Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC. a) Chứng minh tam giác ABM cân.[r]
Trang 1Trường THCS Vô Tranh
-o0o -KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MÔN: TOÁN
Năm học 2016 – 2017
Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
-o0o -Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
a) A =
10 8 8 3 20
;
b) B =
2016
2 3 2015 3
1 3 3 3 3
2
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x biết:
28 x 14 12
b) Tìm x, y nguyên biết: 25 y2 4(x 2016)2
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c
Biết 13a + b + 2c = 0 Chứng minh f(-2) f(3) ≤ 0
b) Cho các số thực x, y, z 0 thỏa mãn:
Tính giá trị cuả biểu thức: M =
x y z
xy yz xz
Bài
4 : (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I.
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
a) Chứng minh tam giác ABM cân
b) Chứng minh MN = AB + AC – BC
c) Tính góc MAN
d) Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM Tia AI cắt GK ở
H Tính góc AHG
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:…………
Trang 2Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi môn toán 7
Năm học 2016-2017
1
a)
b)
2đ
Đặt M = 1+3+32+…+32015
Ta có 3M=3+32+33+…+32016
3M - M=32016 – 1 => M =
2016
3 1
2 2 Khi đó B =
2016
3 1
2 2-
2016 3
2 =
-1 2
1,5 0,5
2
a)
2đ
3 15 5
14 28 12
<=>
3 80
14 84
x
3 80
14 84
x
hoặc
3 80
14 84
x
3 80
14 84
x
3 80
14 84
x 7
6
x
31 42
x
Vậy
7 6
x
;
31 42
x
0,5
0,5 0,5 0,5
b
2đ
Ta có 4 ( x – 2016)2 0 với mọi x nên 25 - y2 0 => y2 25
Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ
y2 là số chính phương lẻ, y2 25 => y2 {1;9;25}
+ Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016 + Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016
=> ( x – 2016)2= 4 x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2
x = 2018 hoặc x = 2014 + Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 không phải là số chính phương (loại )
Vậy với y = 3 thì x = 2018; x = 2014 Với y = 5 thì x = 2016
0,5 1,0
0,5
3
a)
2đ
Ta có f(3)= 9a+3b+c ; f(-2)= 4a-2b+c f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2)
f(3).f(-2) = -f(3)2 0
0,5 0,5 1,0
b)
2đ Vì x, y, z 0 nên theo bài ra ta có: .
x y y z x z
x y y z x z
1 1 1
x y z => x = y = z
1,5
Trang 3Thay x = y = z vào M ta được M = 1 0,5
Trang 4Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm
4
a) 2đ cân ở B.ABD =MBD(cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => AMB 2,0
b) 2đ
Ta có AEC= NEC => CN = CA Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
MN = AB + AC - BC
0,5 1,0 0,5
c) 2đ
Từ AMB cân ở M =>
90
o
o
Từ ANC cân ở N =>
90
o
o
Trong AMN có MAN 180o AMB ANC =
180 (90 ) (90 )
=
90
45
o o
ABC ACB
(Vì ABC vuông tại A nên ABC ACB 90o) Vậy MAN 45o
0,5 0,5
1,0
d) 2đ
Vì AMB cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường cao => BDAM hay GI AK
ANC cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường cao => CEAN hay KI AG
Trong AKG có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I =>
I là trực tâm của AKG
AI GK ở H => AHG 90o
0,5 0,5 0,5 0,5