Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được... 3.. VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. a[r]
Trang 11 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.
3 Dấu của nhị thức bậc nhất
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Bài 1 Giải các bất phương trình sau:
a)
x
2
b)
3
c)
5( 1) 1 2( 1)
d)
Bài 2 Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) m x m( ) x 1 b) mx 6 2x3m
c) m( 1)x m 3m4 d) mx 1 m2x
e)
m x( 2) x m x 1
f) 3 mx2(x m ) ( m1)2
Bài 3 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m x2 4m 3 x m2 b) m x2 1 m (3m 2)x
c) mx m 2 mx 4 d) 3 mx2(x m ) ( m1)2
Bài 4.
a)
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện Kết quả tập nghiệm
a > 0
S =
b a
;
a < 0
S =
b
a;
f(x) = ax + b (a 0)
x
b a
;
x
b
a;
Trang 2VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1 Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x x
2 3 2(2 3) 5
4
7
4
x x
d)
x x
4
x x
2
8
2
x x
1
3
2
g)
x x
5
3
Bài 2 Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
a)
5
7
2
x x
1
3
2( 4)
2
Bài 3 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) {3 m−2 − x >0 x +m− 1>0 b) {mx −3> 0 x −1> 0 c)
2
d)
mx
m 1 0x m
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1 Bất phương trình tích
Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1)(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x) Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Dạng:
P x
Q x( ) 0
( ) (2)
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Cách giải: Lập bảng xét dấu của
P x
Q x
( )
( ) Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Trang 3 Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Dạng 1:
g x
f x( ) g x( ) ( ) 0g x( ) f x( ) g x( )
Dạng 2:
g x
f x có nghĩa
f x g x
f x g x
( ) 0 ( )
( ) ( )
Chú ý: Với B > 0 ta cĩ: A B B A B ;
A B A B
.
Bài 1 Giải các bất phương trình sau:
a) x( 1)(x1)(3x 6) 0 b) x(2 7)(4 5 ) 0 x c) x2 x 20 2( x11)
d) x x3 (2 7)(9 3 ) 0 x e) x38x217x10 0 f) x36x211x 6 0
Bài 2 Giải các bất phương trình sau:
a)
x
3 1 2
d)
x
x
2
x x
2
1 2 1
x
2
1 2
Bài 3 Giải các bất phương trình sau:
x
2
f)
x
x 2
2
g) x2 5 x 1 h) x2 1 x i) x 2 x 1
Bài 4 Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
x m
x
1
mx m
1
HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:
a x b a x b1 1 2 2
( )( ) 0 ,
a x b x
a x b x21 12 0
(hoặc < 0 0, 0)
– Đặt
;
Tính x1 x2
– Lập bảng xét dấu chung a a x1 2 , 1 x2
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài tốn thành nhiều trường hợp Trong mỗi trường hợp ta
xét dấu của (a x b a x b1 1)( 2 2)
(hoặc
a x b x
a x b x21 12
) nhờ qui tắc đan dấu.
Trang 4a)
m
m
3
2 3
2
3 : \ { 1}
m
m m
m
1
1
0 : ( ;1)
c)
m 3 :3 :S (1;(m 2;) )
Bài 5 Giải các bất phương trình sau:
a)
1 Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
a
0
a
0
2 Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2bx c (hoặc 0; < 0;0 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 1 Xét dấu các biểu thức sau:
a) x3 2 2x1 b) x 24x5 c) 4x212x 9
d) x3 2 2x 8 e) x 22x1 f) x2 2 7x5
g) x(3 210x3)(4x 5) h) x(3 2 4 )(2x x2 x1) i)
2
Bài 2 Giải các bất phương trình sau:
a) x2 2 5x 2 0 b) 5x24x12 0 c) 16x240x25 0 d) 2x23x 7 0 e) x3 2 4x 4 0 f) x2 x 6 0
g)
2
2
2 2
2 2
Bài 3 Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) x2 mx m 3 0 b) (1m x) 2 2mx2m0 c) mx2 2x 4 0
HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:
– Lập bảng xét dấu chung cho a và .
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.
III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
f(x) = ax2bx c (a 0)
< 0 a.f(x) > 0, x R
= 0
a.f(x) > 0, x
b R
a
\ 2
> 0 a.f(x) > 0, x (–∞; x 1 ) (x 2 ; +∞)
a.f(x) < 0, x (x 1 ; x 2 )
Trang 5Bài 4 Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2
2
6 0
2 2
2 2
d)
2
2
2
2
2 4 7 0
2
2 5 0
g)
x
2 2
1
2 2
2 2
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Bài 1 Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm
a) m( 5)x2 4mx m 2 0 b) m( 2)x22(2m 3)x5m 6 0
c) (3 m x) 2 2(m3)x m 2 0 d) (1m x) 2 2mx2m0
e) m( 2)x2 4mx2m 6 0 f) m( 22m 3)x22(2 3 ) m x 3 0
Bài 2 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) x3 22(m 1)x m 4 0 b) x2(m1)x2m 7 0
c) x2 2(m 2)x m 4 0 d) mx2(m1)x m 1 0
e) m( 1)x2 2(m1)x3(m 2) 0 f) m3( 6)x2 3(m3)x2m 3 3
Bài 3 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m( 2)x2 2(m 1)x 4 0 b) m( 3)x2(m2)x 4 0
c) m( 22m 3)x22(m 1)x 1 0 d) mx22(m1)x 4 0
e) (3 m x) 2 2(2m 5)x 2m 5 0 f) mx2 4(m1)x m 5 0
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Dạng 1:
f x g x
f x
f x g x
( ) 0
( ) 0
Dạng 2:
f x g x
f x g x
f x( ) ( )g x
( ) ( )
Trang 6 Dạng 3:
g x
f x g x
g x f x g x
( ) 0 ( ) ( )
Dạng 4:
g x
f x có nghĩa
f x g x
f x g x
( ) 0 ( )
( ) ( )
Với B > 0 ta cĩ:
A B B A B ;
A B
A B
.
A B A B AB 0 ;
A B A B AB 0
2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
g x
f x g x
f x g x 2
( ) 0 ( ) ( )
Dạng 2:
f x hoặc g x
f x( ) g x( ) f x( ) 0 (( )g x( ) ( ) 0)
Dạng 3:
a f x b f x c
at2 bt c
( ), 0
0
v g x( ); , 0 ( )
đưa về hệ u, v.
f x
f x g x 2
( ) 0
g x
f x
f x g x 2
( ) 0 ( ) 0
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) x2 5x4 x26x5 b) x2 1x2 2x8 c) 2 3 x2 6 x2 0
d) x2 x 3 3 e) x2 1 1 x f)
x x
2 1 1 2 ( 2)
Bài 2 Giải các bất phương trình sau:
Trang 7a) x2 2 5x 3 0 b) x 8 x23x 4 c) x21 2 x0
d) x24x3 x2 4x 5 e) x 3 x 1 2 f) x2 3x2 x22x
g)
2
2
2
x x
3
x
x2 x
Bài 3 Giải các phương trình sau:
a) 2x 3 x 3 b) 5x10 8 x c) x 2x 5 4
d) x22x4 2 x e) 3x2 9x 1 x 2 f)
3 9 1 2
g) 3x 7 x 1 2 h) x2 9 x2 7 2 i)
x
Bài 4 Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a) x3 5 3 x6 32x11 b) x3 1 33x 1 3x1 c) 31 x 31 x 2
d) x3 1 3x 2 3 x 3 0
Bài 5 Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
a) x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
b) x 5 4 x 1 x 2 2 x 1 1
c) 2x 2 2x1 2 2 x 3 4 2x1 3 2 x 8 6 2x1 4
Bài 6 Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) x2 6x 9 4 x2 6x6 b) x( 4)(x1) 3 x25x2 6
c) x( 3)23x 22 x2 3x7 d) (x1)(x2) x23x 4
Bài 7 Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a) 3x25x 8 3x25x 1 1 b) 35x 7 35x13 1
c) 39 x 1 37 x 1 4 d) 324 x 35 x 1
e) 447 2 x435 2 x 4 f)
x
2
Bài 8 Giải các bất phương trình sau:
a) x2 x 12 8 x b) x2 x12 7 x c) x2 4x21x3
d) x2 3x 10 x 2 e) 3x213x4 x 2 f) 2x 6x2 1 x 1
g) x 3 7 x 2x 8 h) 2 x 7 x 3 2x i) 2x 3 x2 1
Bài 9 Giải các bất phương trình sau:
a) (x 3)(8 x) 26 x211x b) x( 5)(x 2) 3 ( x x3) 0
c) x( 1)(x4) 5 x25x28 d) 3x25x 7 3x25x2 1
Bài 10.Giải các bất phương trình sau:
Trang 8a)
x
2 4 2
3
x
2
3
c) x( 3) x2 4x2 9 d)
Bài 11.Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 3 2x 8 b) 32x2 1 33x21 c) x3 1 x 3
Bài 12.Giải các phương trình sau:
a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a3b3c3 , với a, b, c > 0 và xyz = 1 a b c
b)
a b c a b c a b c
, với a, b, c > 0.
, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi d) a b1b a 1ab , với a 1, b 1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3c333a b c3 3 3 a3 2( 3b3c3) 6 (1)
a3 1 1 33a3 a3 2 3a (2) Tương tự: b3 2 3b (3), c3 2 3c (4)
Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.
b) BĐT
c) Áp dụng BĐT: x y x y
, ta được: p a p b p a p b c
Trang 9Tương tự: p b p c a p c p a b
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
a ab a ab
a b 1 a ab a
.
Tương tự:
ab
b a 1
2
Cộng 2 BĐT ta được đpcm Dấu "=" xảy ra a = b = 2.
Bài 2 Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A x
x
1 1
, với x > 1.
b)
B
4
, với x, y > 0 và x y 5
4
c) C a b
a b
1 1
, với a, b > 0 và a b 1
d) D a 3b3c3, với a, b, c > 0 và ab bc ca 3
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x
x
1
1
Dấu "=" xảy ra x = 2 Vậy minA = 3.
b) B =
4
4
Dấu "=" xảy ra x 1; y 1
4
Vậy minB = 5.
c) Ta có a b a b
3
Dấu "=" xảy ra a = b =
1
2 Vậy minC = 5.
d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3 1 3ab , b3c3 1 3bc , c3a3 1 3ca a2( 3b3c3) 3 3( ab bc ca ) 9 a3b3c3 3
Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1 Vậy minD = 3.
Bài 3 Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A a 1 b , với a, b –1 và 1 a b 1
b) B x 2(1 2 ) x , với 0 < x <
1
2
c) C(x1)(1 2 ) x , với 1 x 1
2
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,1, a1, b ta được:1
A1 a 1 1 b 1 (1 1)( a 1 b 1) 6 Dấu "=" xảy ra a = b =
1
2
maxA = 6
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
3
(1 2 )
Trang 10
1
3 Vậy maxB =
1
27
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =
2
Dấu "=" xảy ra x =
1 4
Vậy maxC =
9
8
Bài 4 Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 3 4 0
c)
m x2 12 2
Bài 5 Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
2
9 3
2 10 16 0
Bài 6 Giải các bất phương trình sau:
a)
x
x
x2 x
3
x
2 2
c)
x x
1
Bài 7 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) m( 1)x2 2(m3)x m 2 0 b) m( 1)x22(m 3)x m 3 0
Bài 8 Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a) m(3 1)x2 (3m1)x m 4 b) m( 1)x2 2(m1)x3m 3
Bài 9 Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) m( 4)x2(m1)x2m1 b) m( 24m 5)x2 2(m1)x2
Bài 10.Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
2 2
2 2
c)
2
2 1 1
2 2
1
Bài 11.Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt
a) m( 2)x4 2(m1)x22m1 0 b) m( 3)x4 (2m1)x2 3 0
Bài 12.Giải các phương trình sau:
a) x( 1) 16x17 ( x1)(8x 23) b)
2 2
c)
x x
x
2
1
Bài 13.Giải các phương trình sau:
a) x2 8x12 x2 8x12 b) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
Trang 11c) 2 2 x 1 1 3 d) x 14x 49 x 14x 49 14
e) x 1 x2 2(2x21)
Bài 14.Giải các bất phương trình sau:
a) x2 4x 5 4 x17 b) x1 x2 3 c) x2 3 3 x 1 x 5
d)
x
2
2
4
x
x2 x
2
g) x2 2x 3 2 2 x 1 h) x2 1 x 2 3 x1
Bài 15.Giải các phương trình sau:
a) x 2x 3 0 b) 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x1) 16
c) x 4 1 x 1 2 x d) x 1 4 x (x1)(4 x) 5
e) 4x1 4x21 1 f) 3x 2 x1 4 x 9 2 3 x2 5x2
g) x( 5)(2 x) 3 x23x h) x x( 4) x24x(x 2)2 2
i) x2 x211 31 k) x 9 x x29x9
Bài 16.Giải các bất phương trình sau
a) x2 8x12 x 4 b) 5x261x 4x2 c)
x
2 4 3 2
d)
x
2
2
x
2 2
Bài 17.
a)