + |x +2| + |x +3| =6 x

a) Chứng minh x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) ⋮ n – 1

b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Câu 5 (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB

c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD

………….Hết…………

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM

Câu 1

(4,0

đ)

a) (1,5 đ)

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

=> 3A = 32 + 33 + 34 +………3100 + 3101

=> 3A – A = 3101 – 3

=> A = 3101−3

2

2

b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và |y| = 3

vì |y| = 3 => y = ± 3

B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3

2

Câu 2

(3,5đ)

a) Cho a; b N và ( 11a + 2b) ⋮ 12 Chứng minh ( a + 34b) ⋮ 12

Từ 12a + 36b ⋮ 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) ⋮ 12

Mà ( 11a + 2b) ⋮ 12 => ( a + 34b) ⋮ 12

0,5 0,5

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có

*

¿

x − 3=1 y+1=7

<=>

¿x=4 y=6

¿ {

¿

*

¿

x − 3=7

y +1=1

<=>

¿x =10

y =0

¿ {

¿

*

¿

x − 3=−1 y+1=−7

<=>

¿x =2 y=− 8

¿ {

¿

*

¿

x − 3=−7

y +1=− 1

<=>

¿x=− 4 y=−2

¿ {

¿

Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3;

4; 6 Tìm số a biết 100 < a < 200

Vì khi chia a cho 5,7,11 có số dư lần lượt là 3,4,6

=> a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6

=> 2a - 1 BC (5; 7; 11)

Tìm được a = 193

1,0

0,5

0,5 0,5 0,5

Câu 3

(3,0

đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9

34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y ⋮ 9 => 12 + x + y ⋮ 9 (1)

34x5y chia hết cho 4 khi 5y ⋮ 4 => y = 2 hoặc y = 6

0,5 0,5

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x ⋮ 9 => x = 4

Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x ⋮ 9 => x = 0 hoặc x = 9

Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 0,50,5

2 Cho |x| + |x +1| + |x +2| + |x +3| =6 x

a) Chứng minh x 0

Vì |x|≥0 ;|x +1|≥ 0 ;|x+2|≥ 0 => |x| + |x +1| + |x +2| + |x +3|≥ 0

=> 6x 0 => x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Vì x 0 => |x| + |x +1| + |x +2| + |x +3| =6 x  x + x+1+x+2 = 6x

 3x - 6x = -3  x = 1 (t/m)

0,5 0,5

0,5

0,5

Câu 4

(2,0

đ)

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) ⋮ n – 1

Ta có: n2 – n – 1 ⋮ n – 1  n(n-1) – 1 ⋮ n – 1

=> -1 ⋮ n – 1 => n – 1 {−1 ;1} => n {0 ;2}

0,5

0,5 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1

=> 3(2n+1) – 2(3n+1) ⋮ d => 1 ⋮ d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n

+1) = 1

0,5 0,5

5 O A B D x

Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm Vì 2cm < 4cm => OA < OB nên A nằm

giữa O và B

0,5 0,5

Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB

 2 + AB = 4 => AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm

0,5 0,5

Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm

Nên A là trung điểm của OB

0,5 0,5

Ta có BD = 2 BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1)

Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D =>

OB + BD = OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD

0,5 0,5

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7

Thời gian 120 phút Câu 1( 3 điểm)

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = 153+5 152−53

183+ 6 182− 63 B = (74− 73)

49 3 b) Tìm số tự nhiên n biết: 13 3n = 7.32 92 – 2.3n

Câu 2 (3 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

x+1

3¿

2

+5

¿

4

¿

b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = x y (y 0 ¿

c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24

Câu 3 ( 4 điểm)

1 Tìm các số a,b,c biết: a+12 =b+2

c+2

4 và 3a – 2b + c = 105

2 Tìm x,y,z biết: |x −1

2|+|y +2

3|+|x + y − z −1

2|=0

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) ⋮ n + 1

b) Cho A = (1 - 12¿ (1 −1

3)(1 −

1

4)(1 −

1

5) (1−

1

20) So sánh A với 211

Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có ∠B >∠C Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC)

a Chứng minh rằng: ∠ ADC – ∠ ADB = ∠ B – ∠ C

b Kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: ∠ AEB = ∠ HAD = 12 ( ∠B − ∠C )

c Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết ∠B − ∠C = 400

Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.

Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 ⋮ 192

………….Hết…………

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM

Câu 1

(3,0đ)

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = 153+5 152−53

183+6 182− 63 = 53

63 B = (7

4

− 73)

b) Tìm số tự nhiên n biết: 13 3n = 7.32 92 – 2.3n

 3-1.3n + 2.3n = 7.36

 3n-1 = 36

Câu 2

(3,0đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x+

1

3¿

2 +5

¿

4

¿

Vì (x + 13 )2 + 5 5 với mọi x R

=>

x+1

3¿

2

+5

¿

4

¿

4

5 dấu “=” xảy ra khi x = - 13

Giá trị lớn nhất là 45 tại x = - 13

0,5

0,5

b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = x y (y 0 ¿

Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => x y=x −1

Mặt khác x + y = x y => x + y = x + y => y = -1

Khi đó x – 1 = x(-1) => x = 12

0,5

0,5

c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24

Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3

p2 – 1 = (p - 1)( p + 1)

Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) ⋮ 8

Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết cho 3

nên (p - 1) hoặc ( p + 1) ⋮ 3 Vì (3;8)=1 nên p2 – 1 ⋮ 24

0,5

0,5

Câu 3 1 Tìm các số a,b,c biết: a+1

b+2

c+2

4 và 3a – 2b + c = 105

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM (3,0

đ)

a+1

b+2

c+2

4  b = 3 (a+1)2 -2 và c = 2(a+1) -2

 b = 3 a− 12 và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được

a = 52; b = 1552 c = 104

0,5 0,5

1,0

2 Tìm x,y,z biết: |x −1

2|+|y +2

3|+|x + y − z −1

2|= 0

Vì |x −1

2|≥ 0;|y+2

3|≥ 0;|x+ y − z −1

2|≥ 0

Mà |x −1

2|+|y +2

3|+|x + y − z −1

2|= 0 nên

* x - 12 = 0  x = 12 ; y + 32 = 0 => y = - 32 Tính được z =

-2

3

0,5

0,5 1,0

Câu 4

(2,0

đ)

a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) ⋮ n + 1

Ta có: 2n2 + 3n +2 ⋮ n + 1  2n2 + 2n + n +1 + 1 ⋮ n + 1

=> 1 ⋮ n + 1 => n + 1 {−1 ;1}

=> n {0 ;−2}

0,5 0,5

b) A = (1 - 12¿ (1 −1

3)(1 −

1

4)(1 −

1

5) (1−

1

1

2.

2

3.

3

4 .

18

19.

19

20=

1 20

=> A > 211

0,5 0,5

5

A

E

B H D C

0,5

a Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD

Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam giac ABD

và ACD nên:

ADC = B + BAD; ADB = C + CAD

Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C

0,5 0,5

0,5

b Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

ACD + ADB = 1800  ADC = 1800 – ADB

0,5 0,5

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Kết hợp với câu a Ta được

(1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C)

=> ADB = 900 – 12 ( B – C)

Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB

= 900 – [900 - 12 ( B – C)] = 12 ( B – C)

0,5 0,5

c Theo giả thiết ta có

ADC – ADB = 400

ADC + ADB = 1800

=> ADB = 700 ; ADC = 1100

=> HAD = 200

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 6 Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.

Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 ⋮ 192

m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng

m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2

Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1)

Ta có (k-1)k(k+1) ⋮ 3 và (k-1)k.k(k+1) ⋮ 4 nên (k-1)k2 (k+1) ⋮ 12

16k2(k-1)(k+1) ⋮ 16.12=192

0,5 0,5 0,5 0,5