De HSG lop 9 V2 20192020

Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE.. Gọi I là trung điểm của DE.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019-2020

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4 điểm):

a) Tìm x, y nguyên biết: 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

4 6 8  (2 )n  4

Bài 2 (4 điểm):

a) Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + 1  x.y + x + y (với mọi x; y) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 2

2 2 3









x x x x

Bài 3 (2 điểm):

a) Tìm số m, n để: x (x −1)1 = m

x − 1+

n

x với mọi x 0, x 1 b) Rút gọn biểu thức:

M =

1

a2− 5 a+6+

1

a2−7 a+12+

1

a2− 9 a+20+

1

a2−11a+30

Bài 4 (4 điểm):

a) Cho ba số a, b, c thỏa mản

  





a b c 2019; Tính A  a4  b4  c4

b) Cho phương trình

3

dương.

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia

đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

Bài 6 (2 điểm): Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166

10

Hết

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

VÒNG 2

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 2 MÔN TOÁN (2019-2020)

Bài 1 (4 điểm) mỗi câu 2 điểm:

Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

=>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=>

55

2 1

3 2

x

y



 

 (1)

Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55

    +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28

+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y =

7

3 (Loại) +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =

13

3 (Loại) +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

1

3 (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5

+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2

+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =

53 3



(Loại) Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là

(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)

b/ Chứng minh rằng :

A

n

(2.2) (2.3) (2.4) (2 )

A

n

A



A



1

A

n

   

Bài 2 (4 điểm):

a) Ta có x2 + y2 + 1  x y + x + y  x2 + y2 + 1 - x y – x - y  0

 2x2 +2y2 + 2 - 2xy - 2x - 2y  0

 ( x2 + y2 - 2xy) + ( x2 + 1 - 2x) + ( y2 + 1 - 2y)  0

 (x - y)2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2  0

Bất đẳng thức luôn luôn đúng

3 ) 2

1 (

1 1

1 )

2 )(

1 (

2

2 2

2





















x x

x x

x x x

Vậy Amax  [ ( x+ 4]

3 ) 2

1 2



min  x+ 2

1

= 0 → x = - 2

1

Amax là 3

4

khi x = -1/2

Bài 3 (2 điểm):

a) m =1 ; n = -1

b) Viết mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức

1

a2− 5 a+6=

1

a −3 −

1

a −2

1

a2− 7 a+12=

1

a − 4 −

1

a− 3

1

a2− 9 a+20=

1

a − 5 −

1

a − 4

1

a2− 11a+30=

1

a −6 −

1

a −5

M = a− 61 − 1

a −2=

4 (a − 2).(a −6)

Bài 4 (4 điểm)

a) Cho ba số a, b, c thỏa mản

  





a b c 2019; Tính A  a4  b4  c4

Ta có

2 2 2

a b c  a b c  2 abbcca 2 abbcca

2

2

a b b c c a ab bc ca 2abc a b c

2 2

2

2) Điều kiện: x2; x2

2x m x 1

3 x 1 m 2m 14

x 2 x 2

 m = 1 phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm

 m  1 phương trình trở thành

2m 14 x

1 m







Phương trình có nghiệm dương

2m 14

2

1 m

2m 14

2

2m 14

0

1 m







 



















 



Vậy thỏa mản yêu cầu bài toán khi









Bài 5 (4 điểm): Kẻ DF//AC (F thuộc BC)

=> DF = BD = CE và góc FDI = góc CEI

=> IDF = IEC ( c.g.c )

=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng

=> B, I, C thẳng hàng

Bài 6 (2 điểm):

Ta có:

x 241 x 220 x 195 x 166

10

x 258 x 258 x 258 x 258

0

17 19 21 23

x 258

Vậy phương trình có nghiệm x = 258

(Thí sinh giải cách khác đúng vẩn đạt điểm tối đa).