Bất Đẳng Thức (nâng cao lớp 9)

Bài t ập tương tự.[r]

Võ Tiến Trình 1

BẤT ĐẲNG THỨC (Nâng cao cho lớp 9)

Phần I Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương

PP Dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đảng thức cần chứng minh

về các bất đẳng thức khác mà ta dễ dàng nhận thấy đúng

Bài 1 Cho a b c  , , Chứng minh a2 b2 c2 abbcca

a b c abbcca a b c  abbcca 

a b2 b c2 c a2 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho a b  , thỏa a b 2 Chứng minh  2 2

2

ab a b 

ab a b   ab a b   ab

a a b a b ab b

a b4 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho a b c  , , thỏa a  b c 3 Chứng minh

6

a b c abbcca

Ta có: a2 b2 c2 abbcca 6 a b c2 abbcca 6

2

Võ Tiến Trình 2

a b c ab ba ca

a b2 b c2 c a2 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho a b  , thỏa ab 1 Chứng minh 1 2 1 2 2

1

b a a ab b a b

2

1

0

b a ab

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 5 Cho a b c  , ,  1;4thỏa a  b c 2 Chứng minh a2 b2 c2 18

Ta có:  1 a4a4a10a2 3a 4 0a2 3a 4

Tương tự b2 3b4, c2 3c4

a b c  a b c  

Bài tập tương tự

Bài 6 Chứng minh các bất đẳng thức sau

Võ Tiến Trình 3

a) a b , 0 Chứng minh a3 b3 a b2 ab2

b) a b  , thỏa a b 2 Chứng minh a3 b3 a2 b2 và a3 b3  2

c) Cho a b c  , , thỏa a  b c 3 Chứng minh a4 b4 c4 a3b3 c3

d) Cho a b  , thỏa a b 0 Chứng minh

   2 2 3 3  6 6

4

ab a b a b  a b

e) Cho a b  , Chứng minh  10 10 2 2  8 8 4 4

a b a b  a b a b

f) Cho a 3 36 và abc 1 Chứng minh

2

3

a

b c ab bc ca

g) Cho a b  , thỏa a b 0 Chứng minh

2

2

ab

a b

a b





h) Cho a b c  , , Chứng minh abbcca2 3abc a  b c

a b c abc a b c

a b c   a ab   a c

j) Cho a b c  , , Chứng minh

2

2 2

2 4

a

b c ab ac bc

k) Cho a b c , , 0 Chứng minh a  b c ab bc ca

Phần II Áp dụng một vài bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức khác

Dạng 1 Áp dụng bất đẳng thức a2 b2 c2 abbcca  1 với a b c  , ,

2

a b c a b c  ab bc ca và  1 ta có:

a b c2 3ab bc ca Dấu "  " xảy ra abc

3

a b c   a b c Dấu "  " xảy ra abc

Các bất đẳng thức trên rất cơ bản và đơn giản nhưng nếu được áp dụng hợp lí thì

có thể giải được nhiều bài toán bất đẳng thức khác

Ví dụ 1.(Canada 2002): Cho ba số a b c , , 0 Chứng minh

Võ Tiến Trình 4

a b c

a b c

bccaab  

a b c

a b c a b c abc a b c

a b c R a b c ab bc ca

a b c  a b b c c a abbcbccacaababc a b c

Dấu "  " xảy ra abc + Nếu cho abc 1 ta có bất đẳng thức:

Cho ba số thực a b c, , thỏa: abc 1 Chứng minh: 4 4 4

a b c a b c

+ Nếu cho a b c   1 ta có bất đẳng thức:

Cho ba số thực a b c, , thỏa: a b c   1 Chứng minh: 4 4 4

a b c abc

Ví dụ 2 (BMO 2001)

Cho ba số a b c, ,  0 :a b  c abc Chứng minh: 2 2 2

3

a b c  abc

a b c  abc a b c  abc

a b c  a b b c c a  abbc bcca caab

3abc a b c 3 abc

Dấu "  " xảy ra abc 3

Ví dụ 3 (Bearus 1996) Cho a b c, ,  0 :a  b c abc Chứng minh:

9

ab bc ca   a b c 

Giải: ab bc ca2 3abbcbccacaab 3abc a  b c

3 a b c 3 3 abc 81abc 81 a b c

Võ Tiến Trình 5

Vậy ab bc ca   9a b c  

Dấu "  " xảy ra a  b c 9

Bài tập

Bài 1 Cho a b c, , là các số thực Chứng minh

a)a2b2 c2abbcca

3 a b c  a b c 3 abbcca

Bài 2

a)Cho a b c , , 0 Chứng minh

a b c

bc ca ab   

b)Cho a b c , , 0 thỏa a  b c abc Chứng minh a b c 3 1 1 1

a b c

      

c)Cho a b c , , 0thỏa a  b c abc Chứng minh a2 b2 c2  3abc

d)Cho a b c , , 0 thỏa a  b c abc Chứng minh abbcca9a b c

Bài 3 Cho a b c , , 0 thỏa a  b c 1 Chứng minh

c  a  b  b)

1

b  c  a 

a b c

Bài 4 Cho a b c, , 0 :a  b c 1 Chứng minh

4a 1 4b 1 4c 1 21

Võ Tiến Trình 6

Dạng 2 Cho a b , 0.Chứng minh: a b 1 1 4 2 

a b

Chứng minh: a b 1 1 4 a b2 4ab a b2 0

a b

Dấu "  " xày ra ab

Bất đẳng thức  2 thường được sử dụng dưới dạng: 1 1 4  3

ab ab

Đây là một bất đẳng thức đơn giãn nhưng dùng nó ta sẽ giải quyết nhiều bất đẳng thức khác khó hơn

Ví dụ 4: Cho ba số dương a b c, , Chứng minh: 3 3 1 1

2aba 2b ab

Giải: Dùng bất đẳng thức  3

a

Tương tự

a b b a b

.Dấu "  " xày ra ab

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Dùng BĐT (3)

Ta có:

Dấu "  " xày ra abc

Võ Tiến Trình 7

2

a bc

  Dấu "  " xày ra abc

2

a b  c

  Dấu "  " xày ra abc

Cộng vế theo vế ta có:

Dấu "  " xày ra abc

Ví dụ 6 Cho a b c , , 0 Chứng minh:

2a b ca 2bca b 2c a 3bb 3cc 3a

Giải:

a ba b  c a b  a b c a bc

b c a b c b c a b c  a b  c

c aa b c c a a bc a b c

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Dấu "  " xày ra abc

Ví dụ 7 Cho a b , 0 Chứng minh: 2 2  2

a b

a b

a b a b



Giải:

2

a b

Võ Tiến Trình 8

a b a b  Dấu "  " xày ra ab

4 2

a b

a b

a b



Dấu "  " xày ra ab

+ Nếu a b,  0 :a b 1 ta có bài toán: Chứng minh:

1

a b

+ Nếu a b,  0 :a b  2 ta có bài toán: Chứng minh:

1

a b

a b 

Bài tập tương tự:

Bài 2: Cho ba số dương a b c a, , :   b c 1 Chứng minh:

2

b c caa b 

Bài 3: Cho ba số dương a b c a, , :   b c 1 Chứng minh:

9

a  bcb  cac  ab

Bài 4: (Nesbitt) Cho a b c , , 0 Chứng minh:

3 2

b c caa b 

Bài 5:(IMO 1995) Cho abc 1, , ,a b c 0 Chứng minh:

2

a b c b ca c a b 

Bài 6: (IMO Short List 1993) Cho a b c , , 0 Chứng minh:

2

b c d c d ad a ba b c 

Bài 7

Võ Tiến Trình 9

a) Cho ,a b0 :a b Tìm GTNN của 1 2 1 2 1

2

A

a b ab



b) Cho ,a b0 :ab Tìm GTNN của 1 12 2 1

B

a b ab

c)Cho ,a b0 :ab Tìm GTNN của 1 C 2 1 2 1 4ab

a b ab



d)Cho ,a b0 :ab Tìm GTNN của 1 D 3 1 3 12 12

a b a b ab

