cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Xét hình chữ nhật MNPQ sao cho M và N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo[r]
Trang 1Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009)
1.1.Cho hình vuông ABCD tâm O Một đường thẳng d di động đi qua O Chứng minh rằng tổng bình
phương các khoảng cách từ các đỉnh hình vuông đến đường thẳng d bằng một hằng số.
1.2.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định Điểm C di chuyển trên nửa đường tròn ấy Trên tia
CA lấy điểm E sao cho CE = CB Tìm quỹ tích các điểm E.
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)
2.1 Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình
vuông
a) Chứng minh rằng SABCD
AC4
(MN + NP + PQ + QM)
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
2.2.Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với
nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song songvới đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By
Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
3.1.Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D Một đường thẳng qua
D cắt đường tròn đường kính AB tại E và cắt đường tròn đường kính AC tại F sao cho D nằm giữa haiđiểm E và F ( E và F khác A, B, C) Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF Chứng minhrằng AN vuông góc với NM
3.2.Gọi AB là một đoạn thẳng cho trước Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB sao cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau
Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
4.1.Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G là trọng tâm và BD, CE là các đường phân
giác trong Chứng minh rằng 3 điểm D, E, G thẳng hàng.
4.2 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động trên cung nhỏ AC Trên
tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BE khi D
di chuyển trên cung nhỏ AC.
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
5.1.Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600 Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
30
ADB= Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía
với BC) Chứng minh rằng AE//BC.
5.2.Cho tam giác ABC cân tại A Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc AC tại C Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB, AC; F là điểm di động trên đường thẳng DE Đường tròn đường kính OF cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N
Xác định vị trí của F để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất.
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
6.1.Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho D
Trang 26.2.Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi C là trung điểm của OB, O’ là tâm đường tròn đường
kính AC Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D ( DA ) và cắt đường tròn (O’) tại K ( K A)
BK cắt CD tại H
a) Tính tỷ số
HC
CD.b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
7.1 Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C) Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q).
Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.
a) Chứng minh rằng:
1
AM AN PQ
AB AC AQ b) Xác định vị trí điểm Q để
AM AN PQ
AB AC AQ .
7.2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vuông góc với AB tại
C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn (I)
Chứng minh rằng BD = BE.
Bài 8: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
8.1.Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo Lấy E là điểm trên OC sao cho CE = 2EO và
M là giao điểm của DE và cạnh BC Trên đoạn thẳng DE lấy điểm F sao cho EFC ODC Chứng minhrằng:
a) OMD đồng dạng với FDC
b) EFA 2OBA
8.2.Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định Một đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A Gọi M ( khác
A,B) là điểm thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt a tại C Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc với a tại C và đi qua M, giả sử CD là đường kính của đường tròn tâm I Gọi J là giao điểm của OC và đường tròn (I) Chứng minh rằng:
a) J là trung điểm của đoạn thẳng OC.
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn (O).
Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
9.1.Cho tam giác ABC cân tại A
Trang 310.1.Từ M ở ngoài đường tròn tâm O kẻ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm) Trên cung lớn
AB lấy điểm C, D sao cho AC = CD Gọi I là giao điểm của AD và BC Qua M, kẻ đường thẳng songsong với AD, cắt AC tại E Chứng minh:
a) Tam giác MEA cân
b) Đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn thẳng AI
10.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH, điểm M di động trên đoạn thẳng AH Gọi D, E
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC và F là hình chiếu vuông góc của D trên EH
a) Chứng minh rằng các điểm B, M, F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M trên AH để diện tích tam giác AFB lớn nhất
Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
11.1.Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My
song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F Chứng minh rằng 3S DEF S ABC
(S ABC : diện tích tam giác ABC, S DEF : diện tích tam giác DEF).
11.2.Cho đường tròn (O;R), một dây cung AB cách tâm O một khoảng d (0< d < R) Hai đường tròn (O1) ,
(O2) tiếp xúc ngoài nhau tại M, tiếp xúc với AB lần lượt tại C, D và tiếp xúc trong với đường tròn (O) lần lượt tại các điểm E, F (O1, O2 và O cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB)
a) Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AB Chứng minh NC.NE = ND.NF.
b) Khi hai đường tròn (O1) , (O2) thay đổi, điểm M chạy trên đường nào?
Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
12.1.Cho đường tròn (O;R) Gọi B, C là hai điểm bất kì trên đường tròn (O) sao cho BC = R; A là một
điểm trên cung lớn BC (A B A C , ); D, E là các điểm trên dây cung AC sao cho
32
2
AC AE AD
Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AB tại F.
a) Chứng minh rằng tam giác ACF cân.
b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
12.2Cho tam giác ABC cố định Gọi E là điểm di động trên đường tròn tâm B, bán kính BC Dựng hình
thoi BCDE Từ D vẽ DFAB (FAB) Từ E vẽ EGAC (GAC) Các đường thẳng DF và EG cắt nhau tại K Khi hình thoi BCDE thay đổi, điểm K chạy trên đường nào?
Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
13.1.Cho hình bình hành ABCD có A 900 Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.
13.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, G là trọng tâm Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại
M Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N Gọi X, Y theo thứ tự là giao điểm của CN, AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z, T theo thứ tự là giao điểm của BM, AM và đường thẳng qua C song song với
AB Chứng minh rằng:
a) AB CZ. AC BX.
b) MAB NAC
Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
14.1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O M là điểm di động trên cung nhỏ AB.
Kẻ AD vuông góc với MC (DMC) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A, bán kính AB với đường thẳng CM, CA.
a) Chứng minh rằng PQ = 2MD.
b) Xác định vị trí điểm M để tổng BM + MP + PQ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Trang 414.2.Trên đoạn thẳng AB cho trước lấy điểm M bất kì Trên tia Mt vuông góc với AB lấy các điểm C, D
sao cho
12
MC MB Các đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác AMC và BMD cắt nhau tại điểm thứ hai N Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng AD và BC cùng đi qua N.
b) Khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
15.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là điểm chính giữa cung BC không chứa A Vẽ
đường tròn tâm O’ qua A, D và đường tròn này cắt AB tại E (E ≠ A, B), cắt AC tại G (G ≠ A, C) Gọi trung điểm của BC, EG theo thứ tự là H, K Chứng minh rằng:
a) Tam giác OBH đồng dạng với tam giác O’EK.
b) HK vuông góc với AD.
15.1.Cho tam giác ABC thay đổi, cân tại A, nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước Kẻ BD vuông góc với
Bài 16: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
16.1Cho tam giác MNP, có cạnh NP = 6cm cố định, điểm M di động sao cho MP=3MN Gọi ME, MF lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài xuất phát từ đỉnh M của tam giác MNP (E, F nằm trên đường thẳng NP).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng EN, FN.
b) Tìm tập hợp các điểm M.
16.2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB, AC,
BC với đường tròn (I) Kẻ PE vuông góc với đường thẳng MN (EMN) Chứng minh rằng EP là tia phân giác của góc BEC
Bài 17: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
17.1.Cho tam giác ABC vuông tại A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy
vuông góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE =
CA Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC.
a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.
b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.
17.2Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC Vẽ các đường tròn (H; HM) và (K; KM)
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (H) và (K) luôn cắt nhau.
b) Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (H) và (K) Chứng minh rằng MN luôn đi qua
một điểm cố định
Bài 18: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
18.1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), sao cho AD = BC = R Gọi I là giao điểm hai đường
chéo AC và BD, G là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh O, I, G thẳng hàng.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OC, OD Chứng minh rằng tam giác GMN là tam giác đều.
18.2 Cho đường tròn (O;R), dây AB < 2R Vẽ đường tròn đường kính AB Trên cung AB (phần nằm trong
đường tròn (O)) lấy 2 điểm C, D sao cho C thuộc cung BD Tia đối của các tia CB, DB cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại các điểm E, F Gọi G, H lần lượt là trung điểm của cạnh CD, EF
a) Chứng minh rằng A A C F. AD AE.
Trang 5b) Tớnh số đo gúc AGH .
Bài 19: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019)
19.1.Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R và M là một điểm cố định nằm bờn trong đường trũn Qua điểm
M, vẽ hai dõy lưu động AB và CD vuụng gúc với nhau
a) Chứng tỏ rằng AC2BD2 AD2BC2 Chứng minh AD2BC2 khụng đổi
b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh IO2 + IM2 = R2 Suy ra quỹ tớch trung điểm I
19.2.Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD Gọi G là giao
điểm của đường thẳng đi qua E vuụng gúc với AD với đường thẳng đi qua F vuụng gúc với BC So sỏnh
GA và GB
Bài 20: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2019 – 2020)
20.1 (Dự phũng) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
BD BA Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,, AC AD Đường thẳng qua B và song song với AD cắt
MN tại E
a) Chứng minh tứ giỏc NAEB là hỡnh chữ nhật
b) Chứng minh rằng ACE DCN
20.3 Cho tam giỏc ABC cõn tại , A D
là hỡnh chiếu của C lờnAB Đường trũn tõm Bbỏn kớnh BDvà
đường trũn tõm C bỏn kớnh CD cắt nhau tại E E D Đường thẳng AC cắt đường trũn tõm C bỏn kớnh CD tại P và Q Đường thẳng QD cắt đường trũn tõm Bbỏn kớnh BDtạiM
a) Tớnh số đo gúc QDE.
b) Chứng minh P M E , , thẳng hàng.
Bài 21: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
21.1.Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường trũn đường kớnh AH cắt AB,
AC lần lượt tại E, F Chứng minh rằng: EF3EB BC CF
21.2.Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R và M là một điểm thay đổi trờn nửa đường trũn
(khỏc A và B) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt cỏc tiếp tuyến tại A và B của đường trũn (O) tại cỏc điểm C
và D Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng diện tớch hai tam giỏc ACM và BDM
Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (C) tâm I Đờng tròn (C) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt tại D,
E, F
22.1.Gọi h a , h b , h c và r lần lợt là chiều cao của ABC xuất phát từ A, B, C và bán kính đờng tròn (C).
Chứng minh rằng:r h a h b h c
1111
Bài 23: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho nửa đường trũn (O;R) đường kớnh AB Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO Một đường
thẳng a vuụng gúc với AB tại C cắt nửa đường trũn (O) tại I Trờn đoạn CI lấy điểm K bất kỡ (K khụngtrựng với C và I) Tia AK cắt nửa đường trũn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường trũn (O) tại M cắtđường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D
Trang 623.1 Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
23.2 Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
23.3 Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Bài 24: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC Đườngtròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N OA và MN cắt nhau tại D
24.1.Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
24.2.Chứng minh :
AD HBHC .
24.3.Cho AB = 3 và AC = 4 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Bài 25: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếptuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đườngtròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt
BC tại N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P
25.1.Chứng minh MNCO là hình thang cân
25.2.MB cắt CH tại I Chứng minh KI son song với AB
25.3.Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE Chứng minh PG vuông góc với QF
Bài 26: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH < R, qua
H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) Trên đường thăng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B
và C và AB = AC = R Vẽ HM vuông góc với OB ( MOB), vẽ HN vuông góc với OC ( NOC)
26.1.Chứng minh OMOB = ONOC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
26.2.Chứng minh OBOC = 2R2
26.3.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
Bài 27: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
27.1.Cho hai đường tròn O
và O'
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B ( AB không là đường kính
của O'
) Các tiếp tuyến tại A và tại B của O'
cắt nhau tại C Các đường thẳng AC và BC cắt O tại điểm thứ hai lần lượt là D và E Lấy điểm G di chuyển trên cung AB của đường tròn O' (phần nằm bên trong O , điểm G không trùng với điểm A và B ) Các đường thẳng AG và BG cắt O tại điểm thứ hai lần lượt tại H và K Hai đường thẳng DK và HE cắt nhau tại I.
a Chứng minh điểm I nằm trên một cung tròn cố định khi G thay đổi
b Chứng minh rằng ba điểm C, G và I thẳng hàng.
27.2 Cho ABC có điểm M N lần lượt là trung điểm hai cạnh , CA và CB Gọi P là giao điểm của tia
MN với đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh
AC AB BC
PB PC PA
Trang 7Bài 28: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC,
CA, AB tại P, Q, R Kí hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC
28.1.Chứng minh rằng: MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ 4SABC
28.2.Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
Bài 29: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2004 – 2005)
29.1 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có cạnh BC bằng trung bình cộng của 2 cạnh AB và
AC Gọi G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC
Chứng minh: IG // BC
29.2.Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M Đường thẳng
AD cắt đường tròn (I) tại N (khác D) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Bài 30: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
30.1.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M là một điểm di
động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó
a) Chứng minh MB + MC = MA
b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi
S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng
thức: MH + MI + MK =
2 3 S + 2S'3R
30.2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF là các đường cao Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên
tia DE sao cho MAN = BAC Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF
Bài 31: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018)
31.1.Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại
K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q Chứng minh tứ giác AQDP nội tiếp
31.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao
cho BD = AE Xác định vị trí của điểm D và E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Bài 32: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
32.1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm M bất kỳ
trên đoạn AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng PD
a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I Chứng minh
Trang 8Bài 33: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)
33.1.Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH và phân giác AD.
a) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, Chứng minh DEC ACB
b) Chứng minh CD > CM
c) Chứng minh rằng điểm D nằm giữa 2 điểm H và M
33.2.Cho góc nhọn xMy và điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx Vẽ đường tròn (O), tâm O sao
cho tiếp xúc với Mx tại A và cắt My tại B, C theo thức tự M, B, C
a)Gọi D là trung điểm cung BC không chứa A của (O), E là giao đểm của AD và BC Chứng minh rằng E là điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi
b)Gọi H là chân đường cao AH của tam giác AOM Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn
Bài 34: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O
và điểm D bất kì trên cạnh AB Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA Gọi P và Q là các giao điểm của MN với đường trịn O
(điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA) Gọi I là giao điểm khác B của BC với đường trịn ngoại tiếp tam giác BDP Gọi K là giao điểm của DI với AC
34.1.Chứng minh rằng tứ giác CIPK nội tiếp đường trịn.
34.2.Chứng minh rằng PK.QC QB.PD
34.3.Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường trịn ngoại tiếp tam giác BDP Đường thẳng IG cắt
BA tại E Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số
AD
AE khơng đổi
Bài 35: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)
Cho đường trịn (C) với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm di động trên (C) sao cho M
khơng trùng với các điểm A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuơng gĩc với ABtại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường trịn (C ) tại điểm thứ hai là E Các đường
thẳng BM và CN cắt nhau tại F
35.1.Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
35.2 Chứng minh rằng tích AMAN khơng đổi.
35.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn.
Bài 36: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)
36.1.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O;R), cĩ BC R 3và AB < AC Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường trịn tại điểm D khác A
a) Tính gĩc BAC Suy ra tam giác OAH cân;
b) Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD
36.2.Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF cĩ 6 gĩc trong bằng nhau thì cĩ
EF
AB DE BC CD FA
Bài 37: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho gĩc xOy cĩ số đo bằng 60o Đường trịn cĩ tâm K nằm trong gĩc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M
và tiếp xúc với tia Oy tại N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến của đường trịn (K)
Trang 9qua P cắt tia Oy tại Q khỏc O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E Đường thẳng QK cắt đườngthẳng MN ở F.
37.1 Chứng minh tam giỏc MPE đồng dạng với tam giỏc KPQ.
37.2 Chứng minh tứ giỏc PQEF nội tiếp được trong đường trũn.
37.3 Gọi D là trung điểm của đoạn PQ Chứng minh tam giỏc DEF là một tam giỏc đều.
Bài 38: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho tam giỏc ABC cú đường cao AH, biết gúc BCA < gúc ABC < gúc CAB < 900 Gọi đường trũn (O) tõm
O là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Gọi I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC Gọi D là giao điểm của tia AI với đường trũn (O), biết D khỏc A Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng AH với hai đường thẳng BD và CI, biết E nằm giữa hai điểm B và D
38.1.Chứng minh BH = AB.cos gúc ABC Suy ra BC = AB.cos gúc ABC + AC.cos gúc BCA.
38.2.Chứng minh bốn điểm B, E, I, F cựng thuộc một đường trũn.
38.3.Xỏc định tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc IBC.
Bài 39: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)
39.1 Cho tam giỏc ABC cú AB = 5, BC = 6, CA = 7.
a) Gọi G, I lần lượt là trọng tõm và tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC Chứng minh rằng:
Bài 40: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn (I) Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường trũn (I) Biết ba gúc BAC , ABC BCA, , đều là gúc nhọn Gọi M và N lần lượt là trung điểm của haiđoạn BC và AC
40.1.Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
40.2.Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.
Bài 41: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Đường trũn tõm I nội tiếp tam giỏc ABC, tiếp xỳc với CA và CB lần lượttại M và N Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P Chứng minh rằng gúc IPB vuụng
Bài 42: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008 – 2009)
42.1.Từ một điểm A ngoài đờng tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E là các tiếp điểm).
Tia AO cắt đờng tròn tâm O tại B,C (B ở giữa A và C), kẻ DH vuông góc với CE tại H Gọi P làtrung điểm của DH Tia CP cắt đờng tròn tâm O tại Q (Q ≠ C).Gọi giao điểm của AC và DE là I.a) Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A, D, Q
42.2.Cho đờng thẳng d nằm ngoài đờng tròn tâm O Vẽ OA vuông góc với d tại A Từ A, kẻ các
cát tuyến d1, d2 lần lợt cắt đờng tròn (O) tại B, C và D, E (B ở giữa A và C, còn D ở giữa A VàE) Gọi M, N thứ tự là giao điểm của các đờng thẳng BE và DC với đờng thẳng d Chứng minhtam giác OMN là tam giác cân
Trang 1044.1.Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
2
31
1
1 c
c b
b a
a
Chứng minh tam giác ABC đều
44.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn
thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD
a) Chứng minh AH vuông góc với BH
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I Chứng minh ba điểm
H, N, I thẳng hàng
Bài 45: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song Gọi F là giao điểm của
AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD
Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I.
a) Chứng minh rằng IH BD IG AC.
b) Cho độ dài CD = 2AB Tìm tỉ số diện tích
IAB ICD
S S
Bài 46: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2008– 2009)
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB) P là điểm di động trên đoạn AB (P khác
A, B) Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với(O) tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P)
a) Chứng minh: ANP BNP
b) Chứng minh: PNO 90
c) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định
Bài 47: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2011– 2012)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Vẽ đường tròn tâm O thayđổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến vớiđường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại cácđiểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứngminh P là trung điểm ME
Bài 48: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A).Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M Gọi K là hình chiếu của M trên OB
a) Chứng minh HKM 2AMH.
b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E OD, OEcắt AB lần lượt tại F và G Chứng minh OD.GF = OG.DE
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R
Bài 49: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Trang 11Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D Trên cung BC không chứa D lấy F(F B, C) AF cắt
BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P A)
a) Giả sử BAC 600, tính DE theo R.
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM
c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC Các đường thẳng
IH và CD cắt nhau ở K Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức FH BC BD CD FI FK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 50: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
50.1.Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB) Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M (M khác A)
a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM.
b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Xác định vị trí của A để diện tích
BHC đạt giá trị lớn nhất.
50.2.Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm I chuyển động trên cung BC
không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF
luôn đi qua một điểm cố định
Bài 51: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K , , lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A B C , , Gọidiện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết rằng
Bài 52: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C) Vẽđường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d)
Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt
MN tại điểm K Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằmgiữa A và Q)
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.Chứng minh P là trung điểm của ME
Bài 53: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
53.1.Hình chữ nhật MNPQ có I, K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, PQ Trên tia đối của tia PN lấy
điểm S QN cắt SK tại R và cắt IK tại O Đường thẳng qua O song song với MN cắt RI tại H
a) Chứng minh HI = HK
b) Chứng minh IK là phân giác của góc RIS
53.2.Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E
thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE tại H AE cắt BF tại C CH cắt AB tại I
a) Tính góc CIF
b) Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn
c) Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích đó
Trang 12Bài 54: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C Vẽ đường trũn tõm O đường kớnh AB Gọi I là điểmbất kỳ nằm giữa O và B (I O, I B), EF là dõy cung bất kỳ của (O) đi qua I (E A) Vẽ đường thẳng d
AC tại C, đường thẳng AE cắt d tại P, đường thẳng AF cắt d tại Q Đường trũn ngoại tiếp tam giỏcAPQ cắt AC tại M khỏc A
a) Chứng minh rằng: Tứ giỏc PEFQ là tứ giỏc nội tiếp
b) Chứng minh rằng: AIF đồng dạng với AQM
c) Chứng minh rằng: AI AM. AB AC.
Bài 55: ( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đ-ờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB
b) Dựng vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông
c) Chứng minh rằng tâm của đờng tròn nội tiếp và tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giácMNP lần lợt chạy trên hai đờng cố định khi M di động trên đờng thẳng d
Bài 56: ( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho tam giỏc ABC nhọn ( AB < AC) cú cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H
( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB) Gọi I là trung điểm của cạnh BC Cỏc đường trũn ngoại tiếp tamgiỏc BEI và tam giỏc CDI cắt nhau tại K ( K khỏc I ) Gọi M là giao điểm của DE và BC Chứng minhrằng:
a) Cỏc điểm A, E, H, K, D thuộc một đường trũn
b) A, K, I thẳng hàng
c) MEC = MKC ( Kớ hiệu ABC là số đo gúc ABC)
Bài 57: ( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB 5 a và AD2a (a > 0) M là điểm bất kỡ trờn cạnh AB (M khỏc A
và khỏc B) Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AC và DC
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, C, K, H, M cựng thuộc một đường trũn Xỏc định tõm O của đường trũn đú
b) Tớnh
AH MK
MH
theo a
c) Khi AK là tiếp tuyến của đường trũn (O) Tớnh AM theo a
Bài 58: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho đường trũn (O; R) và hai đường kớnh phõn biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A củađường trũn (O; R) cắt cỏc đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F Gọi P và Q lầnlượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE và AF
a) Chứng minh rằng trực tõm H của tam giỏc BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA
b) Hai đường kớnh AB và CD cú vị trớ tương đối như thế nào thỡ tam giỏc BPQ cú diện tớchnhỏ nhất
Bài 59: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015)