Bất đẳng thức hayashi, bất đẳng thức weitzenbock suy rộng và các hệ quả

C¡c b i to¡n v• b§t flngthøc v cüc trà h…nh håc thuºc lo⁄i nhœng b i to¡n khâ, nh÷ng th÷íngxuy¶n xu§t hi»n trong c¡c ký thi chån håc sinh giäi trong n÷îc v quŁc t‚.Trong sŁ r§t nhi•u b§t

M— U

B§t flng thøc l mºt trong nhœng chuy¶n • cì b£n cıa To¡n håc nâichung, to¡n phŒ thæng v to¡n sì c§p nâi ri¶ng C¡c b i to¡n v• b§t flngthøc v cüc trà h…nh håc thuºc lo⁄i nhœng b i to¡n khâ, nh÷ng th÷íngxuy¶n xu§t hi»n trong c¡c ký thi chån håc sinh giäi trong n÷îc v quŁc t‚.Trong sŁ r§t nhi•u b§t flng thøc h…nh håc li¶n quan ‚n tam gi¡c, chóng

ta khæng th” khæng nh›c tîi hai b§t flng thøc â l b§t flng thøc Hayashi

v b§t flng thøc Weitzenbock V… v“y tæi chån • t i "B T NG THÙCHAYASHI, B T NG THÙC WEITZENBOCK SUY R¸NG V C C H QU " ” l

m • t i lu“n v«n tŁt nghi»p cıa m…nh

Lu“n v«n n y, ngo i c¡c phƒn möc löc, phƒn mð ƒu, phƒn k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o th… lu“n v«n ÷æc chia ra l m 2 ch÷ìng Nºi dung tłng ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c v c¡c h» qu£, còng mºt sŁ b i to¡n ¡p döng v

mð rºng cıa b§t flng thøc Hayashi cho a gi¡c

Ch÷ìng 2 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng v c¡c h» qu£, còng mºt sŁ b i to¡n ¡p döng Sau â, chóng tæi tr…nh b y b§t flng thøc Weitzenbock cho a gi¡c v b§t flng thøc Weitzenbock ng÷æc

Lu“n v«n ÷æc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa TS L¶ Thanh B‰nh.Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n Thƒy v… sü t“n t…nh h÷îng d¤n,

ch¿ b£o tæi trong suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n v ho n thi»n lu“n v«n n y.Tæi công xin b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh ‚n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ⁄ihåc Quy Nhìn, PhÆng o t⁄o sau ⁄i håc, Khoa To¡n v ThŁng k¶ còng quþthƒy, cæ gi¡o ¢ gi£ng d⁄y lîp cao håc Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p - Khâa

21, nhœng ng÷íi ¢ t“n t¥m gi£ng d⁄y, t⁄o måi i•u ki»n tŁt nh§t cho tæihåc t“p v nghi¶n cøu ” tæi câ th” ho n th nh lu“n v«n n y

B…nh ành, th¡ng 07 n«m 2020

Håc vi¶n

Vª K‚ Thành

1.1 B§t flng thøc Hayashi

ành lþ 1.1.1 (B§t flng thøc Hayashi, xem [10]) Cho M l mºt i”m tòy þtrong m°t phflng chøa tam gi¡c ABC vîi º d i c¡c c⁄nh BC; CA; AB lƒnl÷æt l a; b; c Khi â, ta câ

aM B:M C + bM C:M A + cM A:M B abc:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi M l trüc t¥m tam gi¡c ABC

Sau ¥y, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ c¡ch chøng minh b§t flng thøcHayashi (1.1.1)

C¡ch 1 (Sß döng b§t flng thøc Ptolemy)

Tr÷îc ti¶n, chóng tæi xin tr…nh b y mºt c¡ch chøng minh sì c§p câ th” d

nh cho håc sinh Trung håc cì sð â l düa tr¶n b§t flng thøc Ptolemy

BŒ • 1.1.1 (B§t flng thøc Ptolemy, xem [1]) Cho bŁn i”m A; B; C; D b§t ký tr¶n m°t phflng, khi â ta câ

AB:CD + BC:AD AC:BD:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi A; B; C; D l bŁn i”m n‹m tr¶n mºt ÷íng trÆn (hay tø gi¡c ABCD l tø gi¡c nºi ti‚p)

