Một số công thức cần nhớ

YO Một số công thức cần nhớ... hay S là điân tí-h tam giác AABC... Goi PQ la một trong những đoạn chia chứa trung... Chứng minh: AABC nhọn... Biét tich số của hai đường phân giác trong

YO)

Một số công thức cần nhớ

‘MOT SO CONG THUC CAN NHỚ

m KÍ HIỂU |

Cho tam gidc ABC (AABC) ki hiéu:

+ Góc ở đỉnh A, B, Cla A, B, C

+ a,b,c lân lượt là độ dài các cạnh BƠ, CA, AB

+ h, h, h, lan lugt là độ đài các đường cao của AABC kẻ từ các

đỉnh A, B, C

4.8 (hay S) là điân tí-h tam giác AABC

+ m„,m,,m lần lượt là đậ đài cá _—— *mmz tuyến cúa AABC

AABC

+ r,r,„r, lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp của góc A, B, C

+ p là nửa c' c fim giác, ta có: a + bx+c- 2p

6 Hinh chiếu -a =b.cosƠ +c.cosB, a=r cote + cot 3)

Chú ý: Ở đây tôi chỉ ghỉ c công thức xét ở góc A, còn các công thức xét ở góc B và C các bạn đọc tự suy luận

9 đường tròn r=(p- a)tan =(p- b)tan 2 =(p- e)tan C _5

Bán kính Yr, = = ptan , I, = Ss = ptan >

10| đường tròn pa , p-b 2 bàng tiếp các| r -_ 5 - ptan—

° p-c {

PhdénI

Tự L1ẬN:

VẤN ĐỀ 1:

LUGNG GIAC TRONG TAM GIAC

A KIEN THUC CAN NHG

2 PHUONG PHAP CHUNG

Để chứng minh một đẳng thức lượng giác trong tam giác dạng -

E = F ra dùng một trong các phương pháp:

+ Biến đổi E thành F hoặc F thành E (biến đổi biểu thức

phức tạp hơn) 7

+ Bién doi E = FoE,=F,< <> E, = Fy (dung)

+ Biến đổi E = tekE- F = 0 |

Thông thường ta gặp hai dạng:

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐĂNG THỨC GIUA CÁC HÀM số

LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ABC

Phương pháp: Sử dụng A +B+€C=n., số ˆ

hoặc 21T 2° 2 va kết hợp một số phép biến đổi lượng giác thích hợp

DANG 2: CHUNG MINH DANG THỨC LIÊN HỆ GIỮA CẠNH

VÀ GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC

Phương pháp: Sử dụng |

+ Dang 1

+ Định lý hàm số côsin, công thức trung tuyến,

c) sin = COS—

oo in(A + B)

đ) cotA + cotB = BBA + B)

) cot + co sinAsinB © e) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

f) sinA +sinB + sinC = 4cos cos? cos ©

8) cos2A + cos2B + cos2C = —1 — 4cosAcosBcosC h) cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin Ssin sinE i) sin?A +sin’B + sin?C = 2 + cosAcosBcosC

Giai

Vi A, B, C là ba géc cia AABC nén:A+B=n- C

VT = sin(t — C) = sInƠ - Y9,

Vì A, B, C là ba góc của ABC nên: A + B=n_— C

VP = sinAcosB + cosAsinB _ cosB + cosA _ cotB + cotA = VT

sinAsinB _ ginB sinA

VT = 2sin(A + B)cos(A - B) + 2sinC cosC

= 2sinCcos(A — B) + 2sinCT[ - cos(A + B)]

= 2sinC[cos(A — B) — cos(A + B)]

= 2sinC[ - 2sinAsin( — B)] = 4sinAsinBsinC = VP

= 2cos [Boos ỹ cos =| = 4cos A cos 5 cos š = VP

g) VT = 2cos(A + B) cos(A-B) + 2cos2C - 1

= —=2cosCcos(A — B) - 2cos(A + B)cosC - 1 mo

= —l - 2cosC[cos(A + B) + cos(A - B)] Lo + _=-1~— 2cosC(2cosAcosB)

= 1+ 4sin “sin > sin S = VP

1—cos2A + 1 — cos2B + 1 - cos2C

tan(4*®) ~ cot eot[ S5 = tan

VD 2: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có:

sinA + sinB —sinC A, .B ,C

= tan — tan — cot —

cosA + cosB ~ cosC + 1 2:

