TT De luyen thi HSG Toan 12

a) Cho hai mÆt ABC vµ ABD cña tø diÖn ABCD cã diÖn tÝch b»ng nhau.. Mét ®êng th¼ng  song song víi tiÕp tuyÕn cña elÝp t¹i M.. Gäi K lµ trung ®iÓm.. cña SC.. tÝch cña h×nh chãp S.AMKN vµ[r]

2 2 2

(tức là giá trị lớn nhất của g(t) trên đoạn [x4; x])

a b    với hai tiêu điểm F1 và F2 Gọi M là

điểm thuộc elíp (E), M không trùng với các đỉnh thuộc trục lớn

b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoảmãn điều kiện:

Câu 4 a) Cho hai mặt ABC và ABD của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau.

Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của AB và CD phải đi qua trung

Câu 4 Cho một hình cầu tâm O, bán kính R Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm

khác nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn

2R

9 .

Câu 5 Cho elíp

  thuộc elíp Một đờng thẳng

 song song với tiếp tuyến của elíp tại M Tìm phơng trình của  sao cho cắt elíp tại 2 điểm A, B mà diện tích MAB lớn nhất



Câu 5 Cho góc AOB 90  0, điểm M di động trên CA, điểm N di động trên OB sao

cho OM + ON = 2a (a là hằng số dơng)

a) Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

b) I là điểm chia đoạn MN theo tỉ số l Tìm quỹ tích điểm I.

Câu 6 Cho elíp (E):

2 2

2 2

1

a b  A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OAOB

(A, B di động) và cho biết

là GTNN của hàm số trên [sin; cos]

Câu 4 Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy.

a) Cho elíp

2 2

1

9  4  Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di

động trên elíp Chứng minh rằng trực tâm H của MA1A2 luôn nằm trênmột elíp cố định

b) Cho ABC có A(1; 0), B(2; 0), C(0; 3) Tìm điểm M nằm trong tam giác

để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất

Đề số 7

Câu 1 a) Giải phơng trình sin x sin x 1   cos x cos x3 

b) Cho  là tham số thực Hãy tìm nghiệm của hệ phơng trình sau:

4

11x

Chứng minh rằng phơng trình trên có và chỉ có 2 nghiệm trái dấu

b) Mỗi điểm trong mặt phẳng đợc gắn với một trong hai màu xanh, trắng.Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1hoặc bằng 3 mà 3 đỉnh của nó cùng một màu.

Câu 4 a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có A(2; 5), trọng tâm

, đờng phân giác trong góc C có phơng trình x 2y 2 0   .

Điểm D có tọa độ (0; 6) Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho

1) f (x) e , x2) f (x y) f (x).f (y), x, y

Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 3 a) Cho ABC cân (AB = AC) Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại

Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

b) Biết x, y, z, t là các số thực thuộc khoảng

1

;14

4 4 32y 32x 48  (với x < y).

b) Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm:

x x 1  x  x 1 m 

Câu 3 Trong mặt phẳg kẻ ô vuông đơn vị Hãy tìm đờng tròn có bán kính lớn nhất

chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả

Câu 4 a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K là trung điểm

của SC Mặt phẳng () qua AK cắt SB, SD lần lợt tại M và N Đặt V1 là thể

tích của hình chóp S.AMKN và V là thể tích hình chóp S.ABCD Xác định vị

trí của mặt phẳng () để tỉ số

1

V

V đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đờng thẳng d có phơngtrình 4x + 3y = 12 Ma là điểm thay đổi trên đờng thẳng d Trên nửa đờngthẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho AM.AN 4  

Điểm N chạytrên đờng cong nào? Viết phơng trình đờng cong đó?

Câu 5 Cho EFI vuông ở I và điểm P (P ≠ I) Lấy 2 điểm A, B lần lợt thuộc các

đ-ờng thẳng IE, IF sao cho góc APB vuông Gọi M là hình chiếu của P trên

AB Tìm tập hợp các điểm M khi A, B thay đổi







Chứng minh rằng hệ có cặp nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 0 x y 1   .

Câu 3 Tìm a sao cho hàm số

g(x)2x 3(a 1)x 6(a 1) 2(a 1)   có giá trị

cực đại, cực tiểu đều dơng và g(x) > 0, x ≤ 0

Câu 4 Cho ABC thỏa mãn điều kiện:

sin A sin B sin A sin C

3

4sin A 1 4sin B3

3

4sin B 1 4sin C3

Xác định dạng của tam giác ABC?

Câu 5 a) Cho đờng thẳng : 3x +25 = 0 và điểm F(3; 0) Tìm quỹ tích những

điểm M sao cho 5FM = 3MK với K là hình chiếu vuông góc của M trên 

Câu 1 a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số tuần hoàn và có đạo hàm xR Chứng

minh rằng hàm số y = f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn

b) Chứng minh rằng hàm số y sin  2c cos x

không phải là hàm tuần hoàn

Câu 2 a) Cho dãy số (xn) xác định bởi :

b) Trong các hình nón ngoại tiếp hình cầu cho trớc Hình nón nào có thể tíchnhỏ nhất.

Câu 4 Trong mặt phẳng cho hai đờng tròn:

2 2 2 1

2 2 2 2

P và Q lần lợt là các điểm chuyển động theo thứ tự trên (C1) và (C2) sao cho

Ox là phân giác trong của góc POQ Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn

Câu 3 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình vuông OABC và OA’B’C’.

Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy

b) Cho họ đờng tròn   2 2    

m

.Chứng minh rằng các đờng tròn Cm

luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố

định khi m thay đổi

Câu 4 Cho dãy số (xn) đợc xác định nh sau:

b) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số

ln xy

Câu 3 a) Cho các số thực a, x, y, z thỏa mãn:



Chứng minh rằng cos(x y) cos(y z) cos(z x) a     

b) Chứng minh rằng với mọi số thc a, b, c phơng trình:

a cos7x bcos4x ccos3x sin 2x 0   

luôn có nghiệm thuộc khoảng 0;

Câu 4 Cho hình chóp có đáy là hình thoi có diện tích bằng 8 Góc nhọn của đáy

bằng 300, đờng cao của hình chóp bằng 2 Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt

bên của hình chóp tại các điểm thuộc cạnh đáy

Chứng minh rằng đờng thẳng nối tâm mặt cầu và đỉnh của hình chóp đi quagiao điểm hai đờng chéo của đáy Tính bán kính mặt cầu nói trên

Đề số 15

Câu 1 a) Chứng minh rằng hàm số yx

không có đạo hàm tậi x = 0, hàm số3

yx

có đạo hàm với mọi xR

b) Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn x ≥ y ≥ z Chứng minh rằng:

Câu 2 a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng ph

-ơng trình a cos x 9bcos3x 25ccos5x 0   có ít nhất 4 nghiệm trên đoạn

b) Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

đỉnh trên trục bé của (E), M là điểm bất kì trên (E) Chứng minh rằng trục

đẳng phơng của hai đờng tròn ngoại tiếp MA1A2 và MB1B2 tiếp xúc vớielíp (E)

b) Trong mặt phẳng cho n điểm A1, A2, ,An và vectơ a cố định Viết phơng

trình đờng thẳng d nhận vectơ a làm vectơ chỉ phơng sao cho tổng bình

Câu 2 a) Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng nhất bằng 0, thỏa mãn

điều kiện: 1) f(x+y) = f(x).f(y), x,yR

2) f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm mọi cấp tại xR Tính

n

f (x)?

b) Cho e x 1x2   xn y1y2   yk và

x1x2  x n y1y2  y kChứng minh rằng x x x1 2 n y y y1 2 k

Câu 3 a) Trong tất cả các tứ diện OABC đỉnh O có 3 mặt vuông, hãy tìm tứ diện

có:

T tg  tg  tg cot g  cot g  cot g  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong đó , ,  lần lợt là góc giữa các mặt OBC, OCA, OAB với mặt phẳng(ABC)

b) Cho a, b, là các số thỏa mãn a2 b2 16 8a 6b  Chứng minh rằng:

2) Chứng minh rằng

n

n 2x

b) Cho ABC, gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC Tính độ dài

AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC

Câu 4 Cho hai điểm F và F’ cố định Một đờng thẳng  chuyển động sao cho  và

F, F’ cùng ở trên một mặt phẳng cố định và F, F’ luôn ở về một phía đối với

 Chứng minh rằng nếu tích các khoảng cách từ F và F’ tới  bằng k2 không

đổi thì đờng thẳng  luôn tiếp xúc với một elíp cố định

b) Giải phơng trình xlog 92 x 32 log x2  xlog 32

Câu 3 Trên một tờ giấy trắng kẻ ô carô vô hạn có n ô đợc tô đen, vào các thời

điểm t = 1, 2, xảy ra sự biến đổi màu đồng thời của tất cả các ô trên tờ giấytheo qui tắc sau: Mỗi ô k có đợc màu mà thời điểm trớc đó phần lớn trong 3

ô sau có: Chính ô k và các ô kề phải và kề trên nó (2 trong 3 ô này là đ ợc).Chứng minh rằng:

a) Sau một thời gian hữu hạn, trên tờ giấy không còn ô màu đen

b) Các ô đen bị loại trừ không muộn hơn tại thời điểm t = n

Câu 4 Trong không gian cho 4 đờng thẳng d1, d2, d3, d4 song song với nhau, trong

đó không có 3 đờng thẳng nào cùng nằm trong một mặt phẳng Mặt phẳng(P) cắt 4 đờng thẳng trên theo thứ tự tại A, B, C, D; một mặt phẳng (Q) khác(P) cắt 4 đờng thẳng ấy theo thứ tự taịi A’, B’, C’, D’ Chứng tỏ rằng các tứdiện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau

sao cho miền trong của hai hình tứ diện đó không có điểm chung nào haykhông?

