Các chủ đề hình học lớp 9

Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tìm vị trí của C sao cho khoảng cách MN dà[r]



Tài liệu sưu tầm

Tài liệu sưu tầm

H CB

A

H CB

A

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, biết rằng AB 6cm AC, 8cm Tính ,

BH AH

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 12cm AC, 5cm BC, 13cm , đường cao AH Tính AH

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC AH là đường cao, , D E lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC ,Chứng minh rằng:

a) AD AB AE AC b) ADE ABC

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao Các điểm , N M trên các đường thẳng ,

BD CE sao cho  AMBANC 900

Chứng minh rằng tam giác AMN cân

Bài 5: Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB Gọi F là giao điểm của DE và BC

Chứng minh rằng: 12 1 2 12

DA DE DF

Bài 6:Cho đoạn thẳng AB 4cm C là điểm di động sao cho BC 3cm Vẽ tam giác AMN vuông tại

A có AC là đường cao Xác định vị trí điểm C để 1 2 1 2

Tam giác ABC vuông tại A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có:

CB

Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại A

Mà AH là đường cao của tam giác ABC (gt)

Do đó theo hệ thức liên quan đến đường cao,

Ta có: AH BC AB AC

.13 12.5

AH 

60( )13

• Qua D dựng đường thẳng vuông góc với

DE , cắt BC tại P Trong tam giác vuông

DPF, có là đường cao nên

N

CBA

H

15°

x N

M

E

B A

Xét AMN vuông tại ,A AC là đường cao (gt)

Theo hệ thức liên quan đường cao trong tam giác vuông, ta có:

Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho BC 3cm

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC

Tam giác vuông tại A , AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông,

Ta có: AH2 BH HC BH ;  (gt); HC a  (gt) b

AB C

AC  B

Bài 10: Với góc nhọn  tùy ý Chứng minh rằng:

a) sin1, cos <1 b) tg sin

Bài 11: Cho biết sin 4

sin 46

cotg28 tg62

Bài 13: Tính sin 102 0sin 202 0  sin 702 0sin 802 0

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC a AC, b AB,  c

Bài 17: Cho hai góc   sao cho ,   900

Chứng minh rằng ()sin cos sin cos 

Bài 18: Cho góc nhon xAy Các điểm ,B C lần lượt di động trên các tia AB AC sao cho: ,

6

ABAC  cm Xác định vị trí ,B C để diện tích tam giác ABC lớn nhất

Hướng dẫn giải Bài 9:

5

 

4sin 5 4tg

sin 50 sin 60 sin 70 sin 80

         sin 102   sin 202   sin 302   sin 402 

cos 40 cos 30 cos 20 cos 10

a H

A

CB

A

H

α

c b

a H

A

H

C B

Giả sử có tam giác ABC cos AB c BC,  a

Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB BC là , 

Vẽ đường cao AH của tam giác ABC

Xét ABC có B,C  , vì    900 nên BAC là góc tù

Vẽ các đường cao AH BK , của ABC

Vẽ CH là đường cao của tam giác ABC

Xét AHC vuông tại H , theo tỉ lệ số lượng giác

của góc nhọn, ta có:

sinHAC CH

AC



 sin

a) sin6cos63 sin2cos2

b) sin4cos4(sincos )(sin cos )

Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC và b c 2a Chứng minh rằng:

a) sinBsinC 2 sinA b) 2 1 1

2 2 2

2

2( )

a

b c l

b c



 (l a là độ dài phân giác của góc A )

Bài 23: Cho tam giác ABC có BC a AC; b AB;  c

Bài 24: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau

Chứng minh: cotg cotg 2

3

B C 

Bài 25: Chứng minh rằng:

a) cos 2cos2sin2 b) sin 22 sin cos 

Bài 26: Không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi Tính sin 30 , cos 30 , sin 15 , cos15 0 0 0 0

Hướng dẫn giải Bài 19:

2

sincos 1

sin 2 sin 40 sin 62 sin 65

    (góc tăng, sin tăng) b) cotg420 tg(90042 )0 tg480

a) Theo kết quả bài toán 14, ta có:

sin sin sin

sin sin 2 sin

2 sin sin sin

A B C

c a a

B AE AB

 (1) (BE là đường phân giác) Theo tính chất đường phân giác, ta còn có:

Ta thấy: cos 452 0 sin 452 0

Và sin 452 0 cos 452 0 1 sin 452 0 1

2

    Vậy 2 2 2

2

2( )

a

b c l

b c





Bài 23:

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC

Theo tính chát đường phân giác của tam giác ta có:

GP PB PC

AP  

M N

G

P E

B A

Xét tam giác ABC vuông tại A có AC 1,BC  2

Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BDBC





Bài 28: Cho tam giác DEF có DE 9cm DF, 15cm EF, 12cm Tính sinEDF, tgEDF

Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  24cm AC, 5cm Tính sin B

Bài 30: Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn a) sin 63 , cos 24 , cos 70 , sin 68 , sin 500 0 0 0 0

b) cotg28 , tg35 , tg47 , cotg65 , cotg210 0 0 0 0

Bài 31: Tính:

a) (sin 340cos 56 )0 24 sin 34 cos 560 0

b) (cos 360sin 36 ).(cos 370 0sin 38 ).(cos 420 0sin 48 )0

Bài 34: Cho tam giác ABC , các đường cao là AD BE CF , ,

Chứng minh rằng: DEF 1 cos2 cos2 cos2

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lí Py-ta-go có:

E

D

5cm 24

C B

13

AC B BC

13

AB B BC

 12

tg

5

AC B AB

12

AB B AC

15 5

EF EDF

cos 70 sin 50 sin 63 cos 21 sin 68

     (góc tăng, sin tăng) b) cotg280 cotg(90062 )0

M H CB

A

IE

D

CB

Do đó: (tg520cotg43 )(tg290 0cotg61 )(tg130 0tg24 )0  0

Bài 32:

Vẽ đường cao AH của ABC

Do AMC cân đỉnh A (vì AM AC) có AH là đường cao, nên AH là đường trung tuyến

Xét AEF và ABC có: EAF (chung)

ABC AEF BDF CDE

Chương II: ĐƯỜNG TRÒN

§1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

BÀI TẬP

Bài 35: Cho ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

b) Chứng minh rằng 1 2

4

ABC

S  BC

Bài 36: Cho một tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi , , M N R và S

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC CD và DA, , Chứng minh rằng bốn điểm , ,M N R và S cùng

nằm trên một đường tròn

Bài 37: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ; )O R Các đường cao BD và CE của tam giác

ABC cắt nhau tại H Vẽ đường kính AF của đường tròn ( ) O

a) Chứng minh BH FC

b) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành

c) Vẽ OM BC tại M Chứng minh , ,H M F thẳng hàng

d) Gọi G là trọng tâm của tam giácABC

Chứng minh rằng S AHG 2S AGO

Bài 38: Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn ( ; ) O R B là điểm di động trên đường tròn ( )O

Gọi ,M I lần lượt là trung điểm của AB OA ,

Xác định vị trí của điểm B để độ dài AB lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 42: Cho đường tròn ( ; )O R và hai điểm ,A B nằm ngoài đường tròn sao cho OA2R

Tìm điểm M trên đường tròn để MA2MB đạt giá trị nhỏ nhất

H O CB

A

RS

NM

M

EH

F

D

CB

a) OA OB OC(R)

2

BC OA

AO  nên tam giác ABC vuông tại A

b) Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC có AH AO

 là đường trung bình của ABC nên MN AC (1)

Tương tự: RS là đường trung bình của ACD nên RS AC (2)

 là trung điểm của BC (Định lý đường tròn vuông góc dây cung)

Tứ giác BHCF là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên là M trung điểm của HF

I

B

AO

K

HD

C

BA

M

KD

 là trọng tâm của tam giác AHF và HO là đường trung tuyến của tam giác AHF

IM  R, không đổi

Do đó M thuộc đường tròn cố định tâm I , bán kính 1

2R b) Xét ba điểm , ,O A B có: OA OB ABOA OB

Nên AC là trung trực của BD , BD là trung trực của AC

Do đó: ,I K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC ,

O'O

Tương tự ta có 2 4

2

4

a OA

R

 Tam giác OAB vuông tại O , theo định lí Py-ta-go có:

12

Dấu “=” xảy ra M nằm giữa B và C

Vậy khi M là giao điểm của đoạn thẳng BC và đường tròn ( ) O , (C là điểm trên đoạn OA sao

