PHƯƠNG PHÁP hàm đặc TRƯNG và ỨNG DỤNG

Phương pháp hàm đặc trưng là một phương pháp rất hiệu quả trong giải toán THPT, phương pháp này thương gặp trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình, các bài toán Min – Max

Phương pháp hàm đặc trưng là một phương pháp rất hiệu quả trong giải toán THPT, phương pháp này thương gặp trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình, các bài toán Min – Max và

cả các bài toán đồ thị …

1 Cơ sở lý thuyết

,

a b ta có các kết quả sau: D

(1) f a( )= f b( ) = a b

(2) Nếu f t( ) đồng biến trên D thì f a( ) f b( )  (cùng chiều) Các dấu , ,a b    là hoàn toàn tương tự

(3) Nếu f t( ) nghịch biến trên D f a( ) f b( )  (đảo chiều) Các dấu , ,a b    là hoàn toàn tương tự

Tôi sẽ minh họa bằng ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc Gia 2020) Xét các số thực không âm x và y thoản mãn 1

x+y + − 

A 33

8

Hướng dẫn giải Biến đổi 1 2 2 2 2 ( ) 3 2

f t =t với t =D 0;+ thì ) ( ) 2t 2 ln 2t 0

( )

f t đồng biến trên D =0;+ Lúc này thấy ) ( )1  f a( ) f b( ) nhưng rõ ràng a=2y còn D

3 2

2

2

P=x +y + x+ yx + −x + x+ − x = x − x+

2

2

x

2

4

P=x +y + x+ y

PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG

VÀ ỨNG DỤNG

Tóm lại ta thấy GTNN của P là 41

Nhận xét: nhiều bạn khi thấy f a( ) f b( ) và f đồng biến trên D thì cho ngay a b là

chưa chính xác, chúng ta phải xem thử a và b có thuộc tập D không

Ví dụ 2 (VTV7 2020 ) Có bao nhiêu cặp số nguyên ,a b thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 2

1

a +b 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

a b

a b

+

?

Hướng dẫn giải Ta có ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

a b

a b

+

2 2 2

2 2

4

2

1

.ln

2

a + b và 2

4

b + thuộc (0; +) nên:

1a +b  Từ đó ta có 8 cặp số 4 (a b; ) thỏa mãn bài toán là

(− −2; 2 ,) (− −2; 1 ,) (− −1; 2 ,) (− −1; 1 , 1;1 , 1; 2 , 2;1 , 2; 2) ( ) ( ) ( ) ( ) Chọn D

2 Các dạng toán ứng dụng phương pháp hàm đặc trưng

Dạng 1 Các bài toán phương trình

Câu 1 (Chuyên Thái Bình 2018) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

3 2

3 2 2

1

x

+

Câu 2 (SGD Bắc Ninh 2018) Cho phương trình 2( ) 2 2

2

x

gọi S là tổng tất cả các nghiệm của nó Khi đó, giá trị của S là

A S = −2 B 1 13

2

2

Câu 3 (Nguyễn Trãi – Đà Nẵng 2018) Gọi 0

3

a b x c

+

2

1

3

x x

−

Câu 4 (THTT 2018) Biết x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

2

x

1 2

1

2

4

Câu 5 (Lương Thế Vinh 2019) Phương trình

3 2

1

x

x

a

b (với

a bN và a

b là phân số tối giản Giá trị của b là

Câu 6 (Lê Xoay – Vĩnh Phúc 2018) Số nghiệm của phương trình sin 2x−cosx= +1 log sin2( x) trên khoảng 0;

2



D 1

Câu 7 (Cổ Loa – Hà Nội 2019) Cho hàm số ( ) ( 2 )

Câu 8 (Nguyễn Du – DakLak 2019) Cho hàm số ( ) 3 2

y= f x =ax +bx +cx+ (với d a b c d, , , R, 0

a  ) Biết đồ thị hàm số y= f x( ) có hai điểm cực trị là A( )0;1 và B(2; 3− Hỏi tập nghiệm của )

Dạng 2 Các bài toán biện luận nghiệm

Câu 9 (Đề chính thức 2018 – Mã 103) Cho phương trình 7x+ =m log7(x−m) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  −( 25; 25) để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 10 (Đề tham khảo BGD 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 3

Câu 11 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2018 của tham số m để phương trình

2

A 2017 B 2016 C 1005 D 1004

Câu 12 (KHTN Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m(m 10) để phương trình

1

4

Câu 13 Cho hàm số ( ) ( 3) 3 2 ( )

 2018; 2018

m  − sao cho f x ( ) 0 với mọi giá trị x  2; 4

Câu 14 (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

A m 0 B m 1 C m e D m  −1

Câu 15 (Sở Cà Mau 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên của tham số m  − 2019; 2019 để

1−m x +3 2−m x + 13− −m 3m x+10− −m m  đúng với mọi 0 x  1;3 Số

phần tử của tập S là

Câu 16 (HTK 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình 6 4 3 ( 2) 2

x + x −mx + − m x

Câu 17 (Sở Quảng Bình 2019) Gọi S là tập hợp số nguyên dương của tham số m để bất phương

S bằng

Câu 18 (Chuyên Thái Bình 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để phương trình

( )

f x =x + x − m

Câu 19 (Tập huấn Bắc Ninh 2019) Cho phương trình 3 ( ) 6 4

2 6x x+4 3m x+2m+ =1 8x +20x

2

b

a

b tối giản) là tập tất cả các

S=a +b

Câu 20 (Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2018) Phương trình 2 3 3 ( 3 2 ) 2

− + − + − + + − 1

T=b −a

Câu 21 (SGD Bà Rịa Vũng Tàu 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số

( )x y thỏa ; 3 5 3 1

e + −e+ + = − x− y và 2( ) ( ) 2

log 3x+2y− −1 m+6 log x+m + = 9 0

Câu 22 (Sở Bà Rịa Vũng Tàu 2019) Cho phương trình 3 2 2 2 5 3

tử của S là

Câu 23 Cho phương trình cos sin 2 1 sin( )

x

tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm Khi đó S có dạng (−;a  b;+ Tính )

T= a+ b

Câu 24 (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 2018) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

2

2

2 2

x x

Câu 25 (SGD Phú Thị 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

2

2 2

2

x mx

x

Câu 26 (SGD Bắc Ninh 2018) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

A 0; ln 21

2

1

; ln 2 2

1 0;

e

1

ln 2;

2

+

Câu 27 (Sở Nam Định 2019) Cho hàm số ( ) 2019x 2019x

f m + f m+ 

Câu 28 (SGD Ninh Bình 2018) Cho hàm số ( ) ( 2 )

2019

m

Câu 29 (TVO 2019) Cho hàm số ( ) x2 1( x x)

1

m

+

Câu 30 (TVO 2019) Cho hàm số ( ) 2x 2x

Câu 31 Cho hàm số ( ) 2

1

3 3

2019

0 2019

x m f x m

+

Câu 32 (Yên Mô A – Ninh Bình 2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3

Câu 33 (Yên Lạc 2019) Cho phương trình ( 2 ) ( 3 ) 3 ( )

số Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên (0; +) là a+elnb, với a b,

là các số nguyên Giá trị của biểu thức 17a+3b bằng

Câu 34 (Sơn Tây – Hà Nội 2019) Cho phương trình ( )2 ( ) ( )

2x− log x −2x+3 =4x m− log 2x−m+2 với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn −2019; 2019 để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

Câu 35 (Thanh Chương Nghệ An 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m

thuộc đoạn −10;10 để bất phương trình

2

2

3 2

1

x x

tử của tập hợp S bằng

Câu 36 (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2018 lần 2) Tìm số giá trị nguyên của m thuộc −20; 20

2

Câu 37 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để phương

2 x− + m− x+ cos x+6sin x+9cosx+ −m 6 2 x− =2 x+ + có nghiệm thực Khi đó tổng 1

của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng

Câu 38 (Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của m để phương

1

Câu 39 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 1 2 1

x

+ + − + + + 

3

3

Câu 40 (Kim Liên Hà Nội 2019) Cho bất phương trình 3 4 2 3 2 2( 2 )

2

2

m  D m 1

Câu 41 (Ngô Quyền – Hà Nội 2019) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

b

bằng

Câu 42 (TT Thanh Tường – Nghệ An 2019) Cho hàm số f x( )=37+3x−37−3x+2019x Gọi S là

f x − x + x−m + f x− x −  ,

( )0;1

x

Dạng 3 Các bài toán max min

Câu 43 (MĐ 102 – BGD&ĐT 2017) Xét các số thực dương a b, thỏa mãn 2

1

a b

Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P= +a 2b

A min

2

2

2

2

Câu 44 (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn ln 1 2x 3x y 1

x y

x xy

Câu 45 (Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh 2018) Cho 0x y; 1 thỏa mãn

2 1

2

2018 2017

− − = +

,

A 136

2

Câu 46 (Trần Phú – Đà Nẵng 2018) Cho hai số thực x y, thõa mãn

2y +7y+2x 1− =x 3 1− +x 3 2y + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 P= +x 2y

Câu 47 (Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2018) Cho hai số thực ,x y thỏa mãn

3

9x + 2−y 3xy−5 x+ 3xy− = 5 0

P=x +y + xy+ x + x+ −y

9

+

9

−

9

Câu 48 ( Đô Lương 4 – Nghệ An 2018 ) Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn

2 2

3

2

x y

x y xy

6

x y P

x y

=

Câu 49 ( Sở Hà Tĩnh 2019 ) Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn log16 2 2 2 ( 2)

x y z

x x

( 2) ( 2)

x y z

+ −

=

A 1

3

3

−

Câu 50 ( Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2018 ) Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn

xy

Câu 51 (Trần Hưng Đạo – TP.HCM 2018) Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn

2

2 1

2

2

2018

1

x

− + = +

+ Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P=2y−3x

A min

1

2

P = B min

7 8

3 4

5 6

P =

Câu 52 ( Mộ Đức – Quảng Ngãi 2018 ) Cho hai số thực dương ,x y thay đổi thỏa mãn đẳng thức

( ) 2 1 ( 2 ) 2

Câu 53 ( Chuyến Thái Bình 2018 ) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn

3

log  + x 1 y+ 1y+ = −9 x−1 y+1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +x 2y là

A min

11

2

P = B min 27

5

Câu 54 ( Thăng Long – Hà Nội 2018) Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn

5

a b

2 2

T =a +b

A 1

Câu 55 ( Chuyên Bắc Ninh 2018 ) Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3

x y

+ +

= +

Câu 56 (Chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk 2019) Cho các số dương x y, thỏa mãn

5

1

x y

x y

x y

x y

Câu 57 (Ba Đình 2019 ) Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn ( )

2

2 1

2

2 2019

1

x

− + = +

min

P của biểu thức P=2y−x

A min

1

4

P = B min

1 2

7 8

15 8

P =

Câu 58 (Lý Nhân Tông 2019) Cho hai số thực ,x y thỏa mãn

2 2

3

2

x y

x y xy

+

6

x y P

x y

=

94

+

94

−

94

−

94

+

Câu 59 (Chuyên Thái Nguyên 2019 ) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

3

1

3

y

xy x y

x xy

−

3

3

C min

9

9

Câu 60 (Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam 2019 ) Cho hai số dương ,x y thỏa

2

log 4x+ +y 2xy+2 y+ = −8 2x−2 y+2 Giá trị nhỏ nhất của P=2x+y là số có dạng

M =a b+ với c a b, N, a 2 Tính S= + + a b c

Câu 61 (Gia Lộc – Hải Dương 2019) Cho x y , 0 thỏa mãn log x 3y xy x 3y

xy

nhất của biểu thức

9

P

7

Câu 62 (Cụm Trần Kim Hưng – Hưng Yên 2019) Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn

2 2 2 2

1

a b c

+ +

P

a b c

=

3

−

3

+

3

+

3

+

Câu 63 (Hội các trường chuyên 2019) Cho x y , ( )0; 2 thỏa mãn (x−3)(x+8)=ey ey( −11) Giá trị lớn nhất của P= lnx+ 1 ln+ y bằng

Câu 64 (THTT 2019) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn log2x+x x( +y)log2(6−y)+6x Giá

x y

A 59

Câu 65 (Sở Quảng Nam 2019) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn ( 1)

2

2y+ =y 2x+log x+2y− Giá

y

= bằng

2

e +

2

e −

2

e

2ln 2

e

Câu 66 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho ,x y thỏa mãn log3 2 2 ( 9) ( 9)

2

x y

x y xy

+

10

x y P

x y

=

Câu 67 (Hải Hậu 2019) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn

3

9

1

x x

y y

biểu thức S=6x−y là

A 89

3

Câu 68 (Đề tham khảo – BGD&ĐT 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( )x y; thỏa mãn 0 x 2020

Câu 69 (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2019) Cho 0 x 2020 và log2(2 2) 3 8y

x+ + −x y=

Có bao nhiêu cặp số ( )x y; nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Câu 70 Có bao nhiêu cặp số nguyên ( )x y; thỏa 0 y 2017 và

2

2

2 2

Dạng 4 Các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị

Câu 71 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên khoảng (0; +) thỏa mãn f( )1 = và 2

2

T=f x dx

2

2

2

2

Câu 72 (Tư Nghĩa 2019) Cho

hàm số y= f x( ) liên tục trên

R và có đồ thị như hình vẽ

dưới đây Số nghiệm của

phương trình

( )

f x

+

( )

A 6

B 9

C 7

D 8

O

- 1

1 2

x y

Câu 73 (Nguyễn Du 2019) Cho hàm số f x( ) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu

f − x+ x+ = f n n+ có nghiệm x R

Câu 74 (Thị xã Quảng Trị 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Tìm

3

2

1

f x

f x

Câu 75 (Yên Phong 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Có bao

3

2 2

4

3

f x

f x

x

y

1

-1 -2

2 3 4

y = f(x)

x y

O

5

3

1

A 0 B 1 C 2 D 2

Câu 76 (TVO 2019) Cho hàm đa thức bậc ba y= f x( ) có đồ thị của các hàm số y= f x( ); y= f'( )x

( )

x y

-1 1 3

6 4

x y

2

O

1

-3