Đề cương ôn tập chương II Đại số 9

NÕu ng êi thø nhÊt lµm mét m×nh trong 9 ngµy vµ ngêi thø hai ®Õn lµm tiÕp trong 1 ngµy n÷a th× xong viÖc.. KIÕN THøC CÇN NHí.[r]

Gi¶i: §iÒu kiÖn x 0, y 2 

213x y 2x 3y

02x y x y

NghiÖm cña (II) lµ: ( 1 2; -1-2 2) vµ ( 1  2; 1 2 2) 

II HÖ ph¬ng tr×nh chøa tham sè.

D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè.

Bµi 1: Cho hÖ pt

x ay 1a.x y 2

VÝ dô 1 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m :

(m - 2)x + m2 - 4 = 0 (1)

(m - 2)x = (2 - m)(2 + m) + NÕu m 2 th× (1)  x = - (m + 2)

 (1’)Thay (1’) vµo (2) ta cã:

m(4-my)+4y=10-m

<=>(4-m2)y=10-5m (3)

*) NÕu m =2,

pt (3) thµnh : 0y = 0 (v« sè nghiÖm) => HÖ pt v« sè nghiÖm: (x=4-my; yR)

*) NÕu m = -2, pt(3) thµnh: 0y = 20 (v« nghiÖm) => HÖ pt v« nghiÖm

)

Nghiệm TQ: (4-my; y) với yR

*) Nếu m =-2, hệ phơng trình vô nghiệm

*) Nếu m  2, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x=

(Cần lu ý, sử dụng phơng pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên, bắt buộc phải nhân

hai vế của một trong hai phơng trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót nếu nh không phân trờng

2 m

4 - my





Giải và biện luận hệ theo n

42(m 1)x 5

 hệ có nghiệm duy nhất khi m1

Dạng 3: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình.

*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m(2-my)-2y=1 => (m2+2)y = 2m-1 (3)

Do m2+2> 0 m => (3) luôn có nghiệm duy nhất Suy ra: hệ luôn có nghiệm (x,y) duy nhất

Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)

Hệ có nghiệm duy nhất <=> pt(3) có nghiệm duy nhất <=> m0 và m1.(*)

*) Khi đó, (3) => y =

1

m thay vào (2’) ta có x =

m 1m

x+ay=a +a+1ax+3y=a +4a







Tìm m để x > 0, y < 0

Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

D.4.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình Phơng pháp:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải

Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 - 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7

Vậy (2; 1) là nghiệm của (1)

Bài 2 Cho hệ phơng trình

2

2

15m(m -1)x + my = (1- 2m) (1)

34mx + 2y = m + 3m + 6 (2)







Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3

Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m - 1) 

1

3m.4mThay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:

Từ (I) và (II)  Với m = 1(TMĐK) thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3

D.4.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2; 3)

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.

b) Giải và biện luận hệ phơng trình.

c) Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y

d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm

e) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1

f) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1

g) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

h) Với ( x ; y ) là nghiệm duy nhất của hệ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

 Nếu m = -5 hệ phơng trình đã cho vô nghiệm

 Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vô số nghiệm x = 4 - 2t , y = t với t R

 Nếu m5 và m 7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất:

m 5



và ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng và khác 0 để tìm y

c Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5; m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một biểu thức ta phải chú ý xem biểu thức

đó dơng hay âm để đổi chiều hay không đổi chiều bất đẳng thức

Nếu đề bài cho làm câu c ( hoặc d, e, f, g ) mà không cho câu b thì khi làm, b ớc 1 ta phải tìm

điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, khi đó ta trình bày nh câu b tới (3) và lập luận hệ có nghiệm

d Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5 và m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

Chú ý: Nghiệm ( x ; y ) của hệ đợc gọi là âm nếu x < 0 và y < 0 Nghiệm dơng, không âm,

không dơng của hệ cũng tơng tự.

e Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5 và m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

Kết hợp với các điều kiện ta có  5 m 31 và m 7 là giá trị cần tìm

f Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi

Kết hợp các điều kiện ta có m = - 23 là giá trị cần tìm

g Tìm m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất là nghiệm nguyên

Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi m5 và m 7 .