= 2sin —| cos 5 + Cos _

= 2sin 5 { Boos A cos 2)

VD 3: Cho AABC Chứng minh:

sin®A.sin(B - C) + sinB.sin(C ~ A) + sin2C.sin(A ~B)=0

10

Giai

Ta có:

sin”Asin(B - C) = sin?AsinAsin(B —C) = sin’ Asin(B + C)sin(B — C)

= 5 sin*A(cos2C ~ eos2B) = 3 5in°A(1 — 2sin2C —1+2sin?B) 3

| =sin’A(sin?B-sin?C) — ()

“Tương tự: sin”Bsin(C — A) = sin’B (sin’C - sin’A) (2)

sin*Csin(A - B) = sin’C (sin*A - sin”B) (3)

Cộng (1), (2) va (3) theo vé = dpcm

a) cot S + cot 2 ¬ cot © = cot Ê cot Ê cọt C 2 2 2939 r

T1 - 1 1 1

b) — +— +— =—

ẦằẳsnA sinB sinC 2

(tan + tan + tan $ + eot Scot 5 cot S|

sinA sinB sinC

VD 5 : Cho AABC có trung tuyến BM thỏa mãn AB = MB VD 5:

Chung minh: a) tanA = 3tanC ; b) 2sin(A — C) = sin B

cosA cosC

< sinAcosC = 3sinCcosA

<> sinAcosC ~ sinCcosA = 2sinCcosA

<> sin(A —C) =sin(C + A) + sin(C — A)

= 2sin(A —-C) = sinB (đpem)

VD 6: Cho AABC vuông tại A Chứng minh: 2cot2B = b _>°

DANG 2:

VD 7: Cho AABC Chứng mình: a) r=(p- ajtan =

A b) = r = ptan— - Pp 2

c) a=1{Bot 2 + cot

Giai

a) Goi I la tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC và H, E, F lần

lượt là hình chiếu của I trên BC, AB, AC Ta có:

(AE + AF) + (BE + BH) + (CH + CF) = 2p

r =(p-a) tan = s® +c-a)- + = R(sinB + sinC - sinA)

= 2R -8sin Ê sin § bì sin’ = 4Rsin “sin? sin © 2 2 20° 2 2 2 (1)

Ma: a = 2RsinA = 4Rsin cos (2)

Chú ý: Với mọi tam giác ABC ta luôn có: r = 4Rain „- in „s1

Cách 2:

Sử dụng lai hình uẽ 6 céu a)

6 > cot — = —— = —— = reot —

AIBH vuông tại H: co 2 “TH => BH = rcot 5 (q1)

AICH vuông tại H: cot & = CH = CH => CHer cot © (2)

1, l, 4, ch in ab C

c) pp bel(b +e)’ - a*] _ 4bep(p- a)

d) lạ *| 1, + (= +2), {2+ 5] l= 2( cos + cos 8 + cos |

Giải

a) ‘Goi I là chân đường phân giác trong kẻ từ góc A

Ta co: Siac = SN + Sarre

“=> lL besina = 2a sin’ + Thị sin Ê

VD 10: Cho AABC Chứng minh:

(beer +(e = ayers + (a by cot S =Q (*)

(a ~b) cots = 2R(cosB - cosA) (3) Cộng (1),:(2) và (3) vế theo vế => đpem

17-

=> dpem (**) —x đpcm (*)

VD12: Cho AABC Chứng minh: |

be (2p — a) cosA + ca(2p ~ b) cosB + ab(2p — €) cosƠ

VD 13: Cho AABC có AB = c, BC = a4 và cac trung tuyén

AM = m,, CN = m, thoa man hé thie © = ™Ma #1

<> (2RsinB)? = 2(2RsinC)\(2RsinA) cosB

_© sinB sin(A +C) = 2sinC sinA cosB

sin(A + C) _ 2cosB sinAsinC sinB

<> cotA + cotC = 2cotB (theo vi du id)) (dpem)

