ON TAP CHUONG III Day so Cap so cong Cap sonhan

Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tổng của chúng bằng 300.[r]

ÔN TẬP CHƯƠNG III (Dãy số -Cấp số cộng –Cấp số nhân)

<Đại số & giải tich lớp 11 nâng cao 2008-2009>

I.Phần lý thuyết :

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Để CM một mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng n N* bằng phương pháp quy nạp ta tiến hành 3 bước

Bước 1: CM : A(n) là mệnh đề đúng khi n=1

Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ n=k (1nk) ta CM nó cũng đúng với n=k+1

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n1; n N*

Chú ý: Trong tường hợp phải CM một mệnh đề đúng với np (pN*)

Bước 1: CM: mệnh đề đúng với n=p

Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với tự nhiên n=k (kp) ta CM nó đúng với n=k+1

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng np; nN*

Bài 2: Dãy số

1.Định nghĩa:

a, mỗi hàm số u, xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn (dãy số)

u: N* R

n U(n) Đặt U(n)= U n gọi là số hạng tổng quát của dãy

b, với mỗi hàm số u xác định trên M={1,2,3,…,m} mN* gọi là dãy hữu hạn

2 Cách cho 1 dãy số

_ Bằng công thức của số hạng tổng quát

_ Bằng phương pháp mô tả

_ Bằng công thức truy hồi

_ Bằng cách diến đạt bằng lời

3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy không đổi

_ Định nghĩa

_ Phương pháp khảo sát tính tăng giảm, không đổi

 xét hiệu H= U n1-U n

+ Nếu H>0nN* thì dãy tăng

+ Nếu H<0nN* thì dãy giảm

+ Nếu H=0nN* thì dãy không đổi

 Nếu U n>0 nN* Lập tỉ số

1

n n

U U



+ Nếu

1

n n

U

U



>1 nN* thì dãy tăng + Nếu

1

n n

U

U



<1 nN* thì dãy giảm + Nếu

1

n n

U

U



=1 nN* thì dãy không đổi

4 Dãy số bị chặn:

a, ĐN: _ Dãy số bị chặn trên

_ Dãy số bị chặn dưới

_ Dãy số bị chặn

b, Xét tính bị chặn

B1, chỉ ra dãy bị chặn trên bởi số M

B2, chỉ ra dãy bị chặn dưới bởi số m

B3, Kết luận

Bài 3: Cấp số cộng

1.ĐN: U n là cấp số cộng khi và chỉ khi n2 : U n=U n1+d

Số không đổi d gọi là công sai

2 Tính chất: U k= k 12 k 1

U  U 

(k2)

3 Số hạng tổng quát

U n=U1+(n-1)d (n2)

4 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

S n=U1+U2+U3+…+U n

S n=2n[U1+U n]=2n[2U1+ (n-1)d] nN*

Bài 4: Cấp số nhân

1 Định nghĩa: (U n) là cấp số nhân  n2: U n=U n1.q

2.Tính chất: U k2=U k1.U k1 (k2)

3 Số hạng tổng quát của cấp số cộng (q0)

U n=U1.q n 1

4 Tổng n số hạng đầu tiên (q1)

S n=

1

n

q





Chú ý: Khi q=1 thì S n= n U1 (vì q=1 thì U1=U2=….=U n)

II Phần bài tập:

Bài 1: CMR với mọi số nguyên dương n ta có:

a, 3 + 9 + 27 + … + 3n=

1

2 (3n1

-3)

b, (3.12 + 3.1 + 1) + (3.22+ 3.2 + 1) +…+(3 n2+ 3n + 1) = (n 1)3-1

Bài 2: CMRnN* thì số (7n + 3n-1) chia hết cho 9

Bài 3: CMRnN* ta luôn có:

1

2.

3

2

n n



<

1

2n 1

Bài 4: Cho dãy (U n) với U n=1 + (n-1) 2n

a, Viết 5 số hạng đầu của dãy

b, Tìm công thức truy hồi

c, CM dãy số trên tăng và bị chặn dưới

Bài 5: Tìm x từ phương trình

a, 1 + 6+ 11 + 16 +…+ x = 970 biết 1;6;11;…;x là cấp số cộng

b, (x + 1) + (x + 4) + …+ (x + 28)= 155 biết 1;4;7;…;x là cấp số cộng

Bài 6: Cho dãy (U n) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó ký hiệu S n được tính theo công thức:

n

S =n(7 3 )2 n



a, Hãy tính U1,U2,U3

b, Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (U n)

c, CMR dãy (U n) là cấp số cộng

Bài 7: Viết 6 số xen giữa 2 số -2 và 256 để được 1 cấp số nhân có 8 số hạng Nếu viết tiếp thì số hạng

thứ 15 bằng bao nhiêu?

Bài 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy (U n) biết (U n) được xác định bởi

0

1

2 3

U

U

U  U U 











Bài 9: Dãy (U n) được xác định bởi

U  U U 





 (n2) ; nN*

a, CMR dãy (V n) với V n=U n1-U n lập thành cấp số nhân

b, Lập công thức tính U n theo n

c, Tính tổng S n=U1+U2+U3+…+U n

Bài 10: Cho 3 số khác nhau có tổng bằng 13, theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời chúng lần

lượt là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của cấp số cộng Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tổng của chúng bằng 300