Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D lập thành một tứ diện... Mệnh đề nào sau đây đúng:a[r]
Trang 1Họ và tên:
Lớp :
KIỂM TRA 45 PHÚT MÔN: HÌNH HỌC
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 2 ĐIỂM)
Khoanh tròn vào các phương án đúng trong mỗi câu sau:
Câu 1: Cho ABCD là hình bình hành nếu : A = ( 0;1;2 ), B = ( 1;0;3), C = ( 1;2;3) thì tọa
độ đỉnh D là:
a ⃗a - ⃗b = ( 0; 3;0) b ⃗a ⃗b = -3 c ⃗a + ⃗b = (-2;-1;4) d Ba đáp án trên đều sai
Câu 3 : Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x – 4y + 6z – 3 = 0 là
Câu 4 : Cho hai mặt phẳng x + y – 3z + m = 0 và 2x + 2y + mz +1 = 0 Hai mặt phẳng
song song khi:
PHẦN II: TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Câu 1 : ( 6 điểm)
Cho bốn điểm A( 0;0;1), B(0;1;2), C(1;2;3) và D(1;1;1)
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D lập thành một tứ diện
c Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có : a2tanA = b2tanB = c2tanC
Trang 2Họ và tên:
Lớp :
KIỂM TRA 45 PHÚT.
MÔN: HÌNH HỌC
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 2 ĐIỂM)
Khoanh tròn vào các phương án đúng trong mỗi câu sau:
Câu 1: Cho ABCD là hình bình hành nếu : A = ( 1;0;1 ), B = ( 2;1;2), C = ( 2;0;2) thì tọa
độ đỉnh D là:
a ⃗a - ⃗b = ( 0; 3;0) b ⃗a ⃗b = 3 c ⃗a + ⃗b = ( 0; 3;0) d Ba đáp án trên đều sai
Câu 3 : Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x – 4y + 6z – 3 = 0 là
a ⃗n ( -2;4;-6) b ⃗n (1;-2;6) c (1;2;3) d ( 1;-2;-3)
Câu 4 : Cho hai mặt phẳng x + y – 3z + m = 0 và 3x + 3y + mz +1 = 0 Hai mặt phẳng
song song khi:
PHẦN II: TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Câu 1 : ( 6 điểm)
Cho bốn điểm A( 0;0;1), B(0;1;2), C(1;2;3) và D(1;1;1)
a Viết phương trình mặt phẳng (ABD)
b Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D lập thành một tứ diện
c Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh C
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có : a2tanA = b2tanB = c2tanC
Trang 3ĐÁP ÁN
PHẦN I : TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm, mỗi câu 0,5 điểm)
PHẦN II : TỰ LUẬN ( 8 điểm)
Câu 1(5 điểm):
a (3 điểm):
⃗AB=(0 ;1;1)
⃗AD=(1 ;1; 0)
⇒[⃗AB ,⃗AC]=(−1 ;1;− 1) là vtpt của
(ABC)
Vậy mp (ABC) có pt là:
-(x + 0) + (y – 0) – (z – 1 ) = 0
Hay : -x + y – z + 1 = 0
b (1,5 điểm):
Thấy: -1+ 2 – 3 + 1 ¿−1 ≠ 0
nên C( 1; 2; 3) không thuộc
mp(ABD) do đó A, B, C, D không
đồng phẳng hay chúng lập thành
một tứ diện
c (1,5 điểm): Độ dài đường cao h
của tứ diện kẻ từ C = d ( C, (ABD))
= |-1+ 2 - 3 + 1|
√1+1+1 =
1
√3=
√3 3
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 1
0,5 1
Câu 2 ( 3 điểm)
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O
S , điểm A Ox, BOy, COz.
Ta có :A(a;0;0) , B(0;b;0) , C( 0;0;c).
Và AB
= (-a;b;0) AC
=(-a;0;c)
BA⃗ =(a;-b;0)
BC
=(0;-b;c)
CA
=(a;0;-c)
CB⃗ =(0;b;-c)
Mặt khác : cosA =
.
AB AC
AB AC
, sinA =
,
AB AC
AB AC
Suy ra : tanA =
, sin
AB AC A
⃗ ⃗
2
(bc) (ca) (ba)
a
a 2 tanA = (bc)2 (ca)2(ba)2 Tương tự :
b 2 tanB = (bc)2 (ca)2 (ba)2
c 2 tanC = (bc)2 (ca)2 (ba)2
suy ra điều phải chứng minh!
0,5
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,5
Trang 4ĐÁP ÁN(đề 2)
PHẦN I : TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm, mỗi câu 0,5 điểm)
PHẦN II : TỰ LUẬN ( 8 điểm)
Câu 1(5 điểm):
a (3 điểm):
⃗AB=(0 ;1 ;1)
⃗AC=(1 ;2 ;2)
⇒[⃗AB ,⃗AC]=(0 ;1 ;− 1) là vtpt của
(ABC)
Vậy mp (ABC) có pt là:
(y – 0) – (z – 1 ) = 0
Hay : y – z + 1 = 0
b (1,5 điểm):Thấy 1 – 1 + 1
¿1≠ 0
nên D( 1; 1; 1) không thuộc
mp(ABC) do đó A, B, C, D không
đồng phẳng hay chúng lập thành
một tứ diện
c (1,5 điểm): Độ dài đường cao h
của tứ diện kẻ từ D = d ( D, (ABC))
= |1 1 −1 1 +1|
√1+1 =
1
√2=
√2 2
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 1
0,5 1
Câu 2 ( 3 điểm)
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O
S , điểm A Ox, BOy, COz.
Ta có :A(a;0;0) , B(0;b;0) , C( 0;0;c).
Và AB
= (-a;b;0) AC
=(-a;0;c)
BA⃗ =(a;-b;0)
BC
=(0;-b;c)
CA
=(a;0;-c)
CB⃗ =(0;b;-c)
Mặt khác : cosA =
.
AB AC
AB AC
, sinA =
,
AB AC
AB AC
Suy ra : tanA =
, sin
AB AC A
⃗ ⃗
2
(bc) (ca) (ba)
a
a 2 tanA = (bc)2 (ca)2(ba)2 Tương tự :
b 2 tanB = (bc)2 (ca)2 (ba)2
c 2 tanC = (bc)2 (ca)2 (ba)2
suy ra điều phải chứng minh!
0,5
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,5