Mức độ Chủ đề Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng... Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB.. Tiếp tuyến tại
Trang 1I LẬP BẢNG MA TRẬN ĐỀ
Mức độ
Chủ đề
Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng
Trang 2Câu 1: (4điểm)
Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x - 2 xy 3y 2 x 2008,5 + − +
Câu 2: (4 điểm)
Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng:
(a + b)2 ≤ 4
Câu 3: (3điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x + y + xy− x y+ + =
Câu 4: (4điểm)
Chứng minh đẳng thức:
4 4
1 2
a abc
+ −
=
−
với a > 0, b > 0 và abc >2
Câu 5: (5điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E
a) Chứng minh rằng: ∆DOE là tam giác vuông
b) Chứng minh rằng: AD BE = R × 2
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 3Cõu Nội dung Điểm
1
( ) ( ) ( )
2
2 2
Đặt x a; y b với a, b 0, ta có:
P = a 2ab 3b 2a 2008,5
= a 2a b 1 3b 2008,5
= a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5
= a - b -1 2 b b 2007,5
a - b -1 2 b b 2007,5
1
a - b -1 2 b
2
2007 2007 1
Vì a - b -1 0 và b 0 a, b.
2
3
2 Nên P = 2007 1
1 b
b 2
2
Vậy P đạt GTNN là 2007
≥
=
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2
Ta cú:
a3 + b3 > 0 ⇒ a3 > –b3 ⇒ a > – b ⇒ a + b > 0 (1)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ⇒ (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 ⇒ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇒ 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b)
⇒ 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3⇒ 8 ≥ (a + b)3 ⇒ a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 0 < a + b ≤ 2
=> (a + b)2 ≤ 4 (đpcm)
0.5 1 1 1 0.25 0.25
3 + Phương trỡnh đó cho tương đương với:
⇔ + − = − (*)
+ Pt (*) cú nghiệm nguyờn khi (8 – 2y2 ) ≥ 0 và (8 – 2y2 ) là số chớnh phương
<=> y∈Ζ và y ≤ 2⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 }
1
1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MễN THI : TOÁN
Trang 4Mà (8 – 2y2 ) phải là số chính phương nên y ∈{-2,2}
- Với y = -2 => x = 11
- Với y = 2 => x = 7
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (11,-2) và (7,2)
1
4
Chứng minh đẳng thức:
4 4
1 2
+ −
=
−
với a > 0, b > 0 và abc >2
VT =
4 4 2
abc
+ −
−
=
4 4
2
a abc
+ −
−
2
2
a abc
−
−
2
2
5
Ýa, + Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM Tương tự: OE
là tia phân giác góc MOB
+ Mà ·AOM và MOB· là hai góc kề bù, nên DOE· = 90 0 Vậy tam giác DOE vuông tại O
Ý b)
+ Tam giác DOE vuông tại O và OM ⊥ DE nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: DM EM× =OM2 =R2 (1)
+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2)
+ Từ (1) và (2) ta có: DA EB R× = 2
Ý c)
+ Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:
2
+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H) Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM ⊥AB) Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: 2
0 2
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối
đa
0.5
1
0.5
0.5
0.5 0.5
1
0.5
Người ra đề: Đào Xuân Diệp.
Đơn vị: Trường THCS Trung Hà.