Chøng minh L§y i”m E sao cho EAB = CDB

Suy ra ABE v DBC; tł â ta câ

DB

A

E

D B

Cºng (1.1.3) v (1.1.4) v‚ theo v‚ ta ÷æc

AB:DC + BC:AD = BD(AE + CE) BD:AC:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi E thuºc c⁄nh AC, tøc l A v D còngnh…n c⁄nh BC d÷îi mºt gâc b‹ng nhau Nâi c¡ch kh¡c, flng thøc x£y rakhi v ch¿ khi tø gi¡c ABCD l tø gi¡c nºi ti‚p

B¥y gií, chóng ta chøng minh b§t flng thøc Hayashi (1.1.1)

Chøng minh L§y hai i”m E v F sao cho BCM E v BCAF l c¡c h…nh b…

nh h nh, khi â tø gi¡c EM AF công l h…nh b…nh h nh

M E

C B

AB:AM + BC:CM = AB:EF + AF:BE AE:BF = AE:AC; BM:AE +

AM:CM = BM:AE + AM:BE AB:EM = AB:BC:

Khi â

MA:MB:AB + MB:MC:BC + MC:MA:CA

= MB(MA:AB + MC:BC) + MC:MA:CAMB:AE:AC + MC:MA:CA

= AC(MB:AE + MC:AM)AC:AB:BC

hay

aM B:M C + bM C:M A + cM A:M B abc:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi c¡c tø gi¡c ABEF v AEBM nºi ti‚p ÷æc

÷íng trÆn, khi â AF EM công l h…nh b…nh h nh v AM?EM hay AM?

BC T÷ìng tü, ta câ CM?AB, n¶n M l trüc t¥m tam gi¡c

(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2)

÷æc gåi l ph†p cºng v

(x1; y1) (x2; y2) = (x1x2 y 1 y 2 ; x 1 y 2 + x 2 y 1 )

÷æc gåi l ph†p nh¥n Måi sŁ phøc z = (x; y) ÷æc vi‚t d÷îi d⁄ng z = x +

iy vîi i = (0; 1) v måi sŁ thüc x ÷æc x¡c ành bði sŁ phøc (x; 0).Vîi z = x +

iy, ta ành ngh¾a

B§t flng thøc tr¶n cÆn ÷æc gåi l b§t flng thøc tam gi¡c flng thøc trong

(1.1.7) x£y ra khi v ch¿ khi flng thøc x£y ra ð (1.1.6) Trong tr÷íng

hæp z1 6= ;0z2 6= ,0 flng thøc ð (1.1.7) x£y ra khi v ch¿ khi z2 = tz1 vîi

ta ־c

jz1j j z2j jz1 z2j:

Gi£ sß ta câ jjz1j j z2jj = jz1 + z2j, th…

(jz1j j z2j)2 = jz1 + z2j2 = jz1j2 + jz2j2 + 2Re(z1z2):

Do â,

Re (z1z2) =z1jjz2j = z1z2j:

2 2 2 i•u n y k†o theo Re (z

1z2) 0 v (Re (z1z2)) = (Re(z1z2)) +(Im (z1z2))

Chøng minh Gi£ sß M l gŁc cıa m°t phflng phøc v °t ; ; 2 R R lƒn l÷æt ltåa và cıa ba i”m A; B; C: Khi â, vîi måi ; ; ta câ çng

BŒ • 1.1.2 (B§t flng thøc Klamkin, xem [8]) Cho ABC l mºt tam gi¡ctòy þ vîi º d i c¡c c⁄nh lƒn l÷æt l a; b; c v P l i”m b§t ký trong m°t phflngchøa tam gi¡c Vîi c¡c sŁ thüc x; y; z ta câ

(x + y + z) xP A2 + yP B2 + zP C2 yza2 + zxb2 + xyc2: (1.1.17)

Chøng minh Ta câ

! ! ! ~ xP A + yP B + zP

C 0

(x2+yz(P B2 + P Chay

(x + y + z) xP A2 + yP B2 + zP C2yza2 + zxb2 + xyc2:

flng thøc trong (1.1.17) x£y ra khi v

BŒ • 1.1.3 (Xem [8]) Cho ABC l

i”m b§t ký trong m°t phflng chøa tam gi¡c ABC Vîi h m sŁ f, chøng

minh r‹ng n‚u b§t flng thøc sau ¥y

f(a; b; c; R1; R2; R3) 0

óng, th… b§t flng thøc sau công óng

f(aR1; bR2; cR3; R2R3; R3R1; R1R2) 0;

trong â R1; R2; R3 lƒn l÷æt l kho£ng c¡ch tł P ‚n c¡c ¿nh A; B; C:

Tr÷îc h‚t, chóng tæi cƒn nh›c l⁄i ành ngh¾a ph†p nghàch £o m s‡

÷æc sß döng trong chøng minh n y

Cho i”m O cŁ ành v sŁ thüc k kh¡c 0: Ùng vîi mØi i”m M kh¡c O

ta luæn t…m ÷æc i”m M0 sao cho OM :OM0 = k: i”m M0 ÷æc gåi l nghàch £o cıa i”m M trong ph†p nghàch £o cüc O vîi t¿ sŁ k: Quay trðl⁄i vîi chøng minh BŒ • 1.1.3

Chøng minh X†t ph†p nghàch£o N t¥m P , t¿ sŁ R1R2R3; ta câ

N:A!A0;B!B0;C!C0:Khi â P A0 = P B:P C = R2R3, t÷ìng tü P B0 = R3R1; P C0 = R1R2

v B0C0 = R 1 R 2 R 3 : P B:PBC C = aR 1 ; t÷ìng tü C0A0 = bR 2 ; A0B0 = cR 3 : V…f(a; b; c; R1; R2; R3) 0 óng vîi måi tam gi¡c ABC v måi i”m P n¶n ¡pdöng i•u n y cho tam gi¡c A0B0C0 v i”m P ta ÷æc

f(B0C0; C0A0; A0B0; P A0; P B0; P C0)0;

hay

f(aR1; bR2; cR3; R2R3; R3R1; R1R2) 0:

Sß döng BŒ • 1:1:2 v BŒ • 1:1:3 ta chøng minh ÷æc b§t flng thøcsau

ành lþ 1.1.2 (B§t flng thøc Jian Liu, xem [8]) Cho x; y; z l c¡c sŁd÷ìng Khi â, vîi tam gi¡c ABC tòy þ v P l i”m b§t ký trong m°t phflngchøa tam gi¡c ABC, b§t flng thøc sau óng

trong â R1 = P A; R2 = P B; R3 = P C:

flng thøc x£y ra khi v

tròng vîi trüc

t¥m cıa tam gi¡c v

x : y : z = cotA : cotB : cotC:

Chøng minh N‚u P tròng vîi mºt trong c¡c ¿nh cıa tam gi¡c ABC,chflng h⁄n, P tròng A th… P A = 0; P B = c; P C = b v b§t flng thøc(1.1.21) trð th nh tƒm th÷íng Trong tr÷íng hæp n y, d§u flng thøc trong

(1.1.21) khæng x£y ra

Ti‚p theo, ta gi£ sß P khæng tròng vîi b§t ký ¿nh n o cıa tam gi¡c ABC N‚u x; y; z l c¡c sŁ d÷ìng th… tł b§t flng thøc (1.1.17) ta câ

M°t kh¡c, theo b§t flng thøc Cauchy-Schwarz ta câ

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi x : y : z = a : b : c:

K‚t hæp hai b§t flng thøc tr¶n ta nh“n b§t flng thøc sau

(xR 12 + yR 22 + zR 32)

D§u flng thøc trong (1.1.22) x£y ra khi v ch¿ khi x : y : z = a : b : c v

P l t¥m cıa ÷íng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c ABC

p döng ph†p nghàch £o trong BŒ • 1:1:3 cho b§t flng thøc (1.1.22),

Thay x ! xR12; y ! yR22; z ! zR32 v o (1.1.23) ta ־c

1

L⁄i mºt lƒn nœa, thay x !

N‚u flng thøc trong (1.1.19) x£y ra khi P l t¥m cıa ÷íng trÆn nºi ti‚p tamgi¡c ABC, th… flng thøc trong (1.1.20) x£y ra khi ABC l tam gi¡c nhån v

P l trüc t¥m cıa nâ K‚t hæp i•u n y v i•u ki»n flng thøc x£y ra trong(1.1.22), ta câ flng thøc trong (1.1.21) x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡cABC l tam gi¡c nhån, P l trüc t¥m cıa nâ v

R1 R2xa

Khi P l trüc t¥m cıa tam gi¡c nhån ABC, ta câ R1 : R2 : R3 = cosA :

cosB : cosC: Do â, trong tr÷íng hæp n y, tł (1.1.25) ta câ x : y : z =

cotA : cotB : cotC: V… v“y, flng thøc trong (1.1.21) x£y ra khi v ch¿ khi

tam gi¡c ABC l tam gi¡c nhån, P tròng vîi trüc t¥m tam gi¡c v x : y : z =

cotA : cotB : cotC:

C¡ch 3 (Sß döng b§t flng thøc Jian Liu)

Trong b§t flng thøc Jian Liu (1.1.21), vîi x = Ra1 ; y = Rb2 ; z = Rc3 ; saukhi bi‚n Œi ta thu ÷æc b§t flng thøc Hayashi Th“t v“y, n‚u chån P l mºti”m tòy þ v khæng tròng vîi c¡c ¿nh cıa tam gi¡c ABC, th…

Trong â R1 = P A; R2 = P B; R3

khi tam gi¡c ABC nhån v

1.2 C¡c h» qu£ cıa b§t flng thøc Hayashi

H» qu£ 1.2.1 (B§t flng thøc Euler, xem [10]) Kþ hi»u R; r lƒn l÷æt l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p v nºi ti‚p cıa tam gi¡c ABC Khi â

trong â a + b + c = 2p, S l di»n t‰ch cıa tam gi¡c ABC: Khi â, ta suy

ra R2r: flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC l tam gi¡c •u

H» qu£ 1.2.2 Kþ hi»u ma; mb; mc

tuy‚n xu§t ph¡t tł c¡c ¿nh A; B; C

lƒn l÷æt l º d i c¡c ÷íng trung cıa tam gi¡c ABC: Khi â

n‚u v ch¿ n‚u P l trüc t¥m cıa tam gi¡c ABC.

Gi£i Theo chøng minh b§t flng thøc Hayashi (1.1.1) ta câ

1 z

2

z3

V“y P l trüc t¥m cıa tam gi¡c ABC.

£o l⁄i, n‚u P l trüc tam tam gi¡c nhån ABC, P n‹m trong tam gi¡c

?

v P A BC n¶n gâc t⁄o bïi v†c-tì!

t⁄i sŁ thüc d÷ìng r1 sao cho

T÷ìng tü, tçn t⁄i c¡c sŁ thüc d÷ìng r2; r3 sao cho

trong â a; b; c l º d i c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c ABC.

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC l tam gi¡c •u.

B i to¡n 1.3.3 (Thi chån ºi tuy”n IMO Romani 2004, xem [5]) Cho tamgi¡c ABC v P l mºt i”m n‹m trong tam gi¡c Gåi R1; R2; R3; R

lƒn l÷æt t÷ìng øng l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c GBC, GCA, GAB, ABC C¡c ÷íng thflng P A; P B; P C lƒn l÷æt c›t c¡c c⁄nh

k2 = S P CA ; k3 = S P AB :S

p döng b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c ABC v

nâ t÷ìng ÷ìng vîi b§t flng thøc sau

= cP A:P B :

4R3i”m P n‹m trong

aP B:P C4R1

k1R1 + k2R2 + k3R3 R:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi P l trüc t¥m tam gi¡c ABC

B i to¡n 1.3.4 Cho tam gi¡c ABC vîi º d i c¡c c⁄nh l l a; b; c: ha; hb; hc l º

d i c¡c ÷íng cao v b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p, nºi ti‚p lƒn l÷æt l R; r Gåi

O; I; G lƒn l÷æt l t¥m ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p, nºi ti‚p, trång t¥m cıa tam gi¡c

ABC Kþ hi»u R1; R2; R3 l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c

GBC; GCA; GAB t÷ìng øng Kþ hi»u ra; rb; rc l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄iti‚p c¡c tam gi¡c IBC; ICA; IAB t÷ìng øng v kþ hi»u R10; R20; R30 l b¡n k

‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c OBC; OCA; OAB Chøng minh r‹ng:

h b

B

H…nh 1.3.4(i) p döng b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c ABC vîi i”m I, ta câ

aIB:IC + bIC:IA + cIA:IB abc:

rb

h

b + r

b :rabc + rc :rabc abc;

(ii) p döng b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c ABC vîi i”m O; ta câ

aOB:OC + bOC:OA + cOA:IO abc:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC l tam gi¡c •u

1.4 B§t flng thøc Hayashi cho a gi¡c

Trong phƒn nƒy, chóng tæi tr…nh b y mð rºng cıa b§ flng thøc

Hayashi cho a gi¡c

Ta th§y b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c (1.1.1) câ th” vi‚t l⁄i d÷îi d⁄ng:

AB:AC:M AQuaâ, chóng ta mð rºng mºt c¡ch tü nhi¶n b§t flng thøc Hayashi cho a gi¡c n c⁄nh thæng qua ành lþ sau

ành lþ 1.4.1 (B§t flng thøc Hayashi cho a gi¡c, xem [3]) Vîi a gi¡c

A1A2:::An v i”m M tòy þ ta luæn câ

n

Xk

M Ak

=1

(Vîi n = 3 ta thu ÷æc b§t flng thøc Hayashi cho tam gi¡c.)

ành lþ 1.4.2 (B§t flng thøc (M; N), xem [3]) Cho a gi¡c A1A2:::An: Khi

â, vîi b§t k… s < n; c¡c i”m N1N2:::Ns v i”m M thuºc m°t phflng chøa agi¡c A1A2:::An ta luæn câ

(i) Khi s = 0 ta câ b§t flng thøc Hayashi cho a gi¡c

(ii) Khi n = 3; s = 1; bŁn i”m A; B; C; N thuºc ÷íng trÆn t¥m M ta

câ b§t flng thøc

aAN + bBN + cCN 4S ABC :Chøng minh Gi£ sß ¿nh Ak câ tåa và ak vîi k = 1; 2; :::; n v i”m M câtåa và z; v Nj câ tåa và zj; vîi j = 1; 2; :::; s: Theo cæng thøc nºi suyLagrange, ta câ

s

(z

Y

V‰ dö 1.4.1 Cho tam gi¡c ABC vîi º d i c¡c c⁄nh a; b; c v I; Ja; Jb; Jclƒn l÷æt l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p v

tam gi¡c ABC: Khi â vîi b§t k… i”m M; ta luæn câ

(i) Theo b§t flng thøc (M; N) vîi n = 3; s = 1 ta câ

Do â ta câ

Cºng ba b§t flng thøc (1.4.4), (1.4.5) v (1.4.6) v‚ theo v‚, ta ÷æc

M J

b y b§t flng thøc Weitzenbock cho a gi¡c v b§t flng thøc Weitzenbock ng÷æc.

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c â l tam gi¡c •u

Chøng minh Ta vi‚t a = y + z; b = z + x; c = x + y vîi x; y; z > 0:

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC l tam gi¡c •u.

Chó þ 2.1.1 B§t flng thøc Weitzenbock (2.1.1) câ th” xem l b§t flngthøc cì b£n nh§t li¶n h» giœa c⁄nh v di»n t‰ch tam gi¡c Chó þ r‹ng,m⁄nh hìn b§t flng thøc Weitzenbock ta câ b§t flng thøc Hadwiger-Finsler sau ¥y

ành lþ 2.1.2 (B§t flng thøc Hadwiger-Finsler, xem [10]) Cho a; b; c lc¡c c⁄nh cıa mºt tam gi¡c vîi di»n t‰ch S Khi â, ta câ

p

a2 + b2 + c2 (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 + 4 3S: (2.1.3) Chøng minh

Ta vi‚t a = y + z; b = z + x; c = x + y vîi x; y; z > 0: Khi â, (2.1.3) trð th nh

xy + yz + zx, (xy yz)2 + (yzK‚t qu£ (2.1.4) l hi”n nhi¶n V“y b§t flng thøc (2.1.3) ÷æc chøng minh.flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c â l tam gi¡c •u

Nh“n x†t 2.1.1 (Xem [11]) B§t flng thøc Weitzenbock v b§t flng thøc Hadwiger-Finsler l hai b§t flng thøc t÷ìng ÷ìng

Chøng minh Ta th§y (2.1.3)) (2.1.1) l hi”n nhi¶n

Ta cƒn chøng minh (2.1.1) ) (2.1.3)

Tr÷îc ti¶n, ta chøng minh bŒ • sau.

BŒ • 2.1.1 (Xem [11]) Cho tam gi¡c ABC vîi c¡c c⁄nh l a; b; c v di»n t

T÷ìng tü, ta câ b0 + c0

cıa tam gi¡c A0B0C0:

Ta l⁄i câ

A0+B0+C0 =n¶n A0; B0; C0 l ba gâc cıa mºt tam gi¡c

Gi£ sß, mºt tam gi¡c vîi c¡c c⁄nh a0; b0; c0 l

a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c) 4 3S;

hay

2(ab + bc + ca)B§t flng thøc (2.1.5) ch‰nh l d⁄ng khai tri”n cıa b§t flng thøc (2.1.3)

V…

Quay l⁄i chøng minh b§t flng thøc (2.1.6) cıa ành lþ 2.1.3:

p döng b§t flng thøc Aczel vîi n = 4, bº sŁ (a1; a2; a3; a4) ÷æc thayth‚ bði (a12 + b12 + c12;

ki»n cıa b§t flng thøc Aczel Th“y v“y, ta câ

xa2 + yb2 + zc2 4p

xy + yz + zxS:

¥y ch‰nh l b§t flng thøc Weizenbock suy rºng ÷æc ph¡t bi”u ð ành lþsau

ành lþ 2.1.4 (B§t flng thøc Weizenbock suy rºng, xem [11]) Cho x; y;

z l c¡c sŁ thüc thäa m¢n c¡c i•u ki»n x + y; y + z; z + x; xy + yz + zx 0 °t

a; b; c l º d i c¡c c⁄nh v S l di»n t‰ch cıa tam gi¡c ABC Khi â, ta câ

flng thøc x£y ra khi v

Sau ¥y l mºt c¡ch chøng minh kh¡c cho b§t flng thøc Weitzenbock suyrºng (2.1.7).

C¡ch 2

Chøng minh Khæng m§t tŒng qu¡t, gi£ sß BC l

gi¡c ABC Gi£ sß H l

yHC2 + zHB2Suy ra

yHC2

Tł (2.1.11) v (2.1.12) suy ra

xa2 + yb2 + zc2

V“y b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng (2.1.7) ÷æc chøng minh.Nh“n x†t 2.1.2 Vîi x = y = z (kh¡c 0) th… b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng (2.1.7) trð th nh b§t flng thøc Weitzenbock cì b£n (2.1.1).Sau ¥y, ta x†t c¡c h» qu£ cıa b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng

2.2 C¡c h» qu£ cıa b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng

gi¡c ABC Vîi måi sŁ thüc d÷ìng x; y; z, ta câ

Chøng minh p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz ta câ

3 x a 4

+

yz

Tł b§t flng thøc (2.2.1) v (2.2.3) suy ra

yz

a4 +x

V“y b§t flng thøc (2.2.2) ÷æc chøng minh.

H» qu£ 2.2.3 °t a; b; c l º d i c¡c c⁄nh v S l

gi¡c ABC Vîi måi sŁ thüc d÷ìng x; y; z, ta câ

(i) a4 + b4 + c4 16S2:(ii) b2c2 + c2a2 + a2b2 16S2:

8

(iii) abcChøng minh (i) p döng b§t flng thøc (2.2.2), vîi x = y = z, ta ÷æc

abc

H» qu£ 2.2.4 °t a; b; c l º d

gi¡c ABC Vîi måi sŁ thüc d÷ìng x; y; z, ta câ

xab + ybc + zcaChøng minh Trong b§t flng thøc Weitzenbock suy rºng (2.1.7),

xa2 + yb2 + zc2 4

ta thay x; y; z lƒn l÷æt bði x

xab + ybc + zca 4r

hay

(xab + ybc + zca)2 16S2

L⁄i thay x; y; z lƒn l÷æt bði z

suy rºng (2.1.7), v b…nh ph÷ìng hai v‚, ta ÷æc

(xab + ybc + zca)2 16S2

Cºng v‚ theo v‚ hai b§t flng thøc (2.2.9) v (2.2.10) ta ÷æc

p döng b§t flng thøc AM-GM, cho v‚ ph£i cıa b§t flng thøc (2.2.11), ta

־c

2(xab + ybc + zca)2 2:16S2(xy + yz + zx);

hay

p