- Biết được cách giải, công thức tổng quát của một số bài toán về dãy số nguyên viết theo quy luật; Phân tích dạng toán, tìm tòi phương pháp giải mới và lựa chọn phương pháp phù hợp vớ[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I
MỤC TIÊU:
1, Kiến thức
- Biết được cách giải, công thức tổng quát của một số bài toán về dãy số nguyên viết theo quy luật; Phân tích dạng toán, tìm tòi phương pháp giải mới và lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ học sinh
2, Kĩ năng:
- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan nhanh chóng thuận tiện hơn;
- Giúp cho học sinh có được kiến thức vững vàng, có ý thức tự học và tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập Tìm tòi phát hiện nhiều cách giải cho một bài toán tạo hứng thú học toán cho các em có năng lực học tập bộ môn toán thêm yêu thích
bộ môn hơn
II NỘI DUNG
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.
1.Bài toán 1.1:
a) Tính A = 5 + 6+ 7+ + 2013 + 2014
b) Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều.
* Cách giải 1
-Nhận xét:
+ Số hạng đầu là: 5 và số hạng cuối là: 2014
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 1
+Tổng A có số số hạng là: ( 2014 – 5 ): 1 + 1 = 2010
+Xét cặp (5+2014) = ( 6+2013) = = 2019
- Ta tính tổng A như sau:
A = 5 + 6+ 7+ + 2013 + 2014
A = (5+2014) + ( 6+2013) + + ( 1009+1010)
A = 2019 + 2019 + + 2019 do tổng A có 2010 số hạng nên có 1005 số 2019 Vậy A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095
* Mội số lưu ý khi làm bài toán dạng tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều này:
- Bài toán 1.1 này là một tổng các số hạng là dãy số tự nhiên liên tiếp khá dài, không thể tính toán theo các quy tắc thông thường được, nên phải vận dụng phương pháp giải không mẫu mực do đó:
- HS cần biết được cách tính tổng các số hạng trong tổng đã cho bằng cách:
Số số hạng = ( số hạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1
Nhưng trong rất nhiều trường hợp hs thường mắc sai lầm xác định không đúng cho khoảng cách giữa 2 số hạng, hoặc thiếu cộng với 1 (số hạng đầu tiên)
- Ở trong cách giải 1, nếu ta thực hiện phép toán giao hoán để viết tổng
A = (5+2014) + ( 6+2013) + ta sẽ có bao nhiêu cặp như vậy, mỗi cặp có giá trị là bao nhiêu? Hs trả lời được nhưng cặp cuối cùng là tổng của 2 số nào? Thì lại vướng mắc nên GV cần định hướng và phân tích cho hs rõ chỗ này.
- Ở bài toán này tổng A gồm 2010 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp
Trang 2mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1005 cặp thì vừa đủ Giả sử đối với tổng sau:
B =1 + 2 + 3 + + 2014 + 2015
- Ở bài toán này tính tổng B theo cách 1 hs thường bị lúng túng: tổng B gồm 2015
số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1007 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 1007 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu? đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc Cần phải hướng dẫn hs đưa về bài toán 1.1 để tính Có thể làm như sau:
B = 1 + 2 + 3 + + 2014 + 2015 bằng cách đưa về tính theo cách giải 1 như
sau:
B = (1 + 2 + 3 + + 2014) + 2015
(tính tổng trong ngoặc đơn trước, rồi cộng với hạng tử còn lại)
- Trong chương trình học lớp 6 các em đã được biết đến bài toán Gauss nên ngoài cách tính tổng A, tổng B nói trên ta có thể tính tổng A như sau:
* Cách giải 2:
A = 5 + 6 + 7 + + 2013 + 2014 + A = 2014 + 2013 + 2012 + + 6 + 5
2A = 2019 + 2019 + 2019 + + 2019 + 2019 (có 2010 số hạng)
Ta có: 2A = 2019.2010 A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095
b) Đặt vấn đề: Ở bài toán này cả 2 cách giải trên bước cuối ta thấy kêt quả của
bài toán đều viết được thành: A = 2019.1005 = 2029095 hay A = ( 5 + 2014) 2010 : 2
Khi đó ta có A = (số hạng đầu + số hạng cuối) số số hạng : 2
(Đối với GV ta có thể chứng minh bài toán tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại này)
Chứng minh: Tổng quát: An= 1 + 2 + 3 +…+ (n – 1) + n = n.(n+1) : 2 (n n)
- Khi n = 1 ta có: : a = 1 ( 1 + 1) : 2 = 1 đúng
- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 1 + 2 + 3 + …+ (k – 1) + k + (k + 1)
- Ta xét: Ak + 1 = 1 + 2 + 3 + …+ (k – 1) + k + (k + 1)
= Ak + (k + 1) = k ( k+ 1) : 2 + (k + 1) = (k + 1) (k2+1)=(k +1 )(k+1)+1
2 Nên Ak + 1 = (k + 1)
(k+1 )+1
2 Tức là bài toán đúng với n = k + 1
Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An= 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n = n.(n + 1) : 2
(Ghi chú: Ở bài toán này và các bài toán tổng quát sau ta đều lấy k N)
Cách giải 3:
Xét A = 5 + 6 + 7 + + 2013 + 2014
Ta có số số hạng của tổng là: (2014 – 5):1 + 1 = 2010
Áp dụng công thức tổng quát: A = (số hạng đầu + số hạng cuối) số số hạng : 2
Khi đó: A = ( 5 + 2014) 2010 : 2 = 2029095
ĐVĐ từ bài toán 1.1: Tính A = 5 + 6 + 7 + + 2013 + 2014 tính tổng dãy số tự
Trang 3nhiên liên tiếp bất kỳ không còn mấy khó khăn đối với học sinh, ta có thể đặt vấn
đề khai thác, phát triển sang các bài tập tương tự đối với cách tính tổng các số nguyên cách đều một cách rất tiện lợi Tôi xin đề cập đến một bài toán có thể khai thác từ bài toán 1 như sau:
2 Bài toán 1.2 Tìm số hạng thứ n trong một dãy số tự nhiên cách đều
* Kiến thức cần chú ý:
+/ Số số hạng được tính bằng cách:
Số số hạng = ( sốhạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1
+/ Tìm số hạng thứ n trong một dãy số
Số hạng thứ n = (số số hạng-1) khoảng cách + số hạng đầu
Lưu ý: Số hạng thứ n cần tìm ta hiểu là số hạng cuối trong công thức tìm số
số hạng
* VD: Tính tổng: S = 7 + 9 + 11 + +97+ 99
a) Tính tổng S trên
b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên
Bài giải
a) - Nhận xét:
+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2
+S có số số hạng được tính bằng cách: ( 99 – 7 ): 2 + 1 = 47
-Ta tính tổng S như sau:
Cách 1 :
S = 7 + 9 + 11 + + 97 + 99 ( có 47 số hạng)
S = 7 + ( 9 + 11 + + 97 + 99)
Ta có: S = 7 + (9+99) + (11+97) + … + (53+55)
S = 7 + 108 + 108 + …+ 108 ( có 23 số hạng 108)
S = 7 + 108.23 = 2491
Cách 2 : theo cách tích tổng của Gauss
S = 7 + 9 + 11 + + 97 + 99
S = 99 + 97 + 95 + 9 + 7
2S = 106 47
S = 106.47 : 2 = 2491
Cách 3 : Áp dụng Tổng S được tính bằng cách:
Tổng S = ( số hạng cuối+ số hạng đầu ).Số số hạng : 2
Nên : Tổng S có giá trị là : S = (99 + 7) 47 : 2 = 2491
b) Xét tổng S = 7 + 9 + 11 + +97+ 