4-CHUYEN ĐE 4-LUY THUA - MU- LOGARIT (GIAI CHI TIET)

4-CHUYEN ĐE 4-LUY THUA - MU- LOGARIT (GIAI CHI TIET)

CHUYÊN ĐỀ 4 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Trục Oy là tiệm cận đứng.

4 Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y x  luôn đi qua điểm I(1;1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm

số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn:

log

c a

c

b b

a



1log

0

1: lim log ; lim log

0 1: lim log ; lim log

Ox ; luôn đi qua các điểm 0;1 và 1;a

4 Đồ thị: Đồ thị hàm sốyloga x nằm phía bênphải trục Oy; luôn đi qua các điểm 1;0 và a;1

2 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

t b

UCLN của (a, b) = 1)

Khi đó lôgarit hai vế cơ số a hoặc b (nên chọn cơ số

d) Sử dụng hàm số và đánh giá

V BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản:

(1) Dạng: a xb (hoặc a x b a, x b a, x ) vớib

0, 1

a a

1 Phương trình lôgarit cơ bản

loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b

   

1 (*)(*)

a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

1 7

1 12

Câu 13 Giá trị của 3

1loga

a với a  và 0 a  bằng: 1

32



23



Câu 14 Giá trị của aloga4 với a0,a là1

Câu 20 Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log2alog8ab

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B.Đồ thị của hàm số yloga x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng

C Nếu 0 x1x thì 2 loga x1loga x 2



1 ee

x x x

Câu 29 Cho a là số thực dương khác 1 Khẳng định nào dưới đây là sai?

A log 2.loga 2a  1 B log 1 0a  C.

1log 2

A 2 log a b B. 2 log a b C 1 2 log a b D 2loga b

Câu 32 Cho hàm số y 12x Khẳng định nào sau đây sai?

A.Hàm số đồng biến trên .

B Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung

C.Đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang.

D.Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành.

Câu 33 Cho a log 2, b ln 2, hệ thức nào sau đây là đúng ?

I 

13

I 

1 1 2

1

 2



6 4

Câu 35 Cho a b , 0và a b , 1, biểu thức

Câu 37 Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a x2  , log b y2  Tính Plog2a b2 3

x 

32

x 

12

x 

Câu 43 Giải phương trình 2x23x 1.

A. x  , 0 x  3 B. x  , 1 x 3 C. x  ,1 x 2 D x  , 0 x 3

Câu 44 Tìm nghiệm thực của phương trình 2 7?

72

Câu 49 Khi đặt t 2x, phương trình 4x 1 12.2x 2 7 0

   trở thành phương trình nào sau đây?

Câu 55 Phương trình log (3 x24x12) 2

A Có hai nghiệm dương B Có hai nghiệm trái dấu C Có hai nghiệm âm D Vô nghiệm.

Câu 56 Tập nghiệm của bất phương trình

2

4

x x  

  

Câu 57 Giải bất phương trình

2

25 134

1

255

S R   

3

;2

S  

1

;5

S    

  Lời giải

S   

 

  Hướng dẫn giải

Câu 69 Tập nghiệm của bất phương trình  2   

Câu 70 Điều kiện xác định của bất phương trình 12 12 12

log (4x2) log ( x1) log x

[Phương pháp tự luận]

BPT xác định khi:

00

Câu 1. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log8alog2ab

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a b



Câu 2. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log3alog9ab

Mệnh đề nào dưới đây đúng?



a b

Câu 3. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3log2alog4ab

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 6 Đặt a log 52 , b log 53 Hãy biểu diễn log 5 theo a và b 6

