đây là những tài liệu mà mình sưa tập được nên mình đem chia sẻ cho các bạn dùng. Rất mong là sẽ có ích cho các bạn. Mong các bạn có thể chia sẻ tài liệu này với mọi người xung quanh để có thể giúp ích được cho những bạn cũng đang cần tài liệu tham khảo.
Trang 1VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin
tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1
2 cot
1 tan
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2 2 2
1 cos2 sin
2
1 cos2 cos
2
1 cos2 tan
1 cos2
3 3
3 2
sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) cos2 , sin2 , tan 2 khi cos 5 , 3
b) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 2
c) sin , cos khi sin 2 4, 3
d) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 7
8
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A cos20 cos40 cos60 cos80 o o o o ĐS: 1
16 b) B sin10 sin50 sin 70 o o o ĐS: 1
8 c) C cos cos4 cos5
8
8 e) E sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 o o o o ĐS: 1
16 f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32
32 h) H sin 5 sin15 sin25 sin75 sin85 o o o o o ĐS: 2
512 i) I cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3
256 k) K 96 3 sin cos cos cos cos
l) L cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7
128
Trang 2m) M sin cos cos
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
n
P
a
sin cos cos cos cos
2
cos cos cos
cos cos cos
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin cos4 4x 3 1cos4x
4 4
8 8
c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x
4
d) sin6 x cos6 x 1cos (sinx 2x 4)
e) 1 sinx 2sin2 x
4 2
x
2 2
2 cot cos
g)
x x
x
1 cos
2
2
x
1 sin 2 tan
x
tan 2 tan tan tan3
1 tan tan 2
x
2 cot tan
sin 2
n) 1 1 1 1 1 1 cosx cos ,x với 0 x
Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 7: Cơng thức biến đổi
1 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) tan tan
cos cos
a b
sin( ) tan tan
cos cos
a b
sin( ) cot cot
sin sin
a b
b a
sin( ) cot cot
sin sin
Trang 3sin cos 2.sin 2.cos
2 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
2 1
2 1
2
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2 cos(a b ).cos(a b )
c) 4sin3 sin2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x
e) sin(x30 ).cos(o x 30 )o f) sin sin2
g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x
i) sin x sin x cos2x
k) 4 cos(a b ).cos(b c ).cos(c a )
Bài 2. Chứng minh:
a) 4cos cosx x cos x cos3x
Áp dụng tính:
A sin10 sin 50 sin70 B cos10 cos50 cos70 o o o
Csin 20 sin 40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0
Bài 3. Biến đổi thành tích:
c) 1 3tan 2x d) sin 2xsin 4xsin 6x
e) 3 4cos4 xcos8x f) sin 5xsin 6xsin 7xsin8x
g) 1 sin 2 –cos2 –tan 2 x x x h) sin (2 x90 ) 3cos (o 2 x 90 )o
i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin8 sin 9 sin10
sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5
1 cos cos2 cos3
cos 2 cos 1
sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A cos cos2
c) C sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) D sin 172 osin 432 osin17 sin 43o o
Trang 4e) E 1 o 2sin 70o
2sin10
sin10 cos10
g) G tan80o o o cot10o o o
cot 25 cot 75 tan 25 tan 75
h) H tan90 tan 270 tan 630tan810
ĐS: A 1
2
64
4
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin sin7 sin13 sin19 sin25
ĐS: 1 32 b) 16.sin10 sin30 sin50 sin70 sin90o o o o o ĐS: 1
c) cos24ocos48o cos84o cos12o ĐS: 1
2 d) cos2 cos4 cos6
2
e) cos cos2 cos3
2 f) cos cos5 cos7
g) cos2 cos4 cos6 cos8
h) cos cos3 cos5 cos7 cos9
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) tan 9o tan27o tan63otan81o 4
b) tan 20o tan 40otan80o 3 3
c) tan10o tan 50otan 60otan 70o 2 3
d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o
3
e) tan 20otan 40otan80otan 60o 8sin 40o
f) tan 206 o 33tan 204 o27tan 202 o 3 0
Bài 8. Tính các tổng sau:
a) S1coscos3cos5 cos(2 n 1) ( k)
2 sin sin2 sin3 sin( 1).
3 cos cos3 cos5 cos(2 1).
Trang 5ĐS: S n
1 sin 2
2sin
n
2 cot
2
n
3 cos ;
S
a
4 tan 5 tan 1 5
sin
n x S
x
1
5 tan 2 tan 2
Bài 9.
a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x
4
b) Thay x a n vào tính S n 3a 3 a n 1 3 a n
2
3
ĐS: S n 1 3 sinn a n sin a
Bài 10.
a) Chứng minh rằng: a a
a
sin 2 cos
2sin
2
cos cos cos
n
x P
x
sin .
2 sin 2
Bài 11.
a) Chứng minh rằng: x x
x
b) Tính S 1 1 1n 1 (2n 1 k )
2
Bài 12.
a) Chứng minh rằng: tan tan22x x tan 2x 2tanx
tan tan 2 tan tan 2 tan tan
ĐS: S n tana 2 tann a n
2
Bài 13.Tính sin 2 , biết: 2 x
8 9
Bài 14.Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cotx tanx 2tan 2x 4 cot 4x b) x x
2
1 2sin 2 1 tan 2
1 sin 4 1 tan 2
2 6
x
1 sin 2 cos2 tan 4
cos4 sin 2 cos2
e) tan 6x tan 4x tan 2x tan 2 tan 4 tan 6x x x
x
sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2cos6
g) cos5 cos3x xsin 7 sinx xcos2 cos4x x
Bài 15.
a) Cho sin(2a b ) 5sin b Chứng minh: a b
a
2tan( ) 3 tan
Trang 6b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin2b a 2sin 2b
Bài 16.Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C
b) cosA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C
c) sin2Asin 2Bsin2C 4sin sin sinA B C
d) cos2Acos2Bcos2C 1 4cos cos cosA B C
e) cos2Acos2Bcos2C 1 2 cos cos cosA B C
f) sin2Asin2Bsin2C 2 2cos cos cosA B C
Bài 17.Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:
a) B C vàsin sinB C 1
b) B C 2 và sin cosB C 1 3
Bài 18.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:
a) cos2Acos2Bcos2C 1 b) tan 2Atan 2Btan2C0
cos cos sin sin d)
B a c b
cot 2
Bài 19.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a) atanA btanB (a b)tanA B
2
b) 2 tanBtanCtan tan2B C
sin sin 1 (tan tan )
C
2sin sin cot
2 sin
Bài 20.Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) sinA sinB sinC 3 3
2
3
vào VT.
b) cosA cosB cosC 3
2
3
vào VT.
c) tanAtanBtanC3 3 (với A, B, C nhọn)
d) cos cos cosA B C 1
8
HD: Biến đổi cos cos cosA B C 1
8
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)