Bài tập Giải tích 12 " Khảo sát hàm số"

Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định hoặc từng khoảng xác định của nó: -Bài 4... Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực tr

TRẦN SĨ TÙNG

›š & ›š

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y¢ Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = -2x2+4x+ 5 b) 2 5

x

y= + - x c) y x= 2-4x+ 3d) y x= 3-2x2+ - x 2 e) y=(4-x x)( -1)2 f) y x= 3-3x2+4x- 1

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y= -6x4+8x3-3x2- 1 b) 22 1

4

x y x

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, có tập xác định D

· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D

· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D

Từ đó suy ra điều kiện của m

00

a b c

a

éì = =í

00

a b c

a

éì = =í

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c + :

· Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

· Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

5) Để hàm số y ax= 3+bx2+cx d + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng

d thì ta thực hiện các bước sau:

· Biến đổi x1-x2 = thành d (x1+x2)2-4x x1 2=d2 (2)

· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

-=+

a) y= - +5x cot(x- 1) b) y=cosx x- c) y=sinx-cosx-2 2x

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

-Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y= - x + m- x + m+ x- đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Bài 5 Tìm m để hàm số:

3

x

y= + m+ x - m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +¥)

b) y x= 3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+ đồng biến trên khoảng (2; +¥) 2

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

· Xét dấu f¢ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

· Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b)

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

· Chọn được nghiệm x 0 của phương trình

· Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

ì = + + ï

ï = + + ỵ

HD: a, b) Xét hàm số f t( )= + + t3 t2 t c) Xét hàm số f(t) = tant + t

d) Xét hàm số f t( ) 6= t2-12 8t +

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Ỵ D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

· Tìm f¢ (x)

· Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

· Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

· Tính f¢ (x)

· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

· Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f¢¢ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f¢¢ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

=+ c) y e= x+4e-x

d) y x= 2-5x+ +5 2 lnx e) y x= -4sin2x f) y x= -ln(1+x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f¢ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

Bài 2 Tìm m để hàm số:

a) y=(m+2)x3+3x2+mx- có cực đại, cực tiểu 5

b) y = x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( - có cực đại, cực tiểu 1)

c) y x= 3-3mx2+(m2-1)x+ đạt cực đại tại x = 2 2

d) y= -mx4+2(m-2)x2+ - có một cực đại m 5 1

- có một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

-Bài 4 Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax= 3+bx2+cx d+ đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x = 13b) y ax= 4+bx2+ có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 c

+ đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Bài 5 Tìm m để hàm số :

a) y x= 3+2(m-1)x2+(m2-4m+1)x-2(m2+ đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao 1)

Bài 6 Tìm m để hàm số :

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y= - +x3 mx2- có hai điểm cực trị là A, B và 4 2 900 2

729

m

b) y x= 4-mx2+4x m+ có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ

O làm trọng tâm

- có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y=2x3+mx2-12x- có hai điểm cực trị cách đều trục tung 13

b) y x= 3-3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x= 3-3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x-2y+ = 8 0

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung)

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x= ( )=ax3+bx2+cx d +

· Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B

· Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

Þ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

P x y

-=-

Bài 2 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Bài 3 Tìm m để hàm số:

a) y=2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x- có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song 1với đường thẳng y = –4x + 1

b) y=2x3+3(m-1)x2+6 (1 2 )m - m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x= 3+mx2+7x+ có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc 3với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x= 3-3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D): 1 5

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x = f a a b f x = f b

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

· Tính f¢ (x)

· Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên

· Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

-=+ trên [0; 4]

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

x x

- +

=+ - trên [0; 1]

1

x y

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

· Chứng minh một bất đẳng thức

· Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức

Bài 1 Giả sử D={( ; ; ) /x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1}

Û 1 1 1 9

1-x+1-y x y+ + ³2

2 Dấu “=” xảy ra Û x = y = 13 Vậy minP = 52

Bài 4 Cho D = {( ; ) /x y x>0,y>0,x y+ ³4} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2 Vậy minP = 92

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m £ y 0 £ M (3)

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )

4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Û m ³ a

5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Û M £ b

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 4 Cho bất phương trình: x3-2x2+ - + < x 1 m 0

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx- x- £ + có nghiệm 3 m 1 b) (m+2)x m- ³ + có nghiệm x Ỵ [0; 2] x 1c) m x( 2- + £x 1) x2+ + nghiệm đúng với mọi x Ỵ [0; 1] x 1

1 Định nghĩa:

Điểm U x f x( 0; ( )0 ) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;

b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

-=+d) 22 1

=

Bài 5 Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) y x= 4-2x3-6x2+mx+2m- có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) 1

y= - x +mx + có điểm uốn ở trên Ox n

IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

= = là hàm số phân thức hữu tỷ

· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng

các công thức sau:

x

+

=-

Bài 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

x y

=

d) 2 22 3 3

=+ + -

Bài 6 Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

+

-=-

Bài 8 Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:

+

-=-

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

· Tìm tập xác định của hàm số

· Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y¢

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

· Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y¢¢

– Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba yy ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0):

· Tập xác định R = R

· Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

· Các dạng đồ thị:

3 Hàm số trùng phương y ax= 4+bx2+c a( ¹0):

· Tập xác định D = R

· Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

· Các dạng đồ thị:

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

· Các dạng đồ thị:

= - và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

· Các dạng đồ thị:

y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y¢ = vô nghiệm

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3-3x2-9x+ 1 b) y x= 3+3x2+3x+ 5 c) y= - +x3 3x2- 2d) y=(x-1) (42 - x) e) 3 2 1

x

-=-

1 2

x y

-=+

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+

-=+

-=+

Bài 5 Vẽ đồ thị của các hàm số:

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Û Phương trình ax3+bx2+cx d+ = có 3 nghiệm phân biệt 0

Û Hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y < 0

Bài 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

Bài 2 Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

f)

2 6 32

y x

y x

- cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

- cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 4 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= - + cắt nhau tại ba điểm phân biệt x 2

b) y mx= 3+3mx2- -(1 2 )m x- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 1

c) y=(x-1)(x2-mx m+ 2- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 3)

d) y x= 3+2x2-2x+2m-1; y=2x2- + cắt nhau tại ba điểm phân biệt x 2

e) y x= 3+2x2-m x2 +3 ;m y=2x2+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt 1

Bài 5 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4-2x2-1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4-m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4-(2m-3)x2+m2-3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài 6 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

Bài 7 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3-3mx2+6mx- cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp 8số cộng

b) y x= 3-3x2-9x+1; y=4x m+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC

c) y x= 4-(2m+4)x2+m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

d) y x= 3-(m+1)x2-(m-1)x+2m- cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập 1thành một cấp số nhân

e) y=3x3+(2m+2)x2+9mx+192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = m

· d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3)

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = kx + m

· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

· Dựa vào các tung độ gốc b, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = m(x – x0) + y0

· d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

· Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

y = kx

c

m (C)

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a) y x= 3-3x+1; x3-3x+ - = 1 m 0 b) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + = 1 0c) y x= 3-3x+1; x3-3x m- 2-2m- = 2 0 d) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + = 4 0

2

x

y= - + x + x - x - + m= f) y x= 4-2x2+2; x4-2x2- + = m 2 0

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

-Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x-3y= 0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x-2y= 0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

(1-m x) 2- -(1 m x) + = 1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx d + = (a 0 ¹ 0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d +

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

· Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm Û (C) và Ox có 1 điểm chung

êỵë

· Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

· Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

· Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

x (H.2)

Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2x3-3(m+1)x2+6mx- = 2 0 b) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m= 0c) 2x3-3mx2+6(m-1)x-3m+12 0= d) x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0e) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 f) x3-3mx+2m= 0

Bài 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:

a) x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2 (2m m- = b) 1) 0 x3-3mx+2m= 0

c) x3-(2m+1)x2+(3m+1)x m-( + = 1) 0 d) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m= 0

Bài 3 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- = 1) 0 b) x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0c) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 d) 1 3 0

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0( 0; ( )0 )

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là:

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M x y : 0( 0 0; )

· Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 )

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

· Tính y¢ = f¢ (x 0 ) Suy ra y¢(x 0 ) = f¢ (x 0 )

· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f¢ (x 0 )

· D có hệ số góc k Þ f¢ (x 0 ) = k (1)

· Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của D

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

ìíf x f x( )'( )=kx m k +

=

· Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của D

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:

+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana

+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm ( ; ) A x y A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y¢ 0 = f¢ (x 0 )

· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )

· D đi qua ( ; ) A x y nên: y A A A – y 0 = f¢ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)

· Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của D

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng D đi qua ( ; ) A x y và có hệ số góc k: y – y A A A = k(x – x A )

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y=3x3-x2-7x+ tại A(0; 1) 1 b) (C):y x= 4-2x2+ tại B(1; 0) 1

x y

x

+

=

- tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

d) (C):y=2x- 2x2+ tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung 1

e) (C): y x= 3-3x+ tại điểm uốn của (C) 1

f) (C): 1 4 2 2 9

y= x - x - tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:

Bài 11 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:

a) (C):y=2x3-2x2+ ; k = 12 5 b) (C): 2 1

2

x y x

-=

- ; k = –3

+

-=+ ; d: x – 2

Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:

- ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0

Bài 17 Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C):y (3m 1)x m2 m (m 0)

x m

+ tại điểm A có yA = 0 và d: y x= -10

Bài 18 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:

a) (C):y= - +x3 3x- ; A(2; –4) 2 b) (C):y x= 3-3x+ ; B(1; –6) 1

- +

=

- ; H(2; 2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép

Bài 1 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

1 Gọi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 )

u là hoành độ tiếp điểm của D và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C 2 )

· D tiếp xúc với (C=1) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

· Từ (2) và (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5)

· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ đó viết phương trình của D

2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:

a) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2+5x- 11

b) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2- -x 14

c) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y x= 3+3x-10

VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó

tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C) D là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f¢ (x 0 )

d k

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C)

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước:

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được

1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M ) Ỵ d

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M

· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f¢ (x) + y M (3)

· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

Bài 5 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):

VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được

2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Gọi M(x M ; y M )

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M

· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f¢ (x) + y M (3)

· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

· Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Û f¢ (x 1 ).f¢ (x 2 ) = –1

Từ đó tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục

+ ; d là trục hoành

Bài 4 Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành;

VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Bài 1 Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số

3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi 2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số

3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất

-Bài 4 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A,

B sao cho DOAB vuông cân:

4 HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số)

Xem (1) là phương trình theo ẩn m

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M

· Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M

Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm)

· Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M

· Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m): y = f(x, m)

A B C

ì =ï

=í

ï =ỵ

(2b)

· Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0

· Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đósuy ra được các điểm cố định

Bài 1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

a) y=(m-1)x-2m+ 1 b) y mx= 2+2(m-2)x-3m+ 1

c) y=(m+1)x3-2mx2-(m-2)x+2m+ 1 d) y= -(1 2 )m x2-(3m-1)x+5m- 2d) y x= 3+mx2-9x-9m e) y=(m-2)x3-mx+ 2

b) y=(m+2)x3-3(m+2)x2-4x+2m- 1

c) y=(m-4)x3-(6m-24)x2-12mx+7m-18

d) y=(m+1)x3-(2m+1)x m- + 1

VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (C m): y = f(x, m) đi qua

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua

M(x 0 ; y 0 ) Ï (C m ), "m Û y 0 = f(x 0 , m) vô nghiệm m (1)

· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

0

A B

A B C A

éì = =í

êỵ ¹ê

ì ¹êí

êỵ - <

ë

(2b)

Chú ý: · Kết quả là một tập hợp điểm

· Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

Bài 2 Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): y mx= 3-m x2 2-4mx+4m2- ; (L) là trục hoành 6

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C m): y = f(x, m) đi qua

· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

· Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

Bài 2 Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

5 TẬP HỢP ĐIỂM

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất a

· Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M

1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m

Có các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Mì =í =ỵy g m x f m( )( )

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:

Trường hợp 3: Mì =í =ỵy b x f m( )(hằng số)

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đó là giới hạn của quĩ tích

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3)

Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà

chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho

a) (Pm): y=2x2-(m-2)x+2m- Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm) 4

b) (Cm): y x= 3-3mx2+2x-3m- Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm) 1

c) (Cm): y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+ Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm) 1

- Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm)

Bài 2 Cho (C) và (C¢) Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng

1) Tìm m để (C) và (C¢) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB

x

-=+ và (C¢): 2x y m- + = 0