Chuyên đề 1 hình 12 thể tích khối đa diện

Câu 9: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãnCâu 10: Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là: A.. Tính thể tích V của khối chóp

2021 ÔN THI THPT QUỐC GIA

TOÁN HÌNH

HDedu

HDedu - Page 2

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo

bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai

điều kiện sau:

• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có

điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh

chung

• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của

đúng hai đa giác

Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian

được giới hạn bởi hình đa diện

Chú ý:

• Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân

chia được thành những khối tứ diện

• Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của

ít nhất 3 cạnh

• Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

• Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

• Không tồn tại một hình đa diện có:

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh

Các hình là khối đa diện:

Các hình không phải khối đa diện:

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính

chất sau đây:

• Các mặt là những đa giác đều n cạnh

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh Khối đa

diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  n; p

Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại  n; p Ta có:

pĐ = 2C = nM

3 Khối đa diện đều

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hình đa diện

2 Khối đa diện

HDedu - Page 3

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

A Tứ diện đều B Bát diện đều

C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều

Ví dụ 2: Cho các hình khối sau:

Ví dụ 1: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

Ví dụ 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai:

A Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều.

B Trong một hình chóp đều các góc giữa một cạnh bên và mặt đáy thì bằng nhau.

C Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.

A Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

B Hai khối tứ diện.

C Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.

D Hai khối chóp tứ giác.

HDedu - Page 5

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại hình đa diện có số cạnh bằng 7.

B Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7.

C Số cạnh đa diện luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 6.

D Tồn tại hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7.

Câu 4: Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2.

A 8 B 16 C 24 D 60

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.

B Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.

C Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.

D Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.

Câu 6: Gọi m là số mặt đối xứng của hình lập phương, n là số mặt đối xứng của hình bát diện đều Khi đó:

A Không thể so sánh m và n B m n.

C m n. D m n.

Câu 7: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

C Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 8: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt.

B Hình hai mươi mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt.

C Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt.

D Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt.

HDedu - Page 6

Câu 9: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn

Câu 10: Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là:

A 12 B 19 C 20 D 24.

Câu 11: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành

A các đỉnh của một hình tứ diện đều.

B các đỉnh của một hình bát diện đều.

C các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

D các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

B Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.

C Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

D Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

Câu 13: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?

| Chủ đề 27 Khối đa diện

Câu 588 (Đề minh họa 3, THPT.QG - 2017)

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác

B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác

C Hai khối chóp tam giác

D Hai khối chóp tứ giác

Câu 590 (Đề 101, THPT.QG - 2017) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau cóbao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Câu 591 (Đề 103, THPT.QG - 2017) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đốixứng?

Câu 592 (Đề minh họa 2, THPT.QG - 2017) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

HDedu - Page 8

h: chiều cao của hình chóp

a Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông ở đường cao AH ta có:

sin A sin Bsin C

 Định lý đường trung tuyến:

2 2 2 2

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

là nửa chu vi

1 Thể tích khối chóp

2 Các công thức hình học phẳng hay sử dụng

HDedu - Page 9

 Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài chiều rộng

 Diện tích hình thoi: S 1đường chéo đường chéo

d Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều

12



Thể tích hình chóp S.ABC với các

mặt (SAB), (SAC), (SBC) vuông

góc với nhau từng đôi một, diện tích

các tam giác lần lượt là ,S1 S2, S3

1 2 3 S.ABC

2S S SV

3



Thể tích tứ diện ABCD gần đều (các

cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Thể tích hình chóp tam giác đều

cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy

góc 

3 S.ABC

a tanV

24





Thể tích hình chóp tam giác đều

cạnh bên là b, cạnh bên tạo với mặt

phẳng đáy góc 

S.ABC

3a sin cosV

4



Thể tích hình chóp tam giác đều

cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với mặt

phẳng đáy góc 

3 S.ABC

a tanV

3 S.ABCD

a tanV

cạnh bên bằng b, góc tạo bởi mặt

bên và mặt đáy là SMO  với

2

4b tanV

với mặt đáy và SB a 5 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

, góc giữa SB và (ABC) là Tính thể tích khối chóp S.ABC

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

3

a.3

3

2a.3

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a, BAC 60   Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA a 3 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A V a  3 B V 3a  3 C V 2a  3 D V 4a  3

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và

mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 Thể tích hình chóp S.ABCD là:

3

3a 3.8

3

a 3.3

HDedu - Page 17

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC bằng

3

6a.12

3

6a.8

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , AD a Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45, đáy ABC là tam giác vuông tại A

có AB 2a , góc ABC 60  và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Câu 1 Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC

A a3 B C D

9

3

a 3.9

3

a 3.24

3

a.16

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 3a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh

Câu 3 Tứ diện ABCD có ABC là BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc

với nhau biết AD a Tính thể tích tứ diện

A a3 6 B C D

9

3

a 3.9

3

a 3.36

3

.36

2 Bài tập trắc nghiệm

HDedu - Page 20

Ví dụ 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60

3

2a 3.3

3

4a.3

3

2a.3

3

.6

3

a.6

Câu 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABC

3

a 3.24

3

a.24

Câu 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy

một góc 60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

3

a 3.9

3

a 3.12

2 Bài tập trắc nghiệm

Ví dụ 1: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD

HDedu - Page 23

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC Đặt MNPA BC Khi đó

SABC

VkV

1.8

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5 Gọi M là trung điểm của cạnh

SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS 2NC Tính thể tích của khối chóp A.BMNC

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM MB ,

Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi và Khẳng

SN 2CN

1 S.AMN

V V V2 VABCNMđịnh nào sau đây đúng?

1.4

1.3

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA a 2 Gọi B , D  là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng AB D  cắt SC tại C Thể tích khối chóp S.AB C D   là:

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA 2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Câu 2 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC và AB 3a , BC 4a , AC 5a ,

Thể tích khối tứ diện ABCD là:

AD 6a

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB a , AC 2a , BAC 120  Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 3a , AD 4a , SAABCD,

SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A V 20a  3 B V 20a 3 2 C V 30a  3 D V 22a  3

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB 90  , BSC 120  , ASC 90  Thể tích khối chóp S.ABC là:

3

a 3.4

3

a 3.12

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , BC 2a Gọi H là trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA a 5 Tính thể tích hình chóp S.ABCD

3

a.12

3

a.11

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD vuông góc

với đáy, cho AB AD a  , CD 3a , SA a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

3

.3

3

.3

Câu 9 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a , ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 Thể tích khối chóp S.ABC là:

3

a 3.9

3

a 3.12

Câu 10 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B D, lần lượt là trung điểm của

SB và SD Mặt phẳng AB D  cắt SC tại C Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB C D   và S.ABCD

A 1 B C D

2

1.4

1.6

1.8

HDedu - Page 28

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AB' = 2a Tính thể tích

V của khối lăng trụ ABC.A'B'C’

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’B’A cân

Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

3

a 37

3

a 38

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AB' hợp

với đáy một góc 60° Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AB' hợp

với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 60° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC 30 ,

Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'

Ví dụ 7: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông

cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này

A 4800 cm3 B 1400 cm3 C 1200 cm3 D 4000 cm3

HDedu - Page 37

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Biết AB = 3cm,

Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

BC ' 3 2cm

A 27cm3 B 27 3 C D

cm2

3

27cm4

3

27cm8

Câu 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên

Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

Câu 3 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của

lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30° Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ

Câu 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, (AB'C')

hợp với mặt đáy một góc 30° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên đường cao của lăng trụ là BB' = 2a.

Diện tích đáy là:

2

2 ABC

14

35

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cỏ cạnh đáy bằng a, (AB'C') hợp với mặt đáy một

góc 60° Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

B là diện tích đáy (đáy là đa giác đều), h là độ dài

cạnh bên của khối lăng trụ

Ví dụ: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng 2a

3

Hướng dẫn

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 4 Thể

tích của khối lăng trụ đã cho gần bằng giá trị nào sau đây?

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích

khối lăng trụ này

3

3 6a4

3

3 6a2

Câu 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng 2a.

Câu 4 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, AC' hợp với mặt phẳng

(ABB’A’) một góc 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy bằng a,cạnh bên bằng 2a

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F'

3a 38

B a 33 D

8

3

a8

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung

Dạng 3: Khối lăng trụ xiên

1 Phương pháp giải

HDedu - Page 41

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, hình chiếu

vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm H của cạnh BC, tam giác A'HA là tam giác cân Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A'

trên (ABC) là trung điểm BC, A’A hợp với mặt đáy một góc 60° Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ABCđều có cạnh bằng a, AA' = a và đỉnh A’ cách đều A, B,

C Gọi M là trung điểm của cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là

và hợp với đáy ABC một góc 60° Tính thể tích lăng trụ

3

3a8

3

a8

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4 Khoảng cách

giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7 Thể tích khối lăng trụ là: