II) Các bài toán bắt buộc: (8,0 điểm). Cho một nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Từ B, ta vẽ một cát tuyến cắt nửa đường tròn tại C và cắt tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại P.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 2
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Năm học 2004 – 2005
Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 14/7/2004
I) Lí thuyết: (2,0 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau để làm bài.
Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng: Cho hàm số bậc nhất y3x 5 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y khi 1 x 2.
Đề 2: Viết công thức tính độ dài của một đường tròn, độ dài của một cung tròn.
Áp dụng: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (B là điểm nằm giữa hai điểm A và C) Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn có đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB và BC
II) Các bài toán bắt buộc: (8,0 điểm).
Bài 1: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng :
1
2 1 1
2 1
2
2
a a
a a
a a
a
a
với a > 0; a 1.
Bài 2: (2,5 điểm).
Cho parabol (P) có phương trình y x 2 và đường thẳng (D) có phương trình y2x m 2 1
a) Chứng minh rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Ký hiệu xA , xB lần lượt là hoành độ của điểm A và điểm B Hãy xác định giá trị của tham số
m sao cho ta có: x2A x2B 10.
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho một nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Từ B, ta vẽ một cát tuyến cắt nửa đường
tròn tại C và cắt tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại P.
a) Chứng minh tích BC BP không đổi
b) Trong trường hợp BP = 2AP, hãy tính diện tích của hình được giới hạn bởi PA, PC và cung AC
Bài 4: (1,0 điểm).
Tính: 3 2014 2 3 20 14 2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
-I) Lý thuyết: ( 2,0 điểm)
(đúng định nghĩa cho 0,5 điểm, đúng mỗi tính chất cho 0,25 điểm)
( Xem SGK Đại số 9 - Trang 40, 41)
Áp dụng:
Hàm số bậc nhất yf x( ) 3 x 5 có hệ số a = 3 > 0 nên nó là hàm số đồng biến trong tập xác
Do đó: khi 1 x 2 thì f(1) f(x) f(2) (0,25 điểm).
Mà f(1) = 3 1 – 5 = – 2; f(2) = 3 2 – 5 = 1
Từ đó suy ra min y = – 2 , max y = 1 khi 1 x 2 (0,25 điểm).
Đề 2:
Độ dài C của một đường tròn bán kính R là: C = 2R (0,5 điểm).
Độ dài l của một cung tròn có số đo n0 là: 180
Rn
l
(0,5 điểm).
(Nếu viết đúng công thức mà không nói rõ các ký hiệu trong công thức thì mỗi công thức trừ 0,25 điểm)
Áp dụng:
Gọi C1 , C2 , C3 lần lượt là độ dài của nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC
Ta có: C1 = 2
1
AC, C2 = 2
1
AB, C3 = 2
1
C2 + C3 = 2
1
AB + 2
1
BC = 2
1
(AB + BC)
Do B nằm giữa hai điểm A và C nên AB + BC = AC
Vậy C2 + C3 = 2
1
II) Các bài toán bắt buộc: ( 8,0 điểm).
Bài 1: ( 1,5 điểm).
a a
a a
a
1
2 1
2
a a
a
a a
1 1
2 1
2
2
(0,5 điểm).
=
a a
a
a a
a
1
1
1 2
1 2
2
(0,5 điểm).
= a a
a
1
2
2
Bài 2: ( 2,5 điểm).
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là:
x2 2x m 2 x1 2 2x m ( 21) 0 (1) (0,5 điểm).
Trang 3Ta có: = 1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 , m
(1) luôn luôn có hai phân biệt với m (0,25 điểm).
Do đó (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B (0,25 điểm).
b) Vì xA, xB lần lượt là hoành độ của điểm A và điểm B nên xA, xB là hai nghiệm của (1)
Do đó xA + xB = 2 ; xA xB = – (m2 + 1) (0,5 điểm).
Vậy: x A2 x B2 = 10 (x
A + xB)2 – 2 xA xB = 10 4 + 2(m2 + 1) = 10
Kết luận: Giá trị cần tìm của m là m 2 (0,25 điểm).
Bài 3: ( 3,0 điểm).
C
P
O
a) Chứng minh BC BP không đổi:
Ta có ACB900 nên AC là đường cao của tam giác vuông BAP
(0,5 điểm).
Do đó BC BP = AB2 = 4R2
BC BP không đổi (đpcm) (0,5 điểm).
b) Diện tích S của hình được giới hạn bởi PA, PC và cung AC bằng hiệu của diện tích tam giác APB với tổng diện tích quạt tròn AOC và tam giác BOC
(0,25 điểm).
Khi BP = 2AP thì BAP là nửa tam giác đều có cạnh là BP
Suy ra PBA300 và AOC 600 nên AC = R (0,25 điểm).
+ Tam giác APB có: AB = AP 3 3
2R
AP
(0,25 điểm).
3 2
2
AP
(0,25 điểm).
+ Diện tích quạt tròn AOC là 6
2
R
(0,25 điểm).
+ Diện tích BOC bằng 2
1 diện tích tam giác vuông ABC
Mà ABC là nửa tam giác đều cạnh AB nên diện tích BOC là:
8
3
2
1 AB2
= 4
3
2
R
(0,25 điểm).
4
3 6
3
3
2R2 R2 R2
=
12
2 3 5
R
(0,5 điểm).
Chú ý: Nếu thiếu hình vẽ hoặc hình vẽ sai, không phù hợp với lời giải thì không chấm
Bài 4: ( 1,0 điểm).
Đặt u3 20 14 2 , v3 20 14 2 và y uv
Ta có: y3(u v )3 u3v33 (uv u v ) (1) (0,25 điểm).
Mà u3v3 = 20 + 14 2 + 20 – 14 2 = 40
Trang 4uv3 400 2.142 2
Nên (1) y3 – 6y – 40 = 0 y3 – 64 – 6y + 24 = 0 (y3 – 43) – 6(y – 4) = 0
(y – 4).(y2 + 4y + 10) = 0 y = 4 (0,5 điểm).
-oOo -Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình đều cho điểm tốt đa.