Khi đó nghiệm của hệ là :

Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 - 17y = 5.

Dạng 6: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.

)

4m - 23m + 2

Để x Z 

73m + 2 Z  3m + 2  Ư(7) = 7; 7;1; 1  

 (Loại)+) 3m + 2 = -1 m = - 1

Thay m = - 3 vào y =

4m - 23m + 2  y = 2 (t/m)

Thay m = - 1 vào y =

4m - 23m + 2  y = 6 (t/m)Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1

4 HƯ (1) cã nghiƯm (x, y) tháa: x + y = 1 

2

m

m 2 +

2m

m 2 = 1  m2 + m - 2 = 0 

m 1(thỏa ĐK có nghiệm)

m 2(không thỏa ĐK có nghiệm)



b) Tính giá trị của tham số m để hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệmduy nhất đó theo m

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m 4

Khi đó hệ (I) có nghiệm duy nhất:

3m 2x

Hay m2 + 2  0 với mọi m

Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

 khi m =

52



Bài 2 Cho hệ pt:

2 2

Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 - (2m)2 = -2(m2 - 4m - 4)

A = -2(m2 - 4m + 4 - 8)

= -2(m2 - 4m + 4) +16 =

2

2(m 2) 16 16

    Do 2(m 2) 2 0 mVậy max A = 16 khi m = 2

Dạng 8: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

 thay vào (2) ta có: -x + 3

5 3y2x

 = 4

 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 2 Cho hệ pt:

(m-1)x+y=mx+(m-1)y=2





Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 3

Cho hệ pt:

2 2





Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Bài 5:

(2)

Cho hÖ ph¬ng tr×nh

x my 32x 3my 5

-giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

hoặc hệ phơng trình DạNG 1: DạNG TOáN CHUYểN ĐộNG

 (2);

stv

 (3)

2 Chuyển động trong môi trờng động (dòng nớc, gió:

Vxuôi = Vthực + Vnớc

Vngợc = Vthực - Vnớc

3 Bài toán có sự tham gia của nhiễu động tử:

Sau 1 giờ khoảng cách giữa 2 động tử thay đổi:

(Nếu chuyển động cùng chiều)

4 Kỹ năng phân chia thời gian của quá trình chuyển động:

B BàI TOáN áP DụNG:

Bài toán 1:

Anh Hùng đi xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo con đờng dài 48km Lúc về anh đi theo con ờng khác ngắn hơn 13km Do đờng khó đi nên vận tốc chỉ bằng 5/6 vận tốc lúc đi Tuy nhiên thờigian về vẫn ít hơn thời gian đi 1/2 giờ

đ-Tính vận tốc lúc đi của anh Hùng?

Hớng dẫn học sinh:

1 Phân tích bài toán:

- Học sinh thấy rõ hai quá trình chuyển động đi và về

- Có 3 đại lợng tham gia: S, v, t

- Mối liên hệ giữa hai quá trình: Svề + 13 = Sđi



;

svt

Vậy vận tốc lúc đi của anh Hùng là 12 (km/h)

Bài toán 2:

Một ca nô chạy trên sông Nếu xuôi dòng 1km và ngợc dòng 1km thì hết 3,5 phút Nếu ca nô

đó chạy xuôi dòng 20km và ngợc dòng 15km thì hết 1 giờ

Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng?

Hớng dẫn học sinh:

- Học sinh thấy đợc sự chuyển động ở đây có hai quá trình xuôi dòng và ngợc dòng

- Mỗi quá trình thực hiện trong hai lần

- Công thức vận dụng: S = v.t

Vxuôi = Vthực + VnớcVngợc = Vthực - Vnớc

Kỹ năng giải hệ phơng trình

Lời giải:

Gọi vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nớc là x và y (km/h); (x>y>0)

Khi đó: - Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: x + y (km/h)

x y1Y

Với x = 5, y = 35 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy: - Vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng là 35 (km/h)

- Vận tốc của dòng nớc chảy là 5 (km/h)

