Chuyên đề 2 lũy thừa logarit

Nếu ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu.. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được n

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA VÀ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hoặc a lũy thừa α

Hoặc Lũy thừa cơ số a số mũ α

Ví dụ: Các lũy thừa ;23  2;

4



412

 

Hữu tỉ

mrn

Chú ý: Chú ý điều kiện của cơ số a đối với từng dạng số mũ α

Không tồn tại lũy thừa 00

Các công thức lũy thừa

2 Lôgarit

Lôgarit log ba

cơ số

Đọc là: Lôgarit cơ số a của b

 Nếu a = 10, ta có lôgarit thập phân:

Kí hiệu: log b10 ; logb; lgb

 Nếu a = e, ta có lôgarit tự nhiên

Kí hiệu: (Lôga Nê-pe): log be ; lnb

c

log blog b

log a



b 1 

 Nếu a > 1 thì log b log ca  a  b c

 Nếu 0 < a < 1 thì log b log ca  a  b c

Câu 273 (tham khảo 2020L2) Với a là số thực dương tùy ý, log2(a3) bằng

1

Câu 274 (tham khảo 2020L2) Xét các số thực a và b thỏa mãn log3 3a· 9b
= log93 Mệnh đềnào dưới đây đúng?

Câu 276 (Tham khảo 2020L1) Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn log2a = log8(ab).Mệnh

đề nào dưới đây đúng?



22

Câu 278 (Tham khảo 2020L1) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020

Câu 283 (Minh họa 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log (ab2) bằng

A 2 log a + log b B log a + 2 log b C 2 (log a + log b) D log a + 12log b

Câu 285 (Đề 103, THPT.QG - 2017) Cho a là số thực dương khác 2 Tính I = loga

3.

Câu 287 (Đề 103, THPT.QG - 2017) Cho log3a = 2 và log2b = 1

2 Tính I = 2 log3[log3(3a)] +log1 b2

A I = 5

3

2.

Câu 288 (Đề 102, THPT.QG - 2017) Cho logab = 2 và logac = 3 Tính P = loga(b2c3).

A P = 9 logab B P = 27 logab C P = 15 logab D P = 6 logab

Câu 294 (Đề minh họa 2, THPT.QG - 2017) Với các số thực dương a, b bất kì Mệnh đề nàodưới đây đúng ?

Câu 297 (Đề 104, THPT.QG - 2017) Với mọi a, b, x là các số thực dương thỏa mãn log2x =

5 log2a + 3 log2b, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 299 (Đề 104, THPT.QG - 2017) Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log3x = α, log3y = β.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 301 (Đề 103, THPT.QG - 2017) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a2+ b2 = 8ab, mệnh

đề nào dưới đây đúng?

Câu 302 (Đề 102, THPT.QG - 2018) Với a là số thực dương tuỳ ý, log3(3a) bằng

Câu 303 (Đề minh họa 2, THPT.QG - 2017) Với các số thực dương a, b bất kì Mệnh đề nàodưới đây đúng ?

Câu 306 (Đề tham khảo - THPT.QG 2018) Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dướiđây đúng?

A log(3a) = 3 log a B log a3 = 1

Câu 308 (Đề minh họa 1, THPT.QG - 2017) Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b Khẳng địnhnào dưới đây là khẳng định đúng?

A logab < 1 < logba B 1 < logab < logba C logba < logab < 1 D logba < 1 < logab

Câu 309 (Đề 103, THPT.QG - 2018) Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn log4a+5b+1(16a2 + b2 + 1) +log8ab+1(4a + 5b + 1) = 2 Giá trị của a + 2b bằng

20

3 .

56

Bài 4 Rút gọn biểu thức P 2log 12 3log 5 log 15 log 150 a  a  a  a

A P log 8 a B P log a 8 C P log 8a D P log 6 a

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức lũy thừa, lôgarit

Dạng 3: So sánh biểu thức lũy thừa, lôgarit

Bài 4 So sánh A log n 1 n   và B log n 1 n 2 , với mọi số nguyên n > 1

Ví dụ 2: Đặt a log 3 2 và b log 3 5 Hãy biểu diễn log 456 theo a và b?

Bài 2 Cho a > 0, b > 0 thỏa điều kiện a2b2 7ab Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 1 Rút gọn biểu thức 2 2  2 ta được:

1 2 1

a abP

Bài 3 Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A log b 1 log aa   b B 1 log b log a a  b C log a log b 1b  a  D log a 1 log bb   a

Bài 4 Viết biểu thức về dạng và biểu thức về dạng Tính

4

2 28

x

2

3

2 84

5324

2017576

Bài 12 Cho biểu thức 4 , với các số thực dương a và b Rút gọn P được kết quả

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng y x ,  

 Tập xác định: Với α nguyên dương thì D = 

Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D\ 0 .Với α không nguyên thì D0;

 Đạo hàm: y  x   x 1

 Khảo sát hàm số trên tập 0;:

Hàm số y x  (α > 0) Hàm số y x  (α < 0)Luôn đồng biến

Luôn đi qua điểm  1;1

Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ I

Tiệm cận ngang là Ox

Luôn đi qua điểm  0;1 ; 1;a

Luôn nghịch biến

Tiệm cận ngang là Ox

Luôn đi qua điểm  0;1 ; 1;a

Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox

Luôn đi qua điểm  1;0 ; a;1

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

 

2x 2 2x

2ey

 

2x 2 2x

3ey

 



Bài 2 Cho hàm số y x ln x   1 x 2 1 x 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số xác định trên khoảng 0; B Hàm số tăng trên khoảng 0;

C Hàm số giảm trên khoảng 0; D Hàm số có đạo hàm y ln x  1 x 2

Bài 3 Trong bốn hàm số y x 1; ; ; , có mấy hàm số mà đồ thị của

Bài 5 Đồ thị sau của hàm số nào?

x1y2

 

x1y3

 

   

Bài 6 Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A y log x 1 2  B y log x 1 2   C y log x 1 3  D y log x 1 3  

x 1 ln 5

 

2xy

 

2x ln 5y

 

2xy

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình mũ cơ bản có dạng ax b, (a 0,a 1  )

 Nếu b 0 , phương trình vô nghiệm

 Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x log b a

Cách sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

Cứ làm như vậy cho đến khi máy tính hiện

; thì x=m không phải là nghiệm

L R 0



 trình

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính

Ví dụ 3: Cho phương trình: 23x23 32x 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D Phương trình vô nghiệm.

Bài 2 Cho phương trình e3 2x e 1 2x 9 0, khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình có một nghiệm B Phương trình vô nghiệm.

C Phương trình có hai nghiệm dương D Phương trình có hai nghiệm âm.

Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

1 Phương pháp giải

Phương trình có dạng A.a2xB.ax C 0 Đặt ax t,t 0 

Phương trình có dạng A.a2xB.a bx xC.b2x 0

  

 

  t 0 Phương trình có dạng A.ax B.bx  C 0 với a.b = 1

Ví dụ 3: Phương trình   x x có nghiệm thỏa mãn

3

Dạng 3: Giải phương trình mũ bằng các phương pháp khác

Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 12.3x3.15x5x 1 20 là:

A log 5 13  B log 53 C log 5 13  D log 3 15 

Ví dụ 2: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Bài 10 Phương trình 2x 3  3x2  5x 6 có hai nghiệm x , x1 2, trrong đó x1x2, chọn phát biểu đúng?

A 3x12x2 log 83 B 2x13x2 log 83 C 2x13x2 log 543 D 3x12x2 log 543

Bài 11 Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x2.3x6x 2 là:

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình lôgarit cơ bản với a > 0; a 1 có dạng: b (điều kiện: x > 0)

alog x b  x a

mòch½n a

log f x ®iÒu kiÖn f x 0

 Kết luận nghiệm, phải so sánh nghiệm với điều kiện

 Ta cũng có thể bấm máy tính để giải phương trình lôgarit như giải phương trình mũ

rút gọn là:

4

164

Dạng 2: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Gọi nghiệm của phương trình log x.log 2x 12 3   2log x2 là x1 x2 Khi đó, giá trị của

A Lớn hơn 0 B Nhỏ hơn 1 C Là số nguyên tố D Là số âm.

Dạng 4: Phương trình lôgarit chứa tham số

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 1  2  có nghiệm trên

2log m 4x 2log x 2 0

đoạn  2;5

A m20;69 B m24;69 C m10;70 D m10;70

trình là:

A Số nguyên âm B Số chính phương C Số vô tỉ D Số nguyên tố.

Bài 5 Điều kiện xác định của phương trình  2 là:

Câu 7 Tập nghiệm của phương trình  2 là:

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT

PHẦN 1: CÔNG THỨC TÍNH NHANH

S A 1 r 

Bài toán tăng trưởng dân số Am A en m n r 

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra

Công thức tính lãi đơn S A 1 r.n   

Trong đó: S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn

A là tiền gửi ban đầu

n là số kì hạn tính lãi

r là lãi suất định kì tính theo %

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Bà An gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7% một năm thì sau 5 năm số tiền bà An

nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A.13,5 triệu đồng B 16 triệu đồng C 12 triệu đồng D 12,7 triệu đồng.

Công thức tính lãi kép  n

S A 1 r 

Trong đó: S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn

A là tiền gửi ban đầu

n là số kì hạn tính lãi

r là lãi suất định kì tính theo %

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 7,5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau

bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Ví dụ 2: Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn 3 tháng và lãi xuất 0,58% một

tháng Nếu ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu?

A 92576000 đồng B 80486000 đồng C 92690000 đồng D 90930000 đồng.

Ví dụ 3: Một người gửi 350 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi xuất 6,7% một năm Biết rằng nếu

không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc

và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi xuất không đổi và người đó không rút tiền ra

Dạng 2: Bài toán lãi kép

1 Phương pháp giải

Số tiền lãi của kỳ hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau

r là tỉ lệ tăng dân số từ năm n tới năm m tính theo %.

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế

giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người Dự đoán dân số năm 2010?

A 7781 triệu người B 7782 triệu người C 7783 triệu người D 7784 triệu người.

Dạng 4: Bài toán tăng lương

1 Phương pháp giải

Một người nhận lương khởi điểm là A đồng trên tháng Cứ sau n tháng, người đó được tăng thêm r % một

tháng, số tiền người đó nhận được sau kn tháng là  k

Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng Cứ 3 tháng thì lương người đó được

tăng thêm 7% một tháng Hỏi sau 36 tháng thì người đó nhận được lương tất cả là bao nhiêu?

A 700triệu đồng B 623 triệu đồng C 954triệu đồng D 644triệu đồng

Dạng 3: Bài toán tăng trưởng dân số

Ví dụ 1: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền A theo hình thức lãi kép với lãi

suất 0,6% mỗi tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền A gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A 535 000 đồng B 635 000 đồng C 613 000 đồng D 643 000 đồng.

Ví dụ 2: Hàng tháng, anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng Hỏi sau ít nhất

bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên?

đầu hoàn nợ số tiền là X đồng, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng.

Ví dụ 1: Ông Minh vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất 12% một năm Ông muốn hoàn

nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kề từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông Minh sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Minh hoàn nợ

A m 67 (triệu đồng) B m 69 (triệu đồng) C m 70 (triệu đồng) D m 68 (triệu đồng)

Ví dụ 2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9% một tháng, mỗi tháng trả

15 triệu đồng Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?

Ví dụ: Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng Hàng tháng vào ngày ngân hàng

tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

A 11 tỷ đồng B 15 tỷ đồng C 13 tỷ đồng D 16 tỷ đồng.

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85%

một quý Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi?

Bài 2 Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả

gốc và lãi là 40 tỷ đồng Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?

Bài 3 Bố Lan gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng

tính lãi, bố Lan rút một số tiền như nhau để chi tiêu Hỏi số tiền mỗi tháng bố Lan rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

A 300 000 đồng B 450 000 đồng C 400 000 đồng D 409 000 đồng.

Bài 4 Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15% một tháng trong vòng 4 năm

thì mỗi tháng mẹ Lê phải trả bao nhiêu tiền thì hết nợ?

A 1 362 000 đồng B 1 240 000 đồng C 1 154 000 đồng D 1 680 000 đồng

Đáp án:

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

CHUYÊN ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

• Nếu 0 a 1  thì af x  ag x  f x g x  (ngược chiều nếu 0 a 1  )

• Nếu a chứa ẩn thì af x  ag x  a 1     .f x g x  0 (Điều kiện a 0 )

Bất phương trình lôgarit:

• Nếu a 1 thì a   a         (cùng chiều nếu )

g xlog f x log g

Ví dụ 4: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log log x3 27 log log x9 3  là:

416

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 16x 4x  6 0 là:

Bài 3 Cho bất phương trìnhxlog x 4 2  32 Tập nghiệm của bất phương trình là:

A Một khoảng B Nửa khoảng C Một đoạn D Tập rỗng Bài 4 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn bất phương trình  2x ?

1 x

3 2 3 7

Dạng 3: Bất phương trình mũ và lôgarit chứa tham số

A S log3 73; 2 B Slog3 72; 2 C S  ; 2 D Slog3 73; 2.

Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình   2 là:

Bài 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

có nghiệm đúng với mọi x