Vì (2) luôn đúng với mọi số thực không âm, nên BĐT đã cho đúng.. Chứng minh rằng:..[r]
Trang 110 BÀI 5 VÀO 10 THU GỌN 18
1.a)Cho a, b > 0 và ab >1 Chứng minh rằng: 2 2
1 a + 1 b � 1 ab
b) Chứng minh rằng:
1 a + 1 b + 1 c � 1 ab + 1 bc + 1 ca
5
(1 điểm)
a (0,25 điểm)
Ta có: 2 2
1 a + 1 b � 1 ab
2 2
2 2 2 2
2
a b
ab a b
۳
b (0,75 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
1 a + 1 b = 1 a + 1 b + 1 b � 1 a b + 1 b � 1 ab
Tương tự: 4 4 3
1 b + 1 c � 1 bc
4 4 3
1 c + 1 a � 1 ca
Từ đó suy ra
1 a + 1 b + 1 c � 1 ab + 1 bc + 1 ca
0,25
0,25
Trang 2Dấu bằng xảy ra khi a = b = c >1
0,25
2. Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh:
a) (a b)(a c) + + � ab + ac .
b)
1
5
1,0đ
a) (0,25 điểm)
2
a + ac ab bc ab ac 2a bc + + + +
2
(luôn đúng)
b) (0,75 điểm)
Lập luận tương tự có
;
0,25
Cộng theo từng vế của ba BĐT cùng chiều
Trang 3Ta có BĐT được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
(không nhất thiết phải chỉ ra dấu bằng).
0,25
3 a) Chứng minh rằng a ab b2 2 1(a2 ab b2)
3
với mọi giá trị của a, b
b) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a3
a2
+ab+b2
+
b3
b2
+bc+c2
+
c3
c2
+ac+a2
¿
a +b+c
3
Bài 5
(1,0điểm)
a)(0,25đ)
1
3
2 a 2ab b 0
a b- 0
Đẳng thức xảy ra khi a = b
0.25
b)(0,75đ)
Ta có (a b- ) (+ -b c) (+ -c a)=0
nên
0,25
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
2P
Theo kết quả câu a ta có
1
3 1
3 1
c ca a c ca a
3
2P
1
c a c ca a 3
c ca a
+
+ +
=>
a3
a2
+ab+b2
+
b3
b2
+bc+c2
+
c3
c2
+ac+a2
¿
3
Bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c
0,25
0,25
4. a) Chứng minh rằngvới mọi số thực x, y không âm ta có: 2
x y
xy +
�
b) Chứng minh: ( ) ( )
2
với a,b,c là các số dương
Trang 5a) 2 (1) 2
x y
xy+�� + xy x y
x y+ - xy
2
( x- y) 0
Vì (2) luôn đúng với mọi số thực không âm, nên BĐT đã cho đúng Dấu “=”
xảy ra khi x = y
0,25
b) Ta có:
(1)
a a + 3b b b + 3c c c( 3 )a = 4a a + 3b 4b b + 3c 4 (c c 3 )a
Áp dụng bất đẳng thức ở câu a cho các số dương 4a,a + 3b, 4b, b + 3c,4c,
c+3a ta được:
4a + (a + 3b) 5a + 3b
4b + (b + 3c) 5b + 3c
4 + (c + 3a) 5c + 3a
c
=
�
=
�
=
�
0,25
Từ (2), (3) và (4) suy ra:
4a a + 3b + 4b b +3c + 4 (c c+3 ) 4a + 4b + 4c (5)a �
Từ (1) và (5) với điều kiện các số a,b,c đều dương ta suy ra:
4a + 4b + 4c 2
0.25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a a b
b b c a b c
c c a
= +
�
� = + � = =
�
� = +
5. a)Cho x, y, z làbasốdương Chứng minh rằngx2 +yz 2x yz� .
Dấu “=” xảy ra khi nào?
b)Cho x, y, z là basốdươngthoảmãn x + y + z =2018 Chứng minh rằng:
Trang 6x y z
1
5
(1,0 điểm)
a (0,25 điểm)
a) Ta có
luôn đúng với mọi x, y, z và yz > 0 Dấu “=” khi x2 = yz.
0,25
b (0,75 điểm)
Ta có: 2018x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz+ +
�
(theo câu a)
x+ 3x yz+ � x ( x + y+ z )
Tương tự ta có:
y y
Từ (1), (2), (3) ta có
1
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
0,25
0,25
0,25
Trang 76. a) Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) (b + 2a)2
b) Cho a, b ,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:
3
�
a (0,25 điểm)
3(b2 + 2a2) (b + 2a)2 � 3b2 + 6a2 � b2 + 4ab 4a + 2
� 2(a b) - 2 � 0 "a b ;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
0,25đ
b (0,75 điểm)
Theo câu a)
b 2a
3
(1)
+
0,25đ
Chứng minh tương tự:
(2)
(3)
0,25đ
Cộng (1), (2) và (3) vế với vế ta được
3
�
0,25đ
7. a) Cho a, b > 0 Chứngminha b+ �2 ab
b) Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
3
x y z
4 + + =
Chứng minh rằng:
Trang 8( 2 2 2) ( ) 1 1 1
2x y z x 2y z x y 2z
a) Cho a, b > 0 Chứngminha b+ �2 ab
Với a, b > 0 nên ta có : ( )2
a- b � � a- ab b+ � �a b+ � ab
Dấu“ = ” xảyrakhivàchỉkhi a = b
0,25
b)
Đặt
3 4 2
3 2
4
4
a b c x
x y z a
b a c
z
-� =
� + + =
-Do x, y, z dương và
3 4
x y z+ + =
nên a,b,c dương và a b c+ + =3
Ta có: a2+b2 +c2 = 6(x2 +y2 +z2)+ 10(xy yz zx+ + )
Khiđó :
2
T x y z xy yz zx
x y z x y z x y z
= + + + � + + �= + + + + + + + +
�
Dấu
1
4
0,25
0,25 0,25
8. a) Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: (a b+ )2 �2(a2+b2)
b)Cho các số thực dương x,y,z , thỏa mãn x+ y+ z =1
Chứng minh rằng :
1
x y z + y z x + z x y �
a Ta có (a b+ )2 �2(a2+b2) �a2 + 2ab b+ 2 � 2a2 + 2b2
Trang 92 2 2 0
a - ab b+
2
(a b- ) 0
� � luôn đúng với mọi a, b
Suy ra điều cần chứng minh
0,25
b Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có :
x y 2z (x z) (y z) x z y z x z z
Suy ra
2
+
Do đó
+
Tương tự
+
xy
+
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta được:
Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z =1/9
0,25
0,25
0,25
9. a) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y không âm ta có: 2
x y
xy +
�
b) Chứng minh rằng: ( ) ( )
2
+
với a, b là các số dương
Trang 10a)
(1) 2 2
x y
xy+�� + xy x y
x y+ - xy
2
Vì (2) luôn đúng với mọi số thực không âm, dấu “=” xảy ra khi x = y nên
ta có điều phải chứng minh
0,25
b) 0,75 điểm
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương 4a,a + 3b, 4b, b + 3a ta
được:
4a + (a + 3b) 5a + 3b
4b + (b + 3a) 5b + 3a
=
�
=
�
0,25
Từ (2) và (3) suy ra: 4a a + 3b( ) + 4b b +3a( ) �4a + 4b 4( )
Từ (1) và (4) với điều kiện các số a,b đều dương ta suy ra:
+
0,25
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
a a b
a b
b b a
= +
� = +
Vậy ta có điều phải chứng minh
0,25
10. a) Cho x,y,z >0 chứng minh rằng
x+ + �y z x y z
+ +
b) Cho x,y,z >0 thỏa mãn 2 2 2
1
x + y +z =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 11P= 2 2 2 2 2 2
5x 2xy 2y + 5y 2yz 2z + 5z 2xz 2x
a) Cho x,y,z >0 chứng minh rằng
x+ + �y z x y z
+ +
Ta có
3
1 1 1 1 1 1
3
x+ + �y z x y z
x y z+ + �33 xyz
x y z
0,25
b)cho x,y,z >0 thỏa mãn 2 2 2
1
x + y + z =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5x 2xy 2y + 5y 2yz 2z + 5z 2xz 2x
Ta có 5x2+2xy+2y2 = (2x y+ )2+ -(x y)2 �2x y+
Suy ra 2 2
( )
5x 2xy 2y � x y � x+ y
+
Tương tự
=> P=
5x 2xy 2y + 5y 2yz 2z + 5z 2xz 2x � x+ +y z = x+ +y z
x+ +y z � x + y + x =
=> P
3 3
� khi và chỉ khi x=y=z = 3
0.25
0.25
0.25
Chúc các em thành công !