Chú ý: Khi giải hệ phơng trình trên ngoài dùng phơng pháp đặt ẩn phụ ta có thể quy đồng

mẫu thức đa hệ phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 Tìm giá trị thích hợp của ẩn

Bài toán 3:

Nhà Nam và nhà Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ 6 và cách nhau 7km Nếu Nam và Lan đi

xe đạp cùng một lúc và ngợc chiều nhau thì sau 15 phút họ gặp nhau Tính vận tốc mỗi ngời biết vậntốc của mối ngời biết vận tốc của Nam hơn vận tốc của Lan 4km/h

Hớng dãn học sinh:

- Bài toán có hai động tử chuyển động ngợc chiều nhau

- Biết tổng quãng đờng của hai động tử

- Thời gian chuyển động của chúng

- Quan hệ vận tốc của hai động tử

- Công thức vận dụng: S = v.t

- Sau 1 giờ hai động tử đi đợc quãng đờng là: v1 + v2 (km)

Lời giải:

Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) và vận tốc của LAn là y (km/h)

điều kiện (x>y>0)

Sau 1 giờ hai bạn đi đợc tổng quãng đờng là: x + y (km)

Sau 15 phút hai bạn đi đợc tổng quãng đờng là:

1(x y)

4

 (km)

Vậy vận tốc của hai bạn Nam và Lan là 16 km và 12 km

Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập phơng trình, đặt ẩn gián tiếp

Cách 2: Gọi quãng đờng bạn Nam đi đợc sau 15 phút là x (km)

Thì quãng đờng Lan đi đợc là: 7 - x (km)

Vận tốc của Nam:

x4x1/ 4  (km/h)

Vận tốc của Lan:

7 x

4(7 x)1/ 4



(km/h)Theo bài ra ta có phơng trình: 4x - 4(7-x) = 4

Giải ra ta đợc: x = 4 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy quãng đờng Nam đi đợc 4km

Bài tập cùng dạng:

Bài 1: Hai ngời đi trên hai con đờng vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc từ cùng

một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km Tìm vận tốc và quãng đờng biết rằng nếu hai ngời đó cùngxuất phát từ một điểm và đi ngợc chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km

Bài 2: Một ngời dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định Nếu ngời đó

tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng AB giảm đi 1giờ Nếu ngời đó giảm vậntốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng AB tăng 2giờ so với dự định Hỏi ngời đó đi với vậntốc và thời gian dự định là bao nhiêu?

ĐS: Vậy vận tốc mà ngời đó dự định đi là: 30 (km/h)

Và thời gian mà ngời đó dự định đi là: 4giờ

Bài 4:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h khi từ B vềA ng ời đó

chọn con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nênthời gian về ít hơn lúc đi là 20 phút Tính SAB lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB

=30km)

Bài 5:Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B với vận tốc 30 km/h rồi từ B quay về A Biết

rằng thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc dòng là 40 phút Tính SAB Biết vận tốc của dòng là3km/h và vận tốc thật không đổi

Bài 6:Lúc 7h30 phút một ôtô đi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút Biết

quãng đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của

ôtô trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ;

40km/h

DạNG 2: TOáN Về NĂNG SUấT LAO ĐộNG

A KIếN THứC CầN NHớ.

1 Quy tắc giải bài toán:

2 Mối liên hệ giữa các đại lợng: K, N, T

K = N.T;

KNT



và

KTN

Trong đó:

K: Khối lợng công việc

N: Năng suất lao động

T: Thời gian lao động

- Sự tỷ lệ giữa K và N là thuận nếu T không đổi

- Sự tỷ lệ giữa K và T là thuận nếu N không đổi

- Sự tỷ lệ giữa N và T là nghịch nếu K không đổi

3 Sự phân tích trong quá trình lao động:

B BàI TOáN áP DụNG

Bài toán 1:

Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40ha, khi thực hiện đợc mỗi ngày cày đợc 52ha Vìvậy không những đội cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4ha nữa Tính diện tíchthửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch?

Hớng dẫn học sinh:

- Đây là bài toán năng suất lao động thể hiện mối quan hệ của: K, N, T

- Bài toán phân chia hai quá trình thực hiện: Theo kế hoạch và thực tế khi thực hiện công việc

- Bảo đảm sự hởng ứng của hai quá trình làm việc

Lời giải:

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x (ha); (điều kiện x>0)

Thế thì: Thời gian đội cày theo kế hoạch là:

x

40 (ngày)Thực tế diện tích đội cày đợc là: x + 4 (ha)

Thời gian thực tế đội cày hết:

x 452

 (ngày)

Với x=360 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy diện tích thửa ruộng đội dự định cày theo kế hoạch là: 360ha

- Bài toán có hai đối tợng tham gia (hai tổ sản xuất)

- Đề cập tới năng suất lao động của hai tổ khác nhau (phức tạp hơn)

- Sự tăng năng suất ở dạng phần trăm (học sinh hiểu đợc 10%, 15%)

- Biết khối lợng công việc ban đầu và khi vợt mức

Lời giải:

Gọi số chi tiết máy là đợc trong tháng đầu của tổ I là x (chi tiết) (điều kiện 0<x<400)

Thì số chi tiết máy làm đợc trong tháng đầu của tổ II là: 40-x (chi tiết)

Với x=240 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy trong tháng đầu tổ I làm đợc 240 chi tiết

Tổ II làm đợc 400 - 240 = 160 chi tiết

Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình

Bài tập cùng dạng

Bài 1: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản suất 1200sp trong một thời gian nhất định.

Nhng trong thực tế sau khi làm xong 12 tiếng với năng suất dự định thì tổ công nhân cải tiến kĩ thuật

tăng năng suất lên 5 sản phẩm trong 1 giờ Vì vậy họ đã hoàn thành số sản phẩm đó trớc thời hạn là

6 giờ Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm đợc bao nhiêu sản phẩm

Bài 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ Thu hoạch đợc tất

cả 460 tấn thóc Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một 1ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mớithu hoạch đợc ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn

DạNG III DạNG TOáN Về CÔNG VIệC LàM CHUNG, LàM RIÊNG

A KIếN THứC CầN NHớ.

1 Mối quan hệ: K, N, T

2 Sự tơng quan tỷ lệ giữa K, N, T

3 Kỹ năng chọn ẩn, đa dữ kiện quy về đơn vị chung (phần việc)

4 Phân tích các giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn và đơn vị đã chọn.

B BàI TOáN áP DụNG.

Bài toán 1

Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau

14

4 giờ bể đầy Mỗi giờ lợng nớc chảy ở vòi I bằng

112lợng nớc chảy ở vòi II Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy?

Hớng dẫn học sinh:

- Phân tích rõ, đúng hớng bài toán

- Biểu thị quan hệ giữa K, N, T

- Chon đại lợng quy về đơn vị, chọn ẩn thích hợp (phần bể I)

Lời giải:

Gọi thời gian một mình vòi II chảy đầy bể là x (giờ); (điều kiện x>

44

x 2x 24 (vì đổi

4 244

5 25

)

Với x = 12 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy: Một mình vòi II chảy đầy bể là 12 giờ

Còn vòi I một giờ chảy đợc

- Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng đội làm một mình xong công việc

- Chọn toàn bộ khối lợng công việc quy về đơn vị một công việc

Một ngày cả hai đội làm đợc:

 thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy thời gian đội I làm một mình xong công việc là 28 ngày

Và thời gian đội II làm một mình xong công việc là 21 ngày

Bài toán 3:

Hai công nhân cùng làm chung để hoàn thành một công việc trong 7 ngày Trong đó, ngời

thứ 2 làm sau ngời thứ nhất là

11

2 ngày Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu xong côngviệc Biết rằng ngời thứ 2 có thể hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn ngời thứ nhất là 3ngày

Lời giải:

Gọi thời gian ngời thứ 2 làm một mình xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x>7)

Thế thì ngời thứ nhất làm hết: x+3 (ngày)

Ngời thứ hai làm trong 5,5 ngày đợc

15,5

x (công việc)Theo bài ra ta có phơng trình:

Với x=11 thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy: Ngời thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày)

Ngời thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày)

Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phơng trình.

Bài tập cùng dạng Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm

trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏimỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong công việc?

Giải: