Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI——————————– NGUYỄN THÁI NGỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM NĂNG LƯỢNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC Chuyên ngành: Toán Công Nghệ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————–

NGUYỄN THÁI NGỌC

PHƯƠNG PHÁP HÀM NĂNG LƯỢNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

Chuyên ngành: Toán Công Nghệ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Toán Công Nghệ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev 1

1.1.1 Không gian Holder 1

1.1.2 Không gian Sobolev 2

1.2 Các khái niệm cơ bản về giải tích Fourier 5

1.2.1 Chuỗi Fourier 5

1.2.2 Biến đổi Fourier 6

2 Phương trình hyperbolic 9 2.1 Phương trình đạo hàm riêng 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Các phương trình cơ bản 10

2.1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 11

2.1.4 Các vấn cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng 12 2.2 Phương trình hyperbolic 12

2.2.1 Bài toán Cauchy 12

2.2.2 Bài toán hỗn hợp 17

3 Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình

3.1 Các khái niệm cơ bản 19

3.2 Một số trường hợp đặc biệt của phương trình (3.1) 22

3.2.1 Trường hợp a(t) = a=const 22

3.2.2 Trường hợp a′(t) ∈ L1([0, ∞)) 24

3.2.3 Phương trình Klein-Gordon 26

3.2.4 Phương trình sóng tắt dần 27

3.3 Đánh giá hàm năng lượng tổng với phương trình sóng tắt dần 28

3.3.1 Biểu diễn nghiệm bằng biến đổi Fourier 28

3.3.2 Đánh giá năng lượng tổng 30

3.4 Đánh giá năng lượng trong trường hợp a(t) ∈ C2(Rn ) 35 3.5 Đánh giá năng lượng với a(t) ∈ Cm 44

3.6 Đánh giá năng lượng cho bài toán biên giá trị ban đầu (IBVP) đối với phương trình hyperbolic 50

3.6.1 Tách biến 50

3.6.2 Đánh giá năng lượng 52

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớiGS.TSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình chỉ bảo và đưa ra nhiều chỉ dẫnquý báu để luận văn này được hoàn thành Tác giả gửi lời cảm ơn của mình tớicác thầy cô đã tận tình giảng dạy lớp cao học Toán Công Nghệ khóa 2008-2010

và các thầy cô trong Xemina Phương trình đạo hàm riêng và giải tích phức đãgiúp đỡ, chỉ cho những kiến thức bổ ích và những kinh nghiệm quý báu trongnghiên cứu

Các bài giảng của các Giáo sư Micheal Ressig từ Đại học Freiberg, Đức vàGiáo sư Fumihiko Hirosawa từ Đại học Yamaguchi, Nhật Bản tại Khoa ToánTin ứng dụng - Đại học Bách khoa Hà Nội đã có những định hướng tốt cho tácgiả trong bước đầu của quá trình nghiên cứu khoa học Tác giả bày tỏ lòng cảm

ơn chân thành đến các Giáo sư

Tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô, những người điều hành ViệnĐào tạo Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo ra môi trường học tập

và nghiên cứu tốt

Học viên : Nguyễn Thái NgọcLớp : Toán Công Nghệ 2008-2010

Lời mở đầu

Phương trình đạo hàm riêng cấp hai là chủ đề được các nhà toán học cũngnhư người làm ứng dụng trong kỹ thuật nghiên cứu từ rất lâu và có nhiều ứngdụng trong các vấn đề thực tế Ba dạng phương trình đạo hàm riêng được nghiêncứu nhiều là: Phương trình eliptic (điển hình là phương trình Laplace) mô tảcác hiện tượng vật lý ứng dụng như điện từ trường, cơ học chất lỏng; Phươngtrình parabolic mô tả hiện tượng truyền nhiệt; Phương trình hyperbolic mô tảhiện tượng truyền sóng

Luận văn này nghiên cứu một vấn đề được quan tâm trong phương trìnhhyperbolic đó là đánh giá hàm năng lượng của phương trình hyperbolic Hàmnăng lượng có vai trò quan trọng trong việc đánh giá nghiệm của phương trình.Các vấn đề như bài toán đặt chỉnh, đánh giá tiệm cận nghiệm có thể được rút

ra từ đánh giá hàm năng lượng

Ngoài Lời cảm ơn, phần Mở đầu, Phụ lục và danh mục Tại liệu tham khảo,nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trình bày các kiến thức cơ sở chophương trình đạo hàm riêng: Không gian Sobolev, chuỗi Fourier và biến đổiFourier Như đã biết, không gian Sobolev là không gian làm việc của phươngtrình đạo hàm riêng, biến đổi Fourier là biến đổi quan trọng trong phương trìnhđạo hàm

Chương 2: Phương trình hyperbolic Giới thiệu và phân loại phươngtrình đạo hàm riêng và đặc biệt là đi sâu vào việc tìm hiểu phương trình hyper-bolic

Chương 3: Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình bolic Là phần làm trọng tâm của luận án Chương ba này trình bày các địnhnghĩa hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic, các đánh giá cho hàm nănglượng với bài toán Cauchy trong miền bị chặn và toàn không gian.

hyper-Mặc dù đã cố gắng song luận văn chắc vẫn còn những thiếu xót Vì vậy, tácgiả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn đượchoàn thiện hơn

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản củakhông gian Sobolev Ngoài ra, các kiến thức của giải tích Fourier cũng đượctrình bày làm cơ sở cho việc xét bài toán đánh giá hàm năng lượng của phươngtrình hyperbolic Nội dung của chương này được tham khảo trong [8]

1.1 Không gian Sobolev

1.1.1 Không gian Holder

Trước khi xem xét các khái niệm về không gian Sobolev, ta tìm hiểu về khônggian Holder

Định nghĩa 1.1 Cho tập mở U ⊂ Rn

(i) Hàm số u : U → R gọi là liên tục Lipschitz nếu thỏa mãn

|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| (∀x, y ∈ U),trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào x, y

(ii) Hàm số u : U → R gọi là liên tục Holder với số mũ γ với 0 < γ ≤ 1 nếuthỏa mãn

Chú ý 1.1 Một hàm liên tục Lipschitz và liên tục Holder với số mũ γ đều làhàm liên tục.

Định nghĩa 1.2 (i) Cho hàm u : U → R liên tục và bị chặn Ta định nghĩa

kukC(U) := sup

x∈U|u(x)| (ii) Nửa chuẩn cấp γ của hàm u được cho bởi

[u]C0 ,γ := sup

x,y∈U x6=y

 |u(x) − u(y)|

|x − y|ν



(iii) Chuẩn cấp γ của hàm u được cho bởi

kukC0 ,γ := kukC(U) + [u]C0 ,γ Định nghĩa 1.3 Không gian Holder Ck,γ U
là không gian chứa các hàm

u ∈ Ck U
thỏa mãn điều kiện

Định lý 1.1 Không gian Holder là không gian Banach

1.1.2 Không gian Sobolev

Công thức (1.1) có được bằng cách tích phân từng phần và có hàm φ là triệttiêu trên ∂U Tổng quát, với hàm u ∈ Ck và đa chỉ số α = (α1, α2, , αn), nếuđặt |α| = α1+ α2+ + αn = k thì ta có công thức

Ký hiệu Lp

loc(U ) (1 ≤ p ≤ ∞) là tập hợp các hàm khả tích địa phương trong

U, tức là với mọi giá trị x ∈ U tồn tại lân cận Ω của x thỏa mãn Ω ⊂ U và

Mệnh đề 1.1 (i) Cho α là đa chỉ số , c1, c2 ∈ R Nếu ∂αu và ∂αv tồn tại thì

b Không gian Sobolev

Cho số cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và số nguyên không âm k

Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev Wk,p(U ) là tập hợp các hàm u sao chonếu đa chỉ số α với |α| ≤ k thì đạo hàm yếu Dαu tồn tại và Dαu ∈ Lp(U ).Chuẩn trong không gian Sobolev Wk,p được xác định bởi

Định lý 1.2 Không gian Sobolev Wk,p(U ) là không gian Banach

Hệ quả 1.1 Không gian Sobolev Hk(U ) là không gian Hilbert với tích vô hướng

0 (U ) là tập hợp các hàm u trong Wk,p(U ) thỏa mãn điều kiện

Dαu = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1

an = 1π

cneiπnxL ,

trong đó

cn = 12L

Định nghĩa 1.6 Cho hàm f ∈ L1(R) Biến đổi Fourier của hàm f , ký hiệu là

F [f ] hoặc ˆf được cho bởi công thức

Chú ý 1.6 Ngoài cách định nghĩa biến đổi Fourier theo công thức (1.7) còn cócác định nghĩa khác Chẳng hạn:

sin(rξ)

ξ (ξ 6= 0)

Ví dụ 1.3 (Hạch Possion) Cho hàm số

f (x) = e−a|x|.Biến đổi Fourier của hàm f(x) là

Định lý 1.6 (Đẳng thức Parseval) Cho hàm số f(x) ∈ L1(R) ∩ L2(R) Khi đó

f (ξ)ˆ

f (ξ)ˆ

Ta có thể mô tả phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bởi

X

|α|≤k

Nếu giá trị f(x) = 0 thì phương trình (2.2) được gọi là thuần nhất

(ii) Phương trình (2.1) gọi là á tuyến nếu hàm F là bậc một với các đạo hàmcấp cao nhất của nó

Ta có thể mô tả phương trình đạo hàm riêng á tuyến bởi

Ba phương trình đạo hàm riêng cơ bản nhất là:

(1) Phương trình Possion: Là phương trình có dạng

∆u = f (x, t),trong đó ∆ = ∂

∂x 2 + + ∂x∂2

n là ký hiệu toán tử Laplace

Nếu f = 0 thì phương trình Possion trở thành phương trình Laplace

Các phương trình Laplace và Possion mô tả các hiện tượng vật lý như điện

2.1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng thành ba loại cơ bản là: Phương trình eliptic,Phương trình hyperbolic, Phương trình parabolic

a Trường hợp 2 biến

Xét phương trình

a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy+ c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0 (2.3)(i) Nếu b2− ac > 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là hyperbolic.(ii) Nếu b2− ac = 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là parabolic.(ii) Nếu b2− ac < 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là eliptic

là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tổng quát của biến x = (x1, , xn)

Ta chuyển dạng tổng quát về dạng toàn phương

A1(x)ux1 x 1 + + An(x)uxnxn + F (x1, , xn, u, ux1, , uxn) = 0 (2.5)Khi đó:

(i) Nếu n − 1 hệ số Ai là khác không và cùng dấu, hệ số còn lại khác dấu thìphương trình (2.6) là hyperbolic

(ii) Nếu n − 1 hệ số Ai là khác không và cùng dấu, hệ số còn lại bằng khôngthì phương trình (2.6) là parabolic

(ii) Nếu tất cả các hệ số Ai khác không và cùng dấu thì phương trình (2.6)

là eliptic

Theo phân chia phương trình đạo hàm riêng, ta dễ dàng nhận thấy phương trìnhPoission là phương trình eliptic, phương trình sóng là phương trình hyperbolic,phương trình nhiệt là parabolic

2.1.4 Các vấn cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng

Vấn đề quan trọng trong phương trình đạo hàm riêng là tìm tính chất và đánhgiá nghiệm của phương trình

a Bài toán đặt chỉnh

Bài toán phương trình đạo hàm riêng được gọi là đặt chỉnh nếu thỏa mãn bađiều kiện sau:

(i) Phương trình có nghiệm;

(ii) Nghiệm phương trình là duy nhất;

(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện bài toán

Việc nghiên cứu tính chỉnh của bài toán là rất quan trọng trong việc xemxét các tính chất của nghiệm cũng như đánh giá tiệm cận nghiệm của phươngtrình đạo hàm riêng

b Đánh giá tiệm cận nghiệm của bài toán

Có những bài toán ta không thể tìm nghiệm tường minh và ta phải đánhgiá tiệm cận nghiệm của bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau Chương

3 của luận văn sẽ trình bày đánh giá tiệm cận nghiệm của bài toán thông quađánh giá hàm năng lượng

ut(x, 0) = g(x), x ∈ Rn

(2.6)

Phương trình trên là phương trình thuần nhất Nếu vế phải của phương trình(2.6) thay thế bởi hàm F (x, t) thì ta có phương trình không thuần nhất Sauđây là một số kết quả của bài toán này trong trường hợp riêng.

+ 12

vt(x, 0) = 0, x ∈ R

Nghiệm của bài toán (2.8) là u = w + v

Gọi α(x, t, τ) là nghiệm của phương trình

αt(x, τ ) = F (x, τ ), x ∈ R

Khi đó nghiệm v của bài toán (2.8) được cho bởi công thức

ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R3

(2.9)

Nếu ϕ ∈ Ck(R3) và ψ ∈ Ck−1(R3) thì phương trình (2.9) có nghiệm u ∈

Ck−1([0, ∞] × R3) cho dưới dạng (Công thức Kirchhop)

u(x, t) = 1

4πtZ

ut(x, 0) = 0, x ∈ R3,

ta có kết quả tương tự như trong trường hợp n = 1 Tức là nghiệm của bài toánnày là

t

trong đó w = w(x, t, τ) là nghiệm của bài toán Cauchy thuần nhất:

ut(x, 0) = ψ (x) , x ∈ R2n+1

(2.11)

Định lý 2.3 Nếu hàm ϕ ∈ Ck(R2n+1) và ψ ∈ Ck−1(R2n+1), n ≥ 1 thì bài toánCauchy (2.11) có nghiệm u ∈ Ck−n([0, ∞) × R2n+1 Nghiệm được biểu diễn dướidạng

ut(x, 0) = ψ (x) , x ∈ R2n

(2.13)

Định lý 2.4 Nếu hàm ϕ ∈ Ck(R2n) và ψ ∈ Ck−1(R2n), n ≥ 1, k ≥ n + 2, thì bàitoán Cauchy (2.13) có nghiệm u ∈ Ck−n([0, ∞) × R2n Nghiệm được biểu diễndưới dạng

