Hàm số lượng giác: + Định nghĩa các hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx.. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: Định nghĩa, Công thức tính giá trị, phân biệt rõ sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
MÔN TOÁN KHỐI 11
PHẦN A : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.Lý thuyết :
1 Hàm số lượng giác:
+ Định nghĩa các hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx
+ Tập xác định, tập giá trị , tính tuần hoàn, chẵn lẻ, sự biến thiên, đồ thị
2 Các phương trình lượng giác:
2.1 phương trình lượng giác cơ bản:
Dạng 1: sinx = a (1)
+ a > 1, phương trình (1) vô nghiệm
+ a ≤1, Công thức nghiệm phương trình (1)
arcsin 2 ;
arcsin 2
x a k
k
π
2
x k
α
= +
= ⇔ = − + ∈¢
Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì
0
360
x k
α
α
= +
Tæng qu¸t: sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ;
2
f x g x k
f x g x k
π
D¹ng 2: cos x a=
+ a > 1, Phương trình (1) vô nghiệm
+ a ≤1, NghiÖm tæng qu¸t: x= ±arccosa k+ 2 ;π k∈¢
• §Æc biÖt: cosx=cosα ⇔ = ± +x α k2 ;π k∈¢
Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì
x = ±α +k360 ;0 k∈¢
Tæng qu¸t: cos f x( ) =cosg x( ) ⇔ f x( ) = ±g x( ) +k2 ;π k∈¢
D¹ng 3: tan x a= ;
2
x π k kπ
¢ nghiÖm tæng qu¸t: x= +α k kπ; ∈¢
• §Æc biÖt: tanx=tanα ⇔ = +x α k kπ; ∈¢
Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì
x = α +k180 ;0 k∈¢
Tæng qu¸t: tan f x( ) =tang x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+k kπ; ∈¢
D¹ng 4: cot x a= (x k k≠ π; ∈¢ nghiÖm tæng qu¸t: ) x= +α k kπ; ∈¢
• §Æc biÖt: cotx=cotα ⇔ = +x α k kπ; ∈¢
Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì
x = α +k180 ;0 k∈¢
Trang 2Tổng quát: cot f x( ) =cotg x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+k kπ; ∈Â
2.2 phương trỡnh lượng giỏc dạng thường gặp:
* Phương trỡnh bậc nhất:
Dạng: at + b = 0 ( a≠0, t là một trong 4 hàm sinx, cosx, tanx, cotx)
Cỏch giải: t = - b
a, sau đú giải giống phương trỡnh lượng giỏc cơ bản.
* Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác.
+ Định nghĩa: Là phơng trình có dạng 2 ( )
at + + =bt c a≠ trong đó t là một trong bốn hàm số lợng giác: sin ,cos , tan ,cotx x x x
+ Cách giải:
Bớc 1: Đặt t bằng hàm số lợng giác có trong phơng trình;
Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t ( t = sinx, t = cosx thỡ t ≤1)
Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mãn điều kiện);
Bớc 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phơng trình lợng giác cơ bản ⇒ nghiệm x
*Phương trỡnh dạng asinx + bcosx = c (2)
Cỏch giải: Đưa (2) về dạng 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b + a b = a b
cos sin
a
a b b
a b
α α
(*) trở thành sin(x ) 2c 2
a b
α + =
+ là phơng trình lợng giác cơ bản đã biết cách giải!
II BÀI TẬP
1 Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2cos 1
y
x
=
x
y= 3) sin 2
2
x y
x
=
−
4) y=cot 2x 5) cos 21
1
y
x
=
− 6) y= cosx+1
Bài 2: Giải cỏc phương trỡnh sau:
1) sin2x = 1/2 2) six(x- / 4π ) = 3 / 2 3) cos3x = -1/24) cos( / 6π -x) = 2 / 2
5) 2cosx - 2 = 0 6) 3tanx – 3 = 0 7) 3cot2x + 3 = 0 8) 2sin3x – 1 = 0
Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh sau:
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + 2cosx – 2 = 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3cosx + 3 = 0
9) cot2x - 4cotx + 3 = 0 10) 2 tanx−3cotx− =2 0
11) 2sin2 x−5sin cosx x−cos2x= −2 12)2sin2x−5sin cosx x+3cos2x=0
Cõu 4 Giải cỏc phương trỡnh:
1) 3sinx−4cosx=1 2) 2sinx−2cosx= 2
3) 3sinx+4cosx=5 4) 3 sin 3x+cos3x= 2
2
Bài tập tham khảo:
Giải cỏc phương trỡnh sau:
1) cos7x – cos4x + cosx = 0 2) sin2x + 2sinx = sinx/2 3) cosx + cos2x – cos3x = 1
Trang 34) 9s inx 6 cos+ x−3sin 2x c+ os2x=8 5) ( )2
os2 os4 6 sin 3
c x c− x = + x
6) 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 7)(1 t anx 1 sin 2− ) ( + x) = +1 t anx 8)cos os2 3
4
x
x c=
9) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 10) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
11) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 12) sin(4x + π
4)sin6x = sin(10x -
π
4)
13) tan(2π
3 - x) + tan(
π
3 - x) + tan2x = 0 14) (1 - cos2x)sin2x = 3sin
2x 15) tan2x = 1 - cosx
1 - sinx
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I.LÝ THUYẾT
1 Quy tắc đếm:
* Quy tắc cộng, Quy tắc nhân, phân biệt sự khác nhau của hai quy tắc
2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: Định nghĩa, Công thức tính giá trị, phân biệt rõ sự khác nhau giữa chỉnh
hợp và tổ hợp chập k của n phần tử.Các tính chất kèm theo
3 Nhị thức Newton : Công thức nhị thức Niutơn và các tính chất kèm theo.
4 Phép thử và biến cố: Cần nắm các khái niệm Phép thử, không gian mẫu của phép thử, biến cố và các khái
niệm liên quan, các phép toán trên các biến cố
5 Xác suất của biến cố:
+ Định nghĩa xác suất cổ điển của biến cố
+ Tính chất xác suất của biến cố
+ Xác suất của biến cố độc lập
II BÀI TẬP:
Câu 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm:
a) Các số chẵn có 4 chữ số khác nhau?
b) Các số chẵn có 4 chữ số ?
c) Các số nhỏ hơn 1000 có các chữ số khác nhau?
Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh khác nhau vào ngồi một bàn học.
Câu 3: Có bao nhiêu cách phân công năm bạn từ một tổ học sinh gồm 10 người đi làm trực nhật, biết:
a) Năm bạn mỗi bạn làm một việc khác nhau?
b) Năm bạn cùng làm một việc như nhau?
Câu 4: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em Trong đó có 7 học sinh khối 12 6 học sinh khối 11, 5
học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho:
a) Khối 12 và 11 có 3 em, khối 10 có 2 em
b) Mỗi khối có ít nhất 1 em
Câu 5: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ các bản vùng sâu, sao cho mỗi đội có 4 nam và một nữ
Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nữ và 5 nam Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca
gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nam
Bài7: Gieo một con súc sắc cân ,đối đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện:
a) hãy mô tả không gian mẫu;
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”;
B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”;
Trang 4C: “ Xuất hiện mặt cĩ số chấm khơng lớn hơn 3”.