Câu 4 Hình chữ nhật (Q) ngoại tiếp elíp (E):

y 2x 1   mx 2x 4 Chứng minh rằng với mọi m,

các đồ thị của hàm số trên đều tiếp xúc nhau

b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình:

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho?

Câu 4 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đờng thẳng

d: x  y  1 =0

a) Tìm trên đờng thẳng d một điểm M sao cho AM +BM nhỏ nhất

b) Tìm điểm N trên d sao cho AN +CN nhỏ nhất

1999 4f (a).f (a 1) là số chính phơng với mọi aZ.

Câu 2 1) Cho dãy số (u )n đợc xác định nh sau:

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

2) Chứng minh rằng trong ABC ta có:

Câu 4 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành M, N là trung

điểm của AB và SC AN cắt (SBD) tại P MN cắt (SBD) tại Q

Chứng minh QM = QN

2) Cho 2 đờng tròn

2 2

(C) : x y 3ax 0

Bài 2 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x)= 1+cos 8 x

Chứng minh rằng: Các đờng tròn (Cm) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố

định khi m thay đổi

Câu 2 1) Chứng minh rằng nếu ABC thỏa mãn điều kiện

thì đó là tam giác đều

2) Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình ex ax2

Câu 3 Cho elip (E) có phơng trình

2 2

2 2

1, (a b 0)

a  b    với 2 tiêu điểm là F1 và

F2 M là điểm di động trên elíp Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp MF1F2 Tìmquỹ tích điểm I

Câu 4 Cho dãy số (un) xác định bởi:

Câu 2 1) Cho các số thực a, x, y, z thoả mãn:

Chứng minh rằng: cos(x y) cos(y z) cos(z x) a     

2) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c Phơng trình sau luôn có nghiệmthuộc khoảng 0;

: a.cos7x b.cos4x c.cos3x sin 2x 0   

Câu 3 Cho họ đờng tròn (Cm) có phơng trình

2 2

x y  2m(x a) 0 

(trong đó a>0 là số cố định, còn m là tham số)

1) Chứng minh rằng quỹ tích tất cả những điểm có phơng tích bằng nhau

đối với mọi đờng tròn (Cm) là một đờng thẳng  Viết phơng trình của .2) Chứng minh rằng qua mỗi điểm (x0; y0) không nằm trên , và khác với

điểm O(0; 0) và A(2a; 0) có một và chỉ một đờng tròn (Cm)

3) Chứng minh rằng nếu M là điểm bất kì của đờng tròn (Cm) thì tỉ số

OM

k

MA  không phụ thuộc vào M Tìm giá trị k theo m.

Câu 4 Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn các điều kiện c + d = 6, a2 b2 1

Chứng minh bất đẳng thức: c2 d2  2ac 2bd 3 2 2   .



.2) Giải hệ phơng trình:

sin x ysin y x

Câu 3 Với điều kiện nào thì ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân là độ dài ba

cạnh của một tam giác?

Câu 4 Qua tâm O của 2 đờng tròn đồng tâm vẽ hai đờng thẳng vuông góc d1 và

d2 Đờng thẳng  di động quay quanh O về cùng một hớng cắt các đờng tròn nhỏ

và lớn lần lợt tại A và B (tức A, B nằm cùng phía đối với O) Qua A vẽ đờng thẳng'

2 2

a

ya

Câu 2 1) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất

b) Xác định m sao cho mọi x đều là nghiệm của bất phơng trình:

Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và nếu đặt x0 nlim an

 



thì x0 là nghiệm của phơng trình x13 x6 3x4  3x2  1 0.

Câu 3 a) Giải phơng trình 21 3sin x 1 3sin x log 1 9sin x2 

b) Cho ABC có 00    A B C 900 Chứng minh:

2cos3C 4cos 2C 1

2cosC



Câu 4 a) Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a Các cạnh còn lại đều không

lớn hơn a Gọi V là thể tích của tứ diện đó Chứng minh rằng:

3

aV8



.b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn

x y R và một điểm

M(x0; y0) nằm ngoài đờng tròn từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 với đờng tròn,trong đó T1, T2 là các tiếp điểm Viết phơng trình đờng thẳng T1T2 và chứng minhrằng khi M chạy trên một đờng thẳng d cố định không cắt đờng tròn đã cho thì đ-ờng thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định