Kẻ đoạn thẳng OO song song và bằng đoạn

thẳng AB (theo chiều từ A đến B như hình vẽ)

Vì tứ giác MABC là hình bình hành nên ta có:

Lấy một điểm C  bất kì trên đường tròn ( ; ) O R

Vẽ hình bình hành ABC M   , ta phải chứng minh M  thuộc đường tròn ( ; ) O R

Thật vậy, vì OO AB 

Nên OOM C  và OOM C 

Suy ra tứ giác OO C M   là hình bình hành và ta có:

OMOC R

Điều này chứng tỏ rằng M  thuộc đường tròn ( ; ) O R

Vậy tập hợp (quĩ tích) các điểm C thuộc đường tròn tâm O , bán kính R với OO AB  và

điểm còn lại nằm trong hai đường tròn này

Thậy vậy, giả sử có C không thuộc hai hình này có ABC mà AB1,AC 1,BC  Mâu 1thuẫn gt

Hai hình tròn này chứa 2005 điển nên có một hình tròn chứa không ít hơn 1003 điểm đó

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài 45: Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng , , ,B E D C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng , , ,A D H E cùng thuộc một đường tròn

a) Chứng minh H là trung điểm của AB

b) Tính OH AB, Diện tích OAB theo R

c) Tia OH cắt đường tròn ( ; )O R tại C Tứ giác OABC là hình gì? Vì sao?

Bài 48: Cho một nửa đường tròn ( )O có đường kính AB và một dây cung CD Vẽ AP và BS vuông góc

với CD P CD S(  , CD) Chứng minh:

a) P và S ở ngoài đường tròn ( )O

b) PC DS

c) S APSB S ACB S ADB

Bài 49: Cho đường tròn ( ; )O R và một dây cung AB Gọi I là trung điểm của AB Tia OI cắt cung AB tại M

a) Cho R5cm AB; 6cm Tính độ dài dây cung MA

b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua O , giả sử MA5cm AB; 6cm Tính bán kính R

Bài 50: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C và trên đoạn thẳng

OB lấy điểm D sao cho OC OD Từ C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở E và F Gọi

I là trung điểm của EF Chứng minh rằng: S CEF S DEF EF OI

Bài 51: Cho đoạn thẳng AB6cm Các đường tròn đi qua ,A B đường tròn nào có độ dài bán kính nhỏ nhất

Bài 52: Cho đường tròn ( ; )O R Các điểm , , ,A B C D thuộc đường tròn ( ; )O R

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD

M

B A

O

HC

BA

Bài 55: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB Vẽ dây CD không qua tâm và không vuông góc với AB

Qua A và B vẽ các đường vuông góc với CD tại E và F Chứng minh CF DE

Bài 56: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB , C D là hai điểm trên nửa đường tròn ( )O sao cho

 45 ,0  300

CAB  DAB  AC cắt BD tại , M AD cắt BC tại N

a) Chứng minh rằng MN AB

b) Tính diện tích ABM theo R

Bài 57: Cho đường tròn ( ; )O R và ( l O l 2 )R

a) Tìm quỹ tích trung điểm M của tất cả các dây cung AB  1 của đường tròn ( )O

b) Gọi ,C D là hai điểm tùy ý sao cho CD 1 Hãy dựng hình bình hành CDEF sao cho , E F nằm trên đường tròn ( ; )O R (Chỉ trình bày cách dựng và chứn minh)

Hướng dẫn giải Bài 45:

a) BEC 90 (0CE AB BDC), 90 (0 BD AC)

Gọi M là trung điểm BC , EBC vuông

tại E có EM là đường trung tuyến

 cùng thuôc đường tròn tâm M

b) Chứng minh tương tự có , , ,A D H E cùng thuộc đường tròn

c) BED 90 ,0 DE là dây cung khác đường kính đường tròn đường kính BC

 không là đường kính của đường tròn ( )O

M là trung điểm của dây cung AB

 là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) OAB cân tại O (vì OA OB  ) có: R

OH là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác

602

AOH HOB AOB

E

MI

B

A

O

FI

E

D BC

K

H I

DC

BA

• IAN cho ta: IN2 NA2AI2 5232 16IN 4(cm)

