Bài toán: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường đó... Xác định M là trung điểm đoạn AB. b) Viết phương trình đường vuông [r]
Trang 1ONTHIONLINE.NET Đường thẳng trong không gian A) Tóm tắt lý thuyết.
1 Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
x = x0 + a1t (d) y = y0 + a2t t R
z = z0 + a3t Với M (x0; y0; z0) là 1 điểm (d) đi qua
U= (a1; a2; a3) là véc tơ chỉ phương
2 Phương trình dạng chính tắc của (d) là:
3
0 0
0 1
0
a
z z a
y y a
x
(Với a1; a2; a3) đều khác 0)
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho (d1) có phương trình x = x1 + a1t1 (d1) có VTCP a= (a1; a2; a3) y = y1 + a2t1 (d1) đi qua M1 = (x1; y1; z1) z = z1 + a3t1 Cho (d2) có phương trình x = x2 + b1t2 (d2) có VTCP b= (b1; b2; b3) y = y2 + b2t2 (d2) đi qua M1 = (x2; y2; z2) z = z2 + b3t2
Ta có 4 trường hợp sau:
a) (d1) song song với (d2) <=>
2
1 d M
b k
a
k R
b) (d1) trùng với (d2) <=>
2
1 d M
b k
a
c) (d1) cắt (d2) khi hệ sau có đúng 1 nghiệm (t1; t2)
x1+ a1t1 = x2 + b1t2
Trang 2y1+ a1t1 = y2 + b2t2 (I)
z1+ a3t1 = z2 + b3t2
d) (d1) , (d2) chéo nhau khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm và ak b
4 Vị trí tương đối của đường và mặt
Cho mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
Và đường thẳng (d) có phương trình
x = x0 + ta1
y = y0 + ta2
z = z0 + ta3 Xét phương trình ẩn t
A(x0 + ta1) + B (y0 + ta2) + C(z0 + ta3) + D = 0 (1)
Ta có 3 trường hợp:
a) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (d) và () không có điểm chung => (d) // ()
b) Nếu phương trình (1) có 1 nghiệm t = t0 thì (d) cắt () tại điểm
M0(x0+t0a1); y0 + t0a2; z+t0a3)
c) Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì (d) thuộc ()
Trang 3B) Các dạng bài tập
I) Viết phương trình đường thẳng.
Dạng 1: Đi qua 1 điểm và véc tơ chỉ phương cho trước
Cách giải: - Xác định véc tơ chỉ phương
- Chọn 1 điểm đi qua
- áp dụng công thức
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) là giao của hai
mặt phẳng () và ()
Cách giải: Xem ví dụ
Bài tập: Cho (): x + y + 2z = 0
(): x - y + z + 1 = 0
Do M thuộc giao tuyến của () và ()
=> Toạ độ M thoả mãn hệ sau:
x + y + 2z = 0 (I)
x - y + z + 1 = 0 Chọn z = t => x + y = -2t
x - y = 1 - t
=> x = 3t
2 2
1
y = 2 2
1 t
=> Phương trình tham số của (d) là:
x = 2t
3 1
1
y = 2 2
1 t
z = t Cách 2: Tìm 2 điểm thuộc hệ (I)
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và cắt hai
đường thẳng (d1) và (d2) cho trước
Trang 4Cách giải: d là giao của (1) và (2)
với (1) đi qua A và chứa (d1) (2) đi qua A và chứa (d2) (Nếu véc tơ chỉ phương của d cùng phương với VTCP của d1
(hoặc d2 ) thì d không thoả mãn yêu cầu bài toán)
Dạng 4: Đường thẳng (d) đi qua 1 điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1,
d2 cho trước(u1,u2 không cùng phương)
Cách giải: (d1) có VTCP u1
(d2) có VTCP u2
=> (d) có VTCP uu1;u2
Mà (d) qua A
áp dụng công thức để viết phương trình
Dạng 5: Đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (d1) và cắt (d2)( u1.u20)
Cách giải: - Viết PT () đi qua A và vuông góc với d1
- Xác định giao điểm B=()d2
- Đường thẳng d đi qua A và B.
II) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
A) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
- Xác định VTCP u1và u2
- Nếu u1 = ku2thay M1 vào d2 nếu thoả mãn => d1 d2
- Nếu M1 d2 => d1 // d2
- Nếu u1 ku2Giải hệ (I) nếu có 1 nghiệm thì d1 cắt d2 Nếu
hệ (I) vô nghiệm thì d1 chéo d2
B) Hai đường thẳng chéo nhau và bài tập liên quan.
Bài toán: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường đó
Trang 5Cách giải: d1 có VTCP u1
d2 có VTCP u2
+ Lấy M1 thuộc d1, M2 thuộc d2 (có chứa tham số)
+ Giải hệ: M1M2 u1 = 0
M1M2 u2 = 0 => t1, t2
=> M1 ; M2
- Đường thẳng đi qua M1M2 là đường vuông góc chung
- Độ dài đoạn M1M2 là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
III) Hình chiếu vuông góc.
Dạng 1: Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)
Cách giải: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P)
(d) cắt (P) tại điểm H => H là điểm cần tìm
Dạng 2: Hình chiếu vuông góc (d1) của đường (d) nên mặt (P)
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và (Q)(P)
- (d1) là giao của (Q) và (P)
Dạng 3: Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng (d).
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và (P) vuông góc với (d)
- Xác định giao điểm H của (P) và (d) => H là điểm cần tìm
IV) Khoảng cách.
Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.
Cách giải: áp dụng công thức
Dạng 2: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Cách giải: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của mặt này đến mặt kia
Dạng 3: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
Cách giải:
Trang 6- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (P) (d)
- Tìm giao điểm H của (P) và (d)
=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) là đoạn AH
Dạng 4: Khoảng cách từ đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//(P)
Cách giải: - Lấy M0 d
- Tính khoảng cách h từ M0 đến (P)
=> h là khoảng cách cần tìm
Dạng 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d2) và (P) song song với d1
- Lấy M1 thuộc (d1)
- Tìm khoảng cách từ M1 đến (P)
Trang 7C) Các bài tập luyện tập:
Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm.
A(1; 0; -1) và B(2;-1; 3)
Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M0 (2;1;3) và có véc
tơ chỉ phương u( 1; 2;5)
Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-2;1;0) và vuông góc
với mặt phẳng x + 2y - 2z = 0
Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (4;3;1) và song
song với đường thẳng x = 1 + 2t
y = -3t
z = 3 + 2t
Bài tập 5: Viết phương trình tham số của (d) biết (d) là giao của 2 mặt
phẳng (P) và (Q) Với (P): x - 2z - 3 = 0
y + 2z + 2 = 0
Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai
đường thẳng
3 2
2 1
x
(d2): x = 1 + t
y = 0 - t
z = 1 - t
Bài tập 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc O và cắt hai đường thẳng
d1 y = 2 + t (d2) y = -3 + 2u
Bài tập 8:
1) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (1;2;3) vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2)
Với (d1) x = -1 +3t (d2) x = 2t
y = -3 - 2t y = -4 + 3t
Trang 8z = 2 - t z = 12 - 5t 2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;1;-2) song song với (P) và vuông góc với (d)
2 1
1 2
x
(P): x - y - z - 1 = 0
Bài tập 9: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1; 1) và vuông góc
với (d1) và cắt (d2) biết
2 3
x
(d2) z t
t y x
1 1
Bài tập 10: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (3; -2; -4) và
song song với mặt phẳng (P): 3x - 2y - 3z - 7 = 0 và cắt đường thẳng (d1) biết (d1) có phương trình
Bài tập 11: Xét VTTĐ của 2 đường thẳng sau.
a) (d1) x = -3 + 2t (d2) x = t’
b) (d1) x = 1 + 2t (d2) x = 2 + u
Bài tập 12: Cho d1, d2 có phương trình
(d1) x = 5 + 2t1 (d2) x = 3 + 2t2
a) Chứng minh rằng (d1) // (d2)
Trang 9b) Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều (d1); (d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1), (d2)
Bài tập 13: Cho (d1), (d2) có phương trình
(d1) x = 1 - t1 (d2) x = 2t2
y = t1 y = 1 + t2
a) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song, cách đều (d1), (d2)
Gợi ý câu b: Viết đường vuông góc chung của d1, d2
Tìm I là trung điểm của đoạn vuông góc chung đó
(P) đi qua I (P) có nu1;u2
Bài tập 14: Cho (d1), (d2) có phương trình
4 1
2 2
x
(d2): x = -1 + t
y = - t
z = -2 + 3t a) Chứng minh rằng (d1), (d2) cắt nhau tại I
b) Viết phương trình đường phân giác của (d1), (d2) sao cho IA = IB Xác định M là trung điểm đoạn AB Viết đường phân giác1 đi qua I và M Viết đường phân giác 2
Bài tập 15: Cho (d1), (d2) có phương trình cho bởi
x = -7 + 3t1 x = 1 + t2
d1 y = 4 - 2t1 d2 y = -9 + 2t2
z = 4 + 3t1 z = -12 - t2 a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường
c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Trang 10Bài tập 16: Cho (d1), (d2) có phương trình.
x = 1 - t1 x = 2 t2
d1 y = t1 d2 y = 1 + t2
a) Chứng minh rằng (d1) chéo (d2)
b) Viết mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lượt chứa (d1), (d2)
Bài tập 17: Cho d1, d2 có phương trình
d1 y = -1 + t1 d2 y = 1 + t2
a) Chứng minh rằng (d1) (d2) chéo nhau
b) Viết mặt phẳng (P) chứa (d1) và // (d2)
c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài tập 18: Xét VTTĐ của (d) và (P) biết:
a) x = 1 + t (P) x - y + z + 3 = 0
(d) y = 3 - t
z = 2 + t b) (d) x = 12 + 4t (P) y + 4z + 17 = 0
y = 9 + t
z = 1 + t c) (d) x = t (P) x + y - 2 = 0
y = 1
z = 2 - t
Bài tập 19: Cho (P) và đường thẳng (d) biết (P): 2x + y + z = 0 và (d):
3
2 1
2
1
x
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
b) Lập (d1) qua A, (d1) vuông góc với (d) và (d1) mằm trong (P)
Trang 11(dm) là giao của 2 mặt phẳng.
(xm): (2m + 1)x + (1 - m)y + m - 1 = 0
(m): mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
Xác định m để (dm) // (P)
Bài tập 21: Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (d1) của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) trong các TH (d) và (P) có phương trình như sau:
a) x = 3 + t (P): x + y + z - 3 = 0
(d) y = 2 t
3
z = t
1 3
4
x
(P): x - y + 3z + 8 = 0 c) (P): 2x - z + 7 = 0
(d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (1): 3x - y + z - 2 = 0 và (2): x+4y-5 =0
Bài tập 22: Cho A = (1,2,3) xác định hình chiếu vuông góc của A lên 3
trục ox, oy, oz
Bài tập 23: Cho A = (1, 2, -1) và đường thẳng (d) có phương trình:
x = 2t + 1
y = 2 + t
z = -3 + 3t Xác định toạ độ hình chiếu của A lên (d) từ đó tìm toạ độ điểm A’ đối xứng qua d
Bài tập 24: Cho A(2,1,-3) và đường thẳng (d) có phương trình:
1
3 2
2 1
1
x
Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d), từ đó tìm A’, đối xứng với A qua d
Bài tập 25: Lập phương trình đường thẳng qua A (3, 2, 1) và vuông góc
với đường thẳng (d) 1
3 4
2
y z x
và cắt với đường thẳng đó
Trang 12Bài tập 26: Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
a) A = (1, 2, 3) b) A = (1, 2, -1)
Bài tập 27: Cho (): 3x - 2y - z + 5 = 0
3 1
7 2
x
a) Chứng minh rằng: () // ()
b) Tính khoảng cách từ () đến ()
Bài tập28: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) biết:
(d1): x = 1 + 2t (d1): 1
3 1
2 1
x
y = -1 - t
z = 1
2 3
1 2
x
(d2): 55
a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)