Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, gọi d là đường thẳng qua A và không cắt đoạn thẳng BD. Cho hình bình hành ABCD, các đường phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại M, các đường phân gi[r]
Trang 1HÌNH BÌNH HÀNH
Hình Bình Hành Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Tứ giác ABCD là hình bình hành
/ / / /
AB CD
Tính chất Trong hình bình hành: các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau,
hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh đối song song.
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
A Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DA Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Giải.
Trang 2Xét tam giác ABC ta có: M là trung điểm AB, N là trung điểm BC nên MN là
đường trung bình của tam giác ABC, suy ra
1 2
và MN / /AC (1)
Xét tam giác DAC ta có: Q là trung điểm của DA, P là trung điểm của C nên QP là
đường trung bình của tam giác DAC, suy ra
1 2
và PQ/ /AC (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MN / /PQ và MN PQ , do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ví dụ 2 Cho tứ giác ABC, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
Giải.
Xét tam giác DEC ta có:
Trang 3Q là trung điểm của DE; F là trung điểm của DC nên QF là đường trung bình của
tam giác DEC, suy ra QF / /EC và
1 2
QF EC EN
(vì N là trung điểm EC) hay / /
QF EN và QF EN nên tứ giác QFNE là hình bình hành
EF
cắt QN tại trung điểm của mỗi đường Gọi trung điểm đó là O (1)
Tương tự, xét tam giác ABF ta có:
E là trung điểm của AB; M là trung điểm của AF nên EM là đường trung bình của
tam giác ABF, suy ra EM / /BF và
1 2
EM BF PF
(vì P là trung điểm BF) hay / /
EM PF và EM PF nên tứ giác EMFP là hình bình hành
EF
cắt PM tại trung điểm của mỗi đường và vì O là trung điểm EF nên O cũng
là trung điểm PM (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra PM cắt QN tại trung điểm O của mỗi đường nên tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,
AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M, N Chứng minh
a)AI / /CK b) DM MN NB
Giải.
Trang 4a) Chứng minh AI // CK.
Vì K là trung điểm của AB nên
1 2
AK AB
I là trung điểm của CD nên
1 2
CI CD
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD
AK CI
và AK // CI,
tứ giác AICK là hình bình hành AI / /CK
b)Xét tam giác DCN có MI // CN (do AI // CK) và I là trung điểm của DC
MI là đường trung bình của tam giác DCN
M
là trung điểm của DN
Tương tự, xét tam giác ABM có KN // AM (do AI // CK) và K là trung điểm của
AB
KN là đường trung bình của tam giác ABM
N
là trung điểm của BM
Trang 5BN MN
Vậy ta có BN NM MD
Ví dụ 4 Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB Kẻ CE vuông góc với
AB Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE tại F; MF cắt
BC tại N
a) Tứ giác MNCD là hình gì ? b)Tam giác EMC là tam giác gì ?
c)Chứng minh BAD 2AEM
Giải.
a)Ta có MN CE AB CE; NM / /AB MN / /CD
mà MD/ /NC (ABCD là hình bình hành)
MNCD
là hình bình hành
b)Vì MNCD là hình bình hành
N
là trung điểm của CB
Trang 6Vậy trong tam giác CBE thì NF là đường trung bình (đường thẳng song song với đáy và đi qua trung điểm một cạnh)
F
là trung điểm CE
Mà MF vuông góc với CE tại F
MF
là đường trung trực của CE MC ME MCE cân
c)Ta có: 2AEM 2EMF (vì so le trong) EMC (vì MCE cân) (*)
Vì AD = 2AB MN CD MD và NC CD
Do đó ta có MNC MDC (c - c - c ) NMC CMD
Do đó ta suy ra EMC NMD NCD BAD (**)
Từ (*) và (**) ta có 2AEM BAD
Ví dụ 5 Cho hình thang vuông ABCD, có A = B = 90o và AD = 2BC Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) Gọi I là trung điểm của HD Chứng minh rằng:
CI AI
Giải.
Trang 7
Gọi J là trung điểm của AH với I là trung điểm của HD IJ là đường trung bình
của tam giác AHD IJ / /AD và
1 2
IJ AD BC
/ /
và IJ BC
BCIJ
là hình bình hành BJ / /CI (1)
Vì IJ / /AD IJ AB
J
là trực tâm tam giác BAI BJ AI (2)
Từ (1) và (2) CI AI
B Bài Tập.
Bài 1 Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác Gọi D,
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và
DN đồng qui
Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, O là
giao điểm 3 đường trung trực Gọi M là điểm đối xứng với A qua O
a) Tứ giác BHCM là hình gì ? Giải thích?
b) Gọi N là hình chiếu vuông góc của O lên BC Chứng minh H, N, M thẳng hàng c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia
CA lấy điểm E sao cho DB CE , BC cắt DE ở F Chứng minh F là trung điểm của DE
Trang 8Bài 4 Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD,
P là điểm thuộc cạnh BC PB PC , Q là điểm thuộc cạnh AD QA QD Biết MPNQ là hình bình hành, chứng minh BC song song AD
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD, gọi d là đường thẳng qua A và không cắt đoạn
thẳng BD Gọi BB’, CC’, DD’ lần lượt là khoảng cách thừ B, C, D đến đường thẳng d B C D', ', 'd Chứng minh BB DD' 'CC'
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD, các đường phân giác của góc A và góc D cắt
nhau tại M, các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại N Chứng minh
MM // AB
Bài 7 Cho tam giác ABC đều D là điểm thuộc cạnh AC Đường thẳng qua D và
vuông góc với AB cắt đường thẳng vẽ từ C vuông góc với BC tại E Gọi M là trung điểm của đoạn AD Tính MBE.
Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho
AE EF FC Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB Chứng minh
a) M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB
b) EMFN là hình bình hành
Bài 9 Cho tam giác ABC Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và
I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoạn NP, BP, NC Chứng minh tứ giác IJKQ
là hình bình hành
Bài 10 Cho tam giác ABC có BAC 600 Dựng về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác đều ABD và ACE Lấy AD và AE làm hai cạnh dựng hình bình hành ADEF Chứng minh tam giác FBC đều