• NEO NIA cho ta: NE ON

NI  NA

2, 5.5

3,1254

CEF

S  CE EF

1 .2

D CB

ABCD

S  R R R

Dấu “=” xảy ra

22

AC BD, là hai đường kính vuông góc nhau

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD là 2R 2

ngoại tiếp các tam giác ABD , ACD

  900

ADB ADC

D

 là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC

Vậy khi D là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC thì

B M

MH HB

 

33

2

1 . (3 3)2

OM  R Nên

2

4

OM R Tam giác vuông OM A  cho ta:

A M  OA OM

Hình a

H

F

EKG

Bài 58: Cho đường tròn ( ;3 )O cm , dây AB 4cm

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b) M là điểm sao cho OM 2cm Vẽ dây CD vuông góc OM tại M

So sánh AB và CD

Bài 59: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R , có  A80 ,0C 500

Gọi khoảng cách từ O đến các cạnh AB AC BC , , lần lượt là OH OK OD , ,

Bài 62: Cho điểm A cố định ở bên trong đường tròn ( ; ) O R ( A 0) và BC là dây cung quay quanh A

Xác định vị trí của dây cung BC lúc này dây cung BC ngắn nhất

Bài 63: Cho điểm BC cố định ở bên trong đường tròn ( ; ) O R ( A 0) và BC là điểm chuyển động trên đường tròn ( )O Xác định vị trí của điểm B sao cho góc ABO lớn nhất

Hướng dẫn giải Bài 58:

 là trung điểm của dây cung AB

(Định lý đường kính vuông góc với dây cung)

Nên OH OK (Định lí liên hệ giữa dây và

khoảng cách từ tâm đến dây)

Và H K , lần lượt là trung điểm của AB CD ,

(Định lý đường kính vuông góc dây cung(

BA

O

H

CB

A

Bài 63:

Vẽ OH AB tại H , ta có góc OBH nhọn, OH OA , không đổi

Tam giác OBH vuông tại H

Nên OH OBsinOBH

sin

Vậy khi AB vuông góc OA tại A thì góc  ABO lớn nhất

4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP

Bài 64: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm AC, 4cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính

2, 8cm

Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm

Bài 65: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác

Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA

Bài 66: Cho đường thẳng m Tâm A của tất cả các đường tròn có bán kính là 3cm và đường thẳng m tiếp

xúc nhau nằm trên đường nào?

Bài 67: Cho hình thang vuông ABCD có  AB 90 ,0 AD2cm BC, 6cm CD, 8cm

Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD

Bài 68: Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB và tiếp tuyến xAy Trên xy lấy một điểm M , kẻ dây cung

BN song song với OM Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

Bài 69: Chứng minh rằng:

a) Nếu đường thẳng xy không cắt ( ; ) O R thì mọi điểm của xy nằm bên ngoài đường tròn đó

b) Nếu đường thẳng xy qua một điểm bên trong ( ; ) O R thì phải cắt đường tròn này tại hai điểm phân biệt

c) Nếu đường thẳng xy cắt ( ; ) O R tại A và B (A khác B ) thì mọi điểm nằm giữa A và B đều nằm bên trong đường tròn, các điểm còn lại (trừ A , B ) nằm bên ngoài đường tròn đó

Bài 70: Cho đường thẳng d và đường tròn ( ; ) O R không giao nhau A là điểm trên ( )O

Xác định vị trí điểm A để khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn nhất

Bài 71: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( ; ) O R Đường thẳng d qua A , gọi B và C là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ( ) O

Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng AB AC lớn nhất

Hướng dẫn giải Bài 64:

Vẽ AH là đường cao của tam giác vuông ABC

BA

B

A

d'md

IK

D

CB

A

O

N

BA

My

x

dO

Có AB 3cm không đổi, đường thẳng m cố định

Do đó: A thuộc đường thẳng song song với m cách

m một khoảng cách bằng 3cm

Bài 67:

Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của CD và AB

Ta có: IK là đường trung bình của hình thang ABCD

Mà OBN cân tại O

Nên: OBM ONB

Do đó: MON AOM

Ta có: OAM  ONM

(vì OAON R AOM; MON OM; là cạnh chung) Suy ra: ONM OAM

Ta lại có: OAM 900 (vì xy là tiếp tuyến tại A )