A log 5 a b6   B log 5 a6  2b2 C log 56

a b





Lời giải Chọn C

2 6

log 5log 5

log 6 log 2 log 3

P 

theo a và b là

A P  3 a 2b B

13

2

P  a b

32

a P b

 D P  3 a b

Lời giải Chọn B

40log3





Lời giải Chọn B

12

3

1log 3

log 12



1log 3 log 4

2

a a

x y



Câu 10 Cho a , b và x là các số thực dương khác 1 thỏa log 2 log 2 13log log

6

a x  b x  a x b x

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Lời giải Chọn D

5

x x x về dạng x m và biểu thức

4 5 6



116

Với x  , 0 y 0, ta có

4

5 6

Ta có

log 2 log 4 log 8 log 256

M      log 2 log 22  2 2log 22 3 log 2 2 8

m e

a 

,

16

b 

Do đó

12

Ta có P  8x 9y    2x 3 3y 2

mà 2x 3,3y 4 Suy ra: P    2x 3 3y 2 3342 43

Câu 27 Cho a0,b0 thỏa mãn a2b2 7ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Ta có: a2b2 7ab a b 2 9ab 2loga b  log 9 ab

Đồ thị hàm số y c x đi xuống lên hàm số y c x nghịch biến, suy ra 0  c 1

Đồ thị hàm số y a x và y b x đi lên do đó hàm số y a x và y b x đồng biến, suy ra a  và 1 b  1Với x  ta thấy b a1  Suy ra c   1 a b

Trên đồ thị hàm số y3x lấy M x y 0; 0 và gọi N x f x ;    là điểm thuộc

đồ thị hàm số f x  và đối xứng với M qua đường thẳng x1.

0

0

0 0

21

Phương trình tương đương log22x 3log2 x 2 0

x x

Phương trình đã cho tương đương: log2x 3log 32 x1 4

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 34 Cho phương trình 25x 20.5x1 3 0 Khi đặt t 5x, ta được phương trình nào sau đây?

A t  2 3 0 B t2 4t 3 0 C t2 20t 3 0 D

1

t t

Lời giải Chọn B

Phương trình 25x 20.5x1  3 0 52x 4.5x 3 0

Đặt t 5x, t  0

Khi đó, ta được phương trình t2 4t 3 0

Câu 35 Tìm tập nghiệm S của phương trình log 23 x1 log3x1  1

A S  4 . B S  3 . C S   2 . D S  1 .

Câu 36.Gọi x x1, 2là 2 nghiệm thực của phương trình 4x 2x2 3 0

   Có bao nhiêu số nguyên trong đoạn

Câu 37 Phương trình 9x113.6x4x1 0 có 2 nghiệm x , 1 x Phát biểu nào sau đây đúng?2

A.Phương trình có 2 nghiệm nguyên B Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ

C Phương trình có 1 nghiệm dương D Phương trình có 2 nghiệm dương

Lời giải Chọn A

x x





  

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên

Câu 38 Tính tổng của tất cả các nghiệm thực của phương trình 3x 9 3 9x 33 9x 3x 123

Đặt

x x

a b

a b

7x  x 49 7

12

Câu 40 Cho hàm số

x e y x

 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A yxye x,  x 0 B y xy e x,  x 0 C. 2yxye x,  x 0 D 2yxye x,  x 0

Lời giải Chọn C

e x e y

Câu 41 Cho phương trình 3x  m 1 Chọn phát biểu đúng:

A.Phương trình có nghiệm dương nếu m  0 B Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

C Phương trình luôn có nghiệm duy nhất xlog3m1

D Phương trình có nghiệm với m  1

Lời giải Chọn A

Ta có 3x 0, x   nên 3x  m 1 có nghiệm  m  1 0 m  1

Từ đó ta loại được đáp án B và D

Xét đáp án A, phương trình có nghiệm dương thì 3x 30 1 nên m  1 1 m 0

Từ đó đáp án A đúng

Xét đáp án C, ta thấy sai vì ở đây thiếu điều kiện m   1

Câu 42 Số nghiệm của phương trình 3x 31x2 là:

Lời giải Chọn B

Vậy phương trình có một nghiệm

Câu 43 Tích các nghiệm của phương trình   2

Điều kiện: 0  , ta có: x 1

x x

x x

Câu 44 Phương trình 9x 3.3x 2 0có hai nghiệm x , 1 x với 2 x1x2 Giá trị của 2x13x2 là:

Lời giải Chọn A

x x

2

x  x

C Có một nghiệm âm D Có một nghiệm âm và một nghiệm dương

Lời giải Chọn A

Điều kiện: 0  x 1

2

5log 2 log

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương

Câu 46 Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2x2x 2x2 x 2 4x2 x1 1

Câu 47 Tính đạo hàm của hàm số

P 

154

P 

Lời giải Chọn A

 x

174

Điều kiện: x0 Chia hai vế cho 3 ta được phương trình:

Điều kiện:

01

82

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.Phương trình có hai nghiệm không dương B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Lời giải Chọn A

Do 7 4 3 2 32

nên phương trình ban đầu tương đương với

2 32x2 x 1 2 3x2  2x22x 2 x 2  2x2x0

012

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm không dương

Câu 52 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 22x21 5.2x23x26x1 bằng0

Lời giải Chọn C

Ta có 22x21 5.2x23x26x1 0 2.22x2  5.2x23x2.26x  0

Vì 26x 0, chia cả 2 vế của phương trình cho 26x, ta được 2.22x26x 5.2x23x  2 0

Câu 53 Phương trình

1

27 2 72

x x x





1 3

2 3

x x x

x x x

x

x x





3 3

3log 2 x

x x

a b

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có ac  nên có hai nghiệm phân biệt.0

Câu 55 Số nghiệm của phương trình  2   

3

log x 4x log 2x3 0

là

A 3 B 2 C.1 D 0

Lời giải Chọn C

x x





  

Kết hợp điều kiện ta được x  1

Câu 56 Cho phương trình    1 

A M N 3e. B. M N e  . C M N 2e1. D M N 2e1.

Lời giải Chọn B

Vậy M m e  

Câu 58 Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y x lnx trên đoạn

1

;e2

Tập xác định D 0;

.Hàm số liên tục trên đoạn

1

;e2

 

11

MỨC ĐỘ 3, 4 Câu 1 Số 7100000 có bao nhiêu chữ số?

Lời giải Chọn A

Câu 3 Gọi n là số nguyên dương sao cho 3 32 33 3 3

Do n là số nguyên dương nên n20 P43.

Câu 4 Cho a , b , c 1 Biết rằng biểu thức P log bc a log ac b 4log ab c 

đạt giá trị nhỏ nhất m

khi log c n b  Tính giá trị m n

A. m n 12 B

252

m n 

C m n 14 D m n 10

Lời giải Chọn A

Ta có P log b log c log a log c a  a  b  b 4log a c 4log b c 

Câu 5 E coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn

E coli tăng gấp đôi Ban đầu, chỉ có 40 vi khuẩn E coli trong đường ruột Hỏi sau bao lâu, số lượng

vi khuẩn E coli là 671088640 con?

Lời giải Chọn D

Câu 6 Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức SA e. rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn

ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100

con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi số con vi khuẩn sau 10 giờ ?

Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có 100.e10.0,2197 900 con.

Câu 7 Dân số thế giới được dự đoán theo công thức ( )P t aebt , trong đó a , b là các hằng số, t là năm tính

dân số Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người; dân số thế giới năm

1980 là 3040 triệu người Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2020 ?

A. 3823 triệu B 5360 triệu C 3954 triệu D 4017 triệu

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

a a

.Chia  2

2560

1916

Câu 8 Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị

của cacbon) Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽkhông nhận thêm cacbon 14 nữa Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậmchạp, chuyển hóa thành nitơ 14 Biết rằng nếu gọi P t  là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một

bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t 

được tính theo công thức:

5750log 0,65 3574

t

năm

Câu 9 Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí, nước, sương mù, …) cường độ sẽ

giảm dần theo quãng đường truyền x , theo công thức   0

x

I x I e 



, trong đó I là cường độ của ánh0

sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và  là hệ số hấp thu của môi trường đó Biết rằng nướcbiển có hệ số hấp thu  1, 4 và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2m xuống đến độ sâu 20 mthì cường độ ánh sáng giảm l.1010 lần Số nguyên nào sau đây gần với l nhất?

 e28l.10 10e2,8

 l10 10e25,2 8,79

Câu 10 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8, 4%/năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào

tiền vốn Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn 2 lần số tiền gửi banđầu

Lời giải Chọn B

Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n

Ta có 1 8, 4%n 2 1,084n 2 log1,0842 8,59

.Vậy số năm tối thiểu là 9 năm

Câu 11 Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0, 4%/tháng Biết rằng nếu không rút

tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi chotháng tiếp theo Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhấtvới số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất khôngthay đổi?

A.102.424.000đồng B 102.423.000đồng C 102.016.000đồng D 102.017.000đồng

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền

(cả vốn ban đầu và lãi) là P6 P01r6 100 1 0, 4%  6 102.4241284

đồng

Câu 12 Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất

0, 6% mỗi tháng Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số

tiền nào nhất trong các số sau

A. 635.000 đồng B 645.000 đồng C 613.000 đồng D 535.000 đồng

Lời giải Chọn A

Với số tiền T gửi đều đặn mỗi tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất %r mỗi tháng, ta có

Sau một tháng, số tiền của người đó là A1T1r đồng.

Sau hai tháng, số tiền của người đó là 2  1  1   1 21 

đồng

Câu 13 Một người gởi 75 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 5, 4%

một năm Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi 6 năm sau người đó nhận về số tiền là bao nhiêu kể cảgốc và lãi? (đơn vị đồng, làm tròn đến hàng nghìn)

A 97.860.000 B 150.260.000 C.102.826.000 D 120.826.000

Lời giải Chọn C

Số tiền người đó nhận về sau 6 năm là:

Câu 14 Anh Nam dự định sau 8 năm kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu sẽ có đủ 2 tỉ đồng để mua nhà Biết lãi

suất là 8% / năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau kỳ gửi cuối cùng anh đợi đúng 1 năm để có

đủ 2 tỉ đồng Mỗi năm anh phải gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền (số tiền mỗi năm gửi như nhau ở thờiđiểm cách lần gửi trước 1 năm)?

0,082

1,08 1





tỉ đồng

Lời giải Chọn A

Gọi M là số tiền anh Nam phải gửi hàng năm

Để sau 8 năm kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu sẽ có đủ 2 tỉ đồng, tính luôn cả thời gian anh đợi để rút tiền ra thì anh gửi tất cả 8 lần

T r M

Câu 15 Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên

quyết định bỏ ống heo 5000 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2020 Sau đó cứ liên tục ngày sauhơn ngày trước 2000 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ?(thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2020 đến ngày 30 tháng 4 năm 2020 )

A. 738.100 đồng B 726.000 đồng C 714.000 đồng D 750.300 đồng

Lời giải Chọn A

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2020 đến ngày

30 tháng 4 năm 2020 ) là 31 29 31 30 121    ngày

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u 1 5000.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u 2 5000 1.2000

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u 3 5000 2.2000

…

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: u n  u1 n1d 5000n1 2000 3000 2000n

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u 121 3000 2000.121 245.000

Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu u 1 5000, công sai d 2000.

Vậy số tiền An tích lũy được là 121  1 121

1212

Câu 16 Cho a và b là các số thực dương khác 1 Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung

mà cắt các đồ thị yloga x, ylogb x và trục hoành lần lượt tại A, B và H ta đều có

2HA3HB (hình vẽ bên dưới) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a b 2 3 1 B. 3a2b C a b 3 2 1 D. 2a3b.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có    

2 2

A 

Lời giải Chọn B

M 

13

M 

Hướng dẫn giải Chọn B

log 36

1log 36

y M

Hàm số đồng biến trên

Mà nhận giá trị nguyên trên 2; 2020

có giá trị thỏa yêu cầu bài toán

Câu 22 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có bốn chữ số Gọi N là số thỏa mãn 3N A Xác suất để N là

t t t t

x y

x y

x y