De thi hsg mon toan tinh QT 0809

Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD... Hai đường chéo AC và BD[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2008 – 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (5 điểm)

Cho biểu thức

A

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

3

   

   

Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1 1

M

x y

 

Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình :

2

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

b) Giải phương trình

Bài 5 (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và ABBD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG

b) Chứng minh GF  EF

HẾT

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9

NĂM HỌC 2008-2009

Giải Bài 1 (5 điểm)

Cho biểu thức

A

c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

d) Rút gọn biểu thức A

Điều kiện : x0;x4;x9

=

=

=

=

3

A

x



Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

3

   

   

Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

, k2 4 0 k2 4(*)

Khi đó ta có :

1 2

1 2

2 4

x x

 







 

2

1 2 1 2

2

2 2

2 2

2

2

3 2 3

(**)

k k

k

k k

k

  

 

  

 

 



Kết hợp (*) và (**) ta có :

4

2

k k

k





   



Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa :

3

   

   

    thì : 2

Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1 1

M

x y

 

Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0

 x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0

 (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0

 (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)

       

     

2

2

V x 1 – x 1 y 1 y 1 1

= 1 1 1 1 0

ì

Nên (*) x + y + 2 = 0  x + y = - 2

Ta c : ó M x y

x y xy xy

vì  



Vậy MaxM = -2  x = y = -1

Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình :

2

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

b) Giải phương trình

a) điều kiện : 0 x 4

Đặt 4 2 x = a ; 4 2 x = b ( a ; b  0)

     

   

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

8

Ta c :

2

8

8

8

(I)

a b

a b

a b

a b

a b ab

















 





 



Vì ab + 4 > 0 nên :

   

2

2

2

2 2

2

2

1 3 (loai v a 0)

ab

a b ab I

a b

a b

b

a

x



 















Bài 5 (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và ABBD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG

d) Chứng minh GF  EF

ABCD : AB // CD ; CD > AB ;

ABBD

ABBD; AG = CE ; BG = DF

Chứng minh :

a) FDG ~ ECG

b) GF  EF

Chứng minh :

a) Ta có AB // CD

BG GD

AG GC

, mà AG = CE ; BG = DF

DF GD

CE GC

Xét FDG và ECG có :

DF GD

GDF GCE

CE GC    FDG ~ ECG ( c-g-c) b) Ta có FDG ~ ECG  GFD GEC   GFCE nội tiếp  GCE GFE  cùng chắn GE

mà GCE  900 GFE  900  GF FE

\\

X F

E

G B A