2n+1 2

√πΓ(n)t2n−1

√πΓ(n)t2n−1

Xét bài toán không thuần nhất

ut(x, 0) = F (x), x ∈ [0, L]

u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ [0, ∞)

Ta chia bài toán thành hai bài toán đơn giản hơn, đó là:

Bài toán thuần nhất

wt(x, 0) = 0, x ∈ [0, L]

w(0, t) = w(L, t) = 0, t ∈ [0, ∞)

Kết luận: Chương 2 đã giới thiệu đại cương chung về phương trình đạo hàmriêng cấp hai Đồng thời một số kết quả và công thức nghiệm của phương trìnhhyperbolic cũng được trình bày trong chương này

3.1 Các khái niệm cơ bản

ut(x, 0) = ψ (x) , x ∈ Rn

(3.1)

Cho hàm u ∈ C([0, T ], H1(Rn)) ∩C1([0, T ], L2(Rn)) Khi đó tổng năng lượng củabài toán (3.1) được cho bởi

E(u)(t) : = 1

2Z

2kut(., t)k2L2 là ký hiệu cho động năng, 1

2a(t)2k∇xu(., t)k2L2 ký hiệu chothế năng

Nếu ta không muốn quan tâm đến năng lượng tổng mà xét đến năng lượngtrong tập K ⊂ Rn với K là bao đóng của miền thì có

E(u)(t) := 1

2Z

E(u)(t) = 1

2Z

Định nghĩa 3.2 Xét phương trình Klein - Gordon

m = |ξ|2+ m2 Năng lượng tổng được tính theo v = F [u] nhờ đẳng thứcParseval

E(u)(t) = 1

2Z

R n



|vt(ξ, t)|2+ |ξv(ξ, t)|2+ m2|v(ξ, t)|2dx

= 12



kvt(., t)k2L2 + kξv(., t)k2L2 + m2kv(., tk2L2

.Định nghĩa 3.3 Xét phương trình sóng tắt dần

Cho hàm u ∈ C([0, T ], H1(Rn)) ∩ C1([0, T ], L2(Rn)) Khi đó tổng năng lượngđược cho bởi

E(u)(t) : = 1

2Z

C−1E(0) ≤ E(t) ≤ CE(0)thì bài toán là bảo toàn năng lượng tổng quát (GEC)

3.2 Một số trường hợp đặc biệt của phương

ut(x, 0) = ψ (x) , x ∈ Rn

(3.7)

với điều kiện ban đầu ϕ ∈ H1(Rn) và ψ ∈ L2(Rn)

Giả sử a(t) ∈ C1([0, ∞)) và 0 < a0 ≤ a(t) ≤ a1 với số dương cố định a0 và

a1 Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của phương trình (3.7):

3.2.1 Trường hợp a(t) = a=const

Mệnh đề 3.1 Bài toán (3.7) là bảo toàn năng lượng, tức là

E(t) = E(0)

Chứng minh Ta có

E(u)(t) = 1

2Z

Định lý 3.1 Cho ϕ ∈ Hs(Rn) và ψ ∈ Hs−1(Rn−1) với s ≥ 1, n ≥ 1 Khi đó,bài toán Cauchy

ut(x, 0) = ψ (x) , x ∈ Rn

đạt chỉnh Hs Tức là với dữ liệu ban đầu ϕ ∈ Hs(Rn) và ψ ∈ Hs−1(Rn−1) với s ≥

1, n ≥ 1 thì tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C([0, ∞), Hs(Rn))∩C1([0, ∞), Hs−1(Rn)).Đông thời nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, nghĩa

là với mỗi ε > 0 thì tồn tại δ(ε thỏa mãn: nếu kϕ1− ϕ2kHs+ kψ1− ψ2kHs−1 < δthì dẫn đến ku1− u2kC([0,∞),Hs (R n ))∩C 1

R n

a2(t)∇x∂tu • ∇xudx



+ a′(t)a(t)

Z

R n

|∇xu|2dx

(3.9)

Tích phân từng phần thành phần thứ hai của (3.9) thì được

d

dtE(t) = Re



Z

1

2a

2(t)Z



1

2a

2(t)Z

′

(t) ... loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng thành ba loại là: Phương trình eliptic ,Phương trình hyperbolic, Phương trình parabolic

a Trường hợp biến

Xét phương. .. dấu phương trình (2.6)

là eliptic

Theo phân chia phương trình đạo hàm riêng, ta dễ dàng nhận thấy phương trìnhPoission phương trình eliptic, phương trình sóng phương trình hyperbolic ,phương. .. bậc với đạo hàmcấp cao

Ta mơ tả phương trình đạo hàm riêng tuyến

Ba phương trình đạo hàm riêng là:

(1) Phương trình Possion: Là phương trình có dạng

∆u = f (x, t),trong