Nên ta có: ONM 900, hay MN ON

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

Nên OM RM ở ngoài ( ; )O R

b) Gọi M là một điểm ở bên trong ( ; ) O R thì OM  R

Giả sử đường thẳng xy qua M kẻ OH xy thì OH  d

Ta có: OH OM

Do đó d suy ra đường thẳng xy cắt ( ; )R O R ở hai điểm phân biệt

c) Giả sử M là một điểm bất kỳ nằm giữa A và B có thể xảy ta ba trường hợp:

• Nếu M H khi đó OM OH RM ở bên trong đường tròn ( ; )O R

• Nếu M nằm giữa A và H khi đó MH AH OM OA (OM và OA là hai đường

xiên kẻ từ O tới xy , có hai hình chiếu trên xy là MH và AH )

Do đó OM RM ở bên trong đường tròn ( ; )O R

• M nằm giữa B và H , chứng minh tương tự trên ta được M ở bên trong đường tròn

• Nếu d trùng với AD hoặc AD

Ta có các điểm , ,B C D trùng nhau nên

C B

AB là tiếp tuyến của đường tròn ( ;C CA )

CA là tiếp tuyến của đường tròn ( ;B BA )

Bài 73: Từ điểm A ở ngoài đường tròn ( ; ) O R vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), C là điểm trên đường

tròn ( )O sao cho AC AB

a) Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của đường tròn ( ) O

b) D là điểm trên AC Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại M cắt đường tròn ( ) O tại E (E

khác C ) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

Bài 74: Cho đường tròn ( ; )O R , đường kính AB , M là điểm trên ( ) O , AM cắt tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại B và C

a) Tính AM AC theo R

b) Xác định vị trí M để 2AM AC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 75: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB M là điểm di động trên nửa đường tròn Qua M vẽ

tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi ,D C lần lượt là hình chiếu của ,A B trên tiếp tuyến ấy

a) Chứng minh rằng AD BC không đổi

b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất

Bài 76: Cho đường tròn ( ; )O R có AB là dây cung cố định không qua tâm O , C là điểm di động trên cung lớn AB (C không trùng với A và B )

Gọi ( )d là tiếp tuyến tại C của đường tròn ( ; ) O R và , M N lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ A

và B đến ( )d Tìm vị trí của C sao cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn nhất

Bài 77: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB Điểm M trên đường tròn ( ) O H là hình chiếu của

M trên AB

Xác định vị trí của M để AH HM lớn nhất

Hướng dẫn giải Bài 72:

(Định lí đường kính vuông góc dây cung)

OD là đường trung trực của đoạn thẳng EC

DE DC

 

Do đó: OED OCD 900 (tính chất đối xứng trục)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

B

E

MD

C

B

K N

M

C

B A

 trên ( )O sao cho  MAB 450

Vậy khi M trên đường tròn ( ) O sao cho

 là trung điểm của CD

Ta có OM là đường trung bình của hình thang ABCD

DC AB

 

M

 là giao điểm của đường thẳng vuông góc AB vẽ từ O và đường tròn ( )O

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ O và đường tròn ( ) O thì diện

CB

Dấu “=” xảy ra K B

MN AB

C là giao điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB

Vậy khoảng cách MN dài nhất khi C là điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB

• Ta có: MN  0

Dấu “=” xảy ra M N

M N A B, , , thẳng hàng

 d AB

C là một đầu mút của đường kính song song AB

Vậy khoảng cách ngắn nhất C là một đầu mút của đường kính của đường tròn ( ) O song song với

Mà HCM 450 nên HMC 450 HCM HMC

HMC

 có HCM HMC HM HC

Do đó: AH HM AHHC AC

Vậy khi M ở trên đường tròn ( ; ) O R sao cho  BOM 450 thì tổng AH HM lớn nhất

6 TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

BÀI TẬP Bài 78: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( ) O , kẻ các tiếp tuyến AB AC , với đường tròn ( ,B C là các

tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn ( ) O , cắt các tiếp tuyến AB AC ,

lần lượt ở D và E

Chứng minh rằng:

a) Chu vi ADE 2AB b) BOC 2DOE

Bài 79: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB Gọi Ax By , là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn

và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác

,

A B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By , lần lượt tại ,C D

a) Chứng minh rằng CD AC BD COD; 900

b) Chứng minh rằng AC BD R2

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Bài 80: Chọn câu trả lời đúng:

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi , R r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC Có được:

A) ABAC R r B) ABAC 2(R r)

( )2

ABAC  Rr D) ABAC 2R r

MEC

B

A

O

IM

yx

b) Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn luôn cố định

Bài 83: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn ( ; ) O R vẽ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC

Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH

Bài 84: Cho đường tròn ( ; )O r nội tiếp tam giác ABC với BC tại D Vẽ đường kính DE , AE cắt BC tại M

Chứng minh rằng BD CM

Bài 85: Cho tam giác nhọn ABC có AD BE CF , , là ba đường cao cắt nhau tại , ,H M N lần lượt là hình chiếu của ,B C trên đường thẳng EF

Chứng minh rằng:

a) Tam giác AEF ABC

b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) A B C , , là các tâm các đường tròn bàng tiếp của tam giác DEF

d) DEDF MN

Hướng dẫn giải Bài 78:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:

Do đó: CM MD OM2 AC BD R2

c) Gọi I là trung điểm CD

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ( , ) I IO hay đường tròn đường kính CD

d) Xét CAN có CA DB , theo hệ quả của Định lí Ta-lét có:

4

BC  ABAC



Q

P

IKO

CI

AD

x

NE

CB

b) Từ AEF ∽ABC AEF ABC

Chứng minh tương tự trên cũng có: DEC ABC

Suy ra: AEF DEC

Ta có: DEC HED AEFHEF( 90 ) 0

Nên HEDHEF

EH

 là đường phân giác của DEF

Chứng minh tương tự cũng có DH là đường phân giác của tam giác DEF

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) Gọi Fx là tia đối của tia FD

A là giao điểm của đường phân giác góc D và

đường phân giác góc ngoài đỉnh F nên A là tâm

đường tròn bàng tiếp trong góc D của tam giác DEF

Chứng minh tương tự có C là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc E của tam giác DEF , C là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc F của tam giác DEF

d) Theo bài toán, ta có:

( ) 2

CV DEF  EM,

a) Chứng tỏ rằng hai đường tròn ( )O và ( ) O cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Gọi ,A B là giao điểm của hai đường tròn ( )O và ( ) O Chứng minh rằng OA là tiếp tuyến của

đường tròn ( )O , OA là tiếp tuyến của đường tròn ( )O Tính độ dài AB

Bài 87: Cho hai đường tròn ( ;13 )O cm và ( ;15 O cm) cắt nhau tại A và B , biết AB24cm

Tính độ dài đoạn OO

Bài 88: Cho hai đường tròn ( )O và ( ) O tiếp xúc tại A Đường thẳng qua A cắt ( ) O tại B , cắt ( ) O tại C

(B C khác A ) ,

a) Chứng minh rằng OB O C 

b) Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn ( ) O , d  là tiếp tuyến tại C của đường tròn ( ) O Chứng

minh rằng d d

Bài 89: Cho đường tròn ( ; )O R và ( ; ) O R   tiếp xúc ngoài nhau tại A BC là tiếp tuyến chung ngoài của

hai đường tròn (B( ),O C ( ))O Chứng minh rằng BAC 90 ,0 BC 2 RR

Bài 90: Cho đường tròn ( )O và một điểm A cố định trong đường tròn Qua A vẽ dây BC của đường tròn

a) Nếu cách dụng đường tròn ( )O qua A 1 và tiếp xúc với đường tròn ( )O tại B , đường tròn ( )O qua 2

A và tiếp xúc với đường tròn ( )O tại C

b) Chứng minh tứ giác OO AO là hình bình hành Dây BC 1 2 phải có điều kiện gì để tứ giác OO AO 1 2

là hình thoi

c) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn ( )O và 1 ( )O2 Khi cắt tuyến BAC quay quanh A thì

M chạy trên đường nào?

Bài 91: Cho hai đường tròn ( ; )O R và ( ; ) O R   tiếp xúc ngoài nhau tại A BC là tiếp tuyến chung ngoài

của hai đường tròn ( ,B C là các tiếp tuyến; B( ),O C ( )O )

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO

b) Chứng minh rằng đường tròn đường kinh OO tiếp xúc với đường thẳng BC

c) Giả sử BOO 600 Hãy viết hệ thức giữa R và R

d) Đường tròn ( ; )K x tiếp xúc với cả hai đường tròn ( ),( )O O và tiếp xúc với BC tại M Tính x

theo R R ,

Bài 92: Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB , C là một điểm bất kỳ nằm giữa A và B Vẽ đường tròn

tâm I , đường kính CA ; đường tròn tâm K , đường kính CB

a) Hai đường tròn ( )I và ( ) K có vị trí như thế nào đối với nhau

b) Đường vuông góc với AB tại C cắt đường tròn ( ) O ở D và E DA cắt đường tròn ( ) I ở M ,

DB cắt đường tròn ( )K ở N

c) Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn nhất

d) Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất

Bài 93: Cho hai đường tròn ( )O và ( ) O tiếp xúc ngoài tại S Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB CD , với ,A C

thuộc ( ), ,O B D thuộc ( )O

Chứng minh rằng AB CD AC BD

A

H O'O

B

A

H O' O

H

B

A

O'O

Bài 94: Cho hai đường tròn ( )O và ( ) O cắt nhau tại ,A B Vẽ hình bình hành OCO B

Chứng minh rằng AC OO

Bài 95: Cho ba đường tròn có bán kính R R R , ,1 2 tiếp xúc ngoài lẫn nhau đôi một và tiếp xúc với một đường

thẳng, trong đó R là bán kính có độ dài nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất của R R 1, 2 theo độ dài R cho trước

Bài 96: Cho hai đường tròn ( ),( )O O cắt nhau tại ,A B Đường thẳng d di động qua A cắt ( ) O tại D (

,

C D khác A )

Xác định vị trí của đường thẳng d để đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất

Hướng dẫn giải Bài 86:

a) 12 5 1312 5

(R R   d R R)

Nên hai đường tròn ( )O và ( ) O

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Theo định lí Py-ta-go đảo có tam giác

OAO vuông tại A

OAO A

Do đó: OA là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

O A là tiếp tuyến của đường tròn ( )O OO là đường trung trực của đoạn AB Gọi H là giao điểm của OO và AB

13

AB AH  cm

Bài 87:

a) Gọi H là giao điểm của OO là AB

Hai đường tròn ( )O , ( ) O cắt nhau tại ,A B (gt)

Nên OO là đường trung trực của dây chung AB

Ta có: , 12( )

2

AB

AH OO AH   cm OHA

 vuông tại H , theo định lý Py-ta-go có:

B

A

O'O

Vẽ tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn cắt

BC tại D Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau có:

 có AD là đường trung tuyến và

a) – Vì đường tròn ( )O qua A và B nên 1 O 1

ở trên đường trung trực d của AB

- Vì đường tròn ( )O 1 tiếp xúc trong với đường

tròn ( )O tại B nên O 1 ở trên đoạn OB

Do đó, ta có cách dựng đường tròn ( )O 1 như sau:

• Dựng đường trung trực d của AB , d cắt OB tại O 1

• Dựng đường tròn ( )O bán kính 1 O A1 Đây là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường tròn

( )O tại B

• Cách dựng đường tròn ( )O 2 hoàn toàn tương tự như cách dựng đường tròn ( )O 1

xK

MI

CB

c) Gọi I và E lần lượt là giao điểm của O O 1 2 với OA và AM Vì tứ giác OO AO là hình bình 1 2

hành nên I là trung điểm của OA , suy ra I là điểm cố định

Mặt khác vì O O 1 2 là đường nối tâm, AM là dây chung của hai đường tròn nên O O1 2 AM tại

trung điểm E của AM

Do đó IE là đường trung bình của tam giác OAM mà IE AM nên tam giác OMA vuông tại

M Vậy khi cát tuyến BAC quay quanh A thì M chạy trên đường tròn đường kính OA cố định

Bài 91:

a) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại I

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì IA IB IC

Vì O A O , , thẳng hàng nên IA OO

Vậy đường tròn ( ; )

2

BC

I tiếp xúc với OO

b) Gọi E là trung điểm của OO , ta có IE là đường trung bình của hình thang OBCO (OB O C 

E OO tiếp xúc với BC tại I

c) BOO 600 nên ta có ngay OBO C Kẻ O H OB tại H

Tứ giác BCO H  là hình chữ nhật nên HB O C  R