(1)

s2 ra JA+BtyC=n AT? y 2n ,,_ 4n

a) Theo giả thiết: 4a OBC => A=z,B=,0=e

b c= ca taba _ = —— Pele _— ~ 1 = 1 + l

oom On An sin—- sin— sin—

7 2 7 7 7 7 7

do —-+—~- => sin — = sin —

b) VT = 2+ 2cosAcosBcosC (theo VD 1i))

sin on cos on cos An

= 2+ 2cos cos —™ cost 2 24 7 7

VD VD 16: Cho AABC vuông tại A, BC = a, chia BC thanh n phan bang

nhau (n lẻ) Goi PQ la một trong những đoạn chia chứa trung

điểm M của BC, Đặt PAQ =a, ke AH L BC, gia su AH = h

| _ + Theo công thức trung tuyến cho APAQ:

VD 17: Cho AABC và tan tan; tan C theo thứ tự lập thành

một cấp số cộng Chứng minh: 2cosB = cosA + cosC

Giải

Vì tan; tan; tan theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

_ Nên: 2tan = tan + tan

cosB — cosA + cosB — cosC = 0

2cosB = cosA + cosC (dpem)

DANG 1

Bai tap 1: Cho AABC Chứng minh

a) sinAcosB + cosAsinB = sinC

b) cos(A — C) — cosB = 2cosAcosC

c) cos—+sin = 2sin —cos—

đ) sinA - sinB - sinC = ~4eos sin 2 sin

Bài tập 2: Cho AABC Chứng minh

Bai tap 3: Cho AABC théa man hé thie cotA + cotC = 2cotB

Chứng minh: sin?A + sin?C = 2sin?B

Bài tập 4: Cho AABC thỏa mãn hệ thức sin2A +sin2B sin2C

Chứng minh cosA + cosB = 1

Bài tập 5: Cho AABC Chứng minh:

a) sin3A + sin3B + sin3C = = ~4eos cos 0s

b) cos4A + cos4B + cos4C = 4cos2Acos2Bcos2C - 1

ce) sin”A cos(B - C) + sin*B cos(C - A) + sinC cos(A - B)

= 3sInAsinBsinC

Bài tập 6: Cho AABC Chứng minh

a) tan  tan Ö + tan? tan ©& + tan © tan’ =1

b) tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC (AABC khôngvuông)

©) cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1

so

thy

:

Bai tap 7: Cho AABC thỏa mãn hệ thức cot—— cot S

=5 sinA+sinB 3

b) GA? + GB + GO’ =a(a? +b? +e")

Bai tap 10: Cho AABC Ching minh:

a? +b? +c?

AR’

Bai tap 11: Cho AABC co độ đài các cạnh a, b, c thỏa mãn điều

kiện a? + b? +c? > 32 va có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 2 Chứng minh: AABC nhọn

` sinŸA + sin*B + sin’C = =

Bai tap 12: Cho AABC Chứng minh:

Asin(B — C) + bsin(C — A) + c sin(A — B) =

sin(A - B) _ a? —b?

sin(A+B) ©

Bai tap 13: Cho AABC Chứng minh:

Bài tập 14: Cho AABC Chứng minh: beosB + ccosC = acos(B ~ C)

a) 2sinA = sinB + sinC Bai tap 19:

(b+ cyt = 2(a? + 212) (b+e)? + a?(a? 4h?) = =

Cho AABC Chứng minh:

Ch,

tan— tan— = _4r h 2 2

a

h ~~ Or +h,

a

Cho AABC Chứng minh: p’ +r? = 2R(h, +h, +h, -2r)

Cho AABC Chứng minh: A =2B oa’ =b(b +@) Cho AABO có a" =b"+c°,n>2,neN,

Chứng minh: AABC nhọn Cho AABC Chứng minh:

Chứng minh: OG” = R” - 2 l8” ~ (ab + be + ca)]

Cho AABC, G trong tam cua AABC va a = GAB, B= GBC

8R (a? + b? +”) Chting minh: cota + cot + coty =

abc Bài tập 29: Cho AABC có AM là trung tuyến, AD là phân giác trong

24

cia géc A Pat MAD =a, MAB=8, MAC =y

sin B _ sinB sina sinC

b) Gia sit AC> AB Ching minh: tana = tan’ tan

a) Chứng minh:

B-C

Bài tập 30: Cho AABC với BC = a, AB = AC = b, BAC = 20°

_ Chứng minh: a” + bỶ = 3abZ

Bài tập 34: Cho AABC Chứng minh:

- a(cosB + cosC) + b(cosC + cosA) + c(cosA + cosB)

= 8Rcos A cos B cos C (*)

2 2 2

Bai tap 35: Cho AABC vudng tai A, BC = a Biét tich số của hai

đường phân giác trong của hai góc B va C la I’

1 B 1

a) Chú hung minh: inh: sin si —sin — = —; 9 0S * Gee

b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC

" 2

Chứng mỉnh: BLCI = 5

Bài tập 36: Cho AABC Chứng minh:

a) acotA + beotB + ccotC = 2(R + r)

b) 1+ z = cosA + cosB + cosC

c) cot + cots + cots _ R(sinA + sinB + sinC)

T

d) becot = + cacot = + abcot = = 4Rp? (2 + i + it 3)

a b oc p,

25 °.

cbcos” $ + cacos? B + abcos? C =p

Bài tập 38: Cho AABC thỏa mãn sinA + sinB + sinC = 7 2

_ Chứng minh: C = 120° _ #Rsin 5 Bài tập 39: Cho AABC Chứng minh rằng: r là nghiệm của phương

trình: (x? +p?)(x-r) = as x

Bai tap 40: Cho AABC Chứng minh:

a) —4— 455 nyu

a) Vi A, B, €C là ba góc của AAPC nên A + B+C=r= A+B=n_-C

Ta có: VT = sin(A + B) = sin(x — C) = sinC = VP |

b) Vi A, B, C la ba géc của AABC nên B = n — (A + ©)

=> cosB = cos{a -(A+C)] = -cos(A+C) |

Ta c6é: VT = cos(A — C) + cos(A + C) = 2cosAcosC = VP

2 2 _ Ở

‘SmdAasin2B sindG ~ sinmBArsin2BasindG 2ooC CÓ

Ma: + sinA +sinB+sinC = 4cos cos cos (theo VD 109 )

+ sin2A +sin2B +sin2C = 4sinA sinB sinC

= 32sin “sin sin & cost cos Ề eos C (theo VD le))

Do đó: (*) = cosC = Asin sin sin

=> cosC = 2sin [cos A-B — cos <8 |

2 2

=> cosC = 2c0s 2B cos > inf

cosC = cosA + cosB — (1 — cosC)

b) VT = 2cos2(A +B) cos2(A — B) + 2cos?2C ~ 1

= 2cos(2 x - 2C) cos(2A - 2B) + 2cos2C cos(2A + 2B)-1

= 9cos2C[cos(2A - 2B) + cos(2A + 2B)] —1 ~

= 4cos2Acos2Bcos2C - 1 = VP

ce) VT =sin’A [sin(B + C) cos(B — C)]+ sin’B [sin(A + €) cos(C ~ A)]

+ sin’C [sin(A + B) cos(A -= B)] |

sin2B +sin2C ' ;„ sin2C +sin2A ; ,sin2A +sin2B

+ sin B———z——+sin C——————

= sin?A (sinBcosB + sinCcosC) + sin’B (sinCcosC + sinAcosA)

= sin?A

+sin”C (sinAcosA + sinBcosB)

= sinAsinB (sinA cosB + sinB cosA) + sinBsinC (sinBcosỞ + sinC cosB)

+sinCsinA (sinAcosC + sinC cosA)

ˆ =sinAsinB sin(A + B) + sinBsinCsin(B + C) + sinCsinAsin(C + A)

b) Ta c6:A+B+Cen

= tan(A + B) = tan(r — C) = —tanC

tanA + tanB l-—tanAtanB

= tanA +tanB +tanC = tanAtanBtanC (dpcm)

=> —! cos + COS———— | = —| COS — cos

DANG 2

Bai tap 9:

a) Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

2(œ?+c?)-a? 1 2(a* +0?) —b? + 2(a? +bŸ)- c7

© (2RsinA) + (2RsinB)Ï +(2RsinC)” > 32

© sin”A + sin”B + sin”C > 2 (do R = 2)

«© 2+ 2cosAcosBcosC > 2 (theo ví dụ 1 1))

© cosAcosBcosC > 0 <> A, B, C là ba góc nhọn

Bài tập 12:

Áp dụng định lí hàm số sin, ta có:

VT = 2R[sinA sin(B — C) + sinBsin(C — A) + sinCsin(A — B)]

= 2R[sin(B + C)sin(B - C) + sin(C + A)sin(C — A)

+ sin(A + B)sin(A - B)]

= R(cos2C - cos2B + cos2A — cos2C + cos2B — cos2A) = 0 (dpcm)

31

Theo dinh li ham s6 sin, ta có: sinA sinB sin => - asinC

sinA

Do dé: VT = 5 (sinB cosB + sinC cosC) = 5 A (sin2B + sin2C)

b) VT = 4R’[(sin’B - sin”C) cotA + (sin”C - sin?A) cotB

+(sin?A - sin?B) cotC] (*)

Ma: (sin?B - sin?C) cotA = (sinB + sinC)(sinB - sinC)cotA |

=| 2sin B+C cos B- =] (2008 B+e sin B- C]etA

= sin (B+ C) sin(B - C) cotA = sinA sin(B - C) cosA

sinA

= -sin(B ~ C)eos(B + C) = =2 (sin8B —sin2C) (1)

Tương tự: (sin”C sin?A) cotB = - 5 (sin 2C — sin 2A) (2)

(sin?A -— sin?B) cotC = 5 (sin 2A - sin 2B) (3)

Thế (1), (2) và (3) vào (*) ta được đpem

=> [cos(A — B) — cos(A + B)]cosC = 1

= cosCcos(A - B) = 1 - cos”C = sin?C (*) Chia hai vế của (*) cho cosC sin(A + B), ta được:

= ———————=tanC tanA + tanB -

a) Từ b+c=9a © 2RsinB + 2RsinC = 2(2RsinA)

= sinB +sinC = 2sinA

b) Ta có: S=+ah, =2bh, =+ch, > a= Tp 2 gone BE

33,

Theo giả thiết: b+c =2a => h, +7 h h, nhà nh

oO

a+b-+c

Mà p=—— = R(sinA + sinB + sinC) = 4Reos cos 5 COS 5

bo |

(Theo vi du 1f)) va a = 2RsinA = 4Rsin cos

cos cos © -sin & cos 8 cos © - eos BE

sin(A ~ B) = sinB ~ A-B=B @A=2B

Bai tap 24:

Từ a" =b™ +c" a" >b a>b _ [A>B

neN,wn>2 ' ah xen la»>ec A>C

-— (a”+ bÊ+ e”)

c© 2(2RsinC” = 2ab cosC = 2(2RsinA) (2RsinB)cosC

<> 2sinC sin(A + B) = sinAsinBcosC

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, kẻ MH 1L AB, H eAB

Ap dung định lí hàm số sin trong AABC ta có:

sinB sinC = sinB -sinC _ sinB + sinC

sinB sind sinB-siny sinB + siny

tì a, b, c theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng nên 2b = a + c

=> 2sinB = sinA + sinC = 2sin =" cos —

=> d4sin & cos” = 2cosP cos ~£ |

ắ fc trên có thể viết lại: sinAsinB = 3sin”— = —:—————

Đăng thức trên có thể viét lai: sinAsin 1n 279 1a coaC

2

(oR)

3H ĐR T2 „dì tứ cay > 8th = 2e (đpom) 1+

2ab Bai tap 33:

a) Theo công thức hình chiếu: tụ = beosC + c.cosB

a b

— = = => asinB = bsinA sinA sinB

Theo định lí hàm số sin:

sinA bsinA asinB

cosA _ bcosA c-acosB |

Bài tập 35: hd | -

Goi B’, C’ lan luot 1a chân đường phân giác trong của các góc B, C

a) Ta có: sinB va sinC=— = sinBsinC = be

Thé (2), (3) vao (1), ta duge: sin sin = = fom = =:

b) Theo định lí hàm số sin trong ACIB

a) Ấp dụng định lí hàm số sin, ta có:

VT = 2RsinAcotA + 2RsinBeotB + 2RsinCcotC

= 2R(cosA + cosB + cosC)

=2R [1 + 4sin sin = sin | (theo ví dụ 1h))

r | =2(R+ r) (theo chu y vi du 7c))

= 2R I1+E]

b) Ta có:

cosA + cosB + cosC = 1'+ 4 sin sin = sin S (theo vi dụ 1h))

Nên đẳng thức đã cho viết lại là: r = 4R sin sin 2 sìn

+ Theo ví dụ 1Ð: sinA + sinB + sinC = 4cos = cos — cos =

+ Theo chú ý ví dụ 7c): r= 4Rsin © sin 2 sin C

2 ic + 4Rsin® ~ | ;

4Rsin C

3 Nên: sinA + sinB + sinC =