Bài 8: Từ một họp chứa 3 bi trắng và 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi.
a) Xác định khơng gian mẫu
b) tính xác suất các biến cố sau:
A:”Hai bi cùng màu trắng”;
B:”Hai bi cùng màu đỏ”;
C:”Hai bi cùng màu”;
D:”Hai bi khác màu”
Bài 9: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất hai lần, quan sát sự xuất hiện của các mặt sấp (S), ngửa (N)
a) Mơ tả khơng gian mẫu
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A:”Lần đầu gieo xuất hiện mặt ngửa”
B:”Hai lần gieo xuất hiện các mặt giống nhau”;
C:”Đúng hai lần xuất hiện mặt ngửa”;
D:”Ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”;
Bài 10: Gieo một đồng tiền, sau đĩ gieo một con súc sắc Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của
đồng tiền và số chấm xuất hiện xuất hiện trên con súc sắc
a) Xây dựng khơng gian mẫu
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A:”Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”;
B:”Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm”;
C:”Mặt cĩ chấm chẵn xuất hiện”;
D:”Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”;
E :”Mặt cĩ chấm lẻ xuất hiện”;
H = D.E;
Bài 10: Tìm hệ số của x6 trong khai triển
12 2
1
− +
x x
Bài 11: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức
5 4
2
−
x x
Bài 12: Tính hệ số của x25y10 trong khia triển ( 3 )15
xy
x +
Bài 13: Tìm số hạng khơng chứa x khi khai triển
10 4
1
+
x x
Bài 14: Tính các hệ số của x2 ; x3 trong khai triển của biểu thức : (x+1)5 + (x-2)7
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)n nếu biết hệ số của
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 45
Bài 16: Trong khai triển 2 ,
m
x
a
x
+ hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau Tìm số hạng khơng chứa x
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Trang 5I.LÝ THUYẾT
1.Phương pháp quy nạp toán học
2.Dãy số:
+ Định nghĩa dãy số, cách cho một dãy số
+ Định nghĩa: Dãy số tăng, giảm, dãy số bị chặn
3.Cấp số cộng:
+ Định nghĩa, tính chất
+ Các công thức cần nhớ:
1
u + = u + d , n∈N*
1
* 1
( 1) ,
2
n
k
+
= −
+
( 1)
s = u + u = nu + − d
4.Cấp số nhân:
+ Định nghĩa, tính chất của cấp số nhân
+ Các công thức cần nhớ:
* 1
1 1 2
,
n n
+
−
− +
1
n n
q
−
−
1, 1
n
s = nu q =
II BÀI TẬP
Câu 1:
a) Chứng minh đẳng thức sau với n∈N*
2 5 8 (3 1) (3 1)
2
n n
+ + + + − =
b) Chứng minh rằng với mọi n∈N*
2n3−3n2+n Chia hết cho 6
c) Chứng minh với n∈N*
2
2n+ >2n+5
Câu2:
Trang 6TÝnh sè h¹ng ®Çu u1 vµ c«ng sai d cña cÊp sè céng ( ) un , biÕt:
a 1 5
4
14
S
+ =
=
4 7
10 19
u u
=
=
Câu 3: Cho cÊp sè céng biÕt
a 7 3
7 2
8 75
u u
− =
=
1 6
10 17
− + =
+ =
9 6
3 11
29 25
u u
+ = −
=
TÝnh u15; S34
Câu4: Cho dãy số (u ) với n u = 9 – 5n n
a Viết 5 số hạng đầu của dãy
b Chứng minh (u ) là cấp số cộng Tìm n u , d.1
c Cho u = -104 Hỏi đó là thứ hạng thứ bao nhiêu của dãy n
d Tính tổng của 100 số hạng đầu
Câu5: Cho CSN biÕt u1=-3; q=-2 Sè -768 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu?
Câu6: T×m CSN gåm 5 sè h¹ng biÕt:T×m sè h¹ng ®Çu vµ c«ng béi cña CSN, biÕt:
a 3
5
3 27
u
u
=
=
b
4 2
3 1
25 50
− =
− =
4 2
5 3
72 144
− =
− =
Câu7: T×m CSN biÕt:
a 1 4
3 2
27 72
u u
+ =
=
7 1
65 325
− + =
+ =
30 480
+ + + =
+ + + =
Câu8: CÊp sè céng ( ) un cã S6 = 18 vµ S10 = 110
a LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t un
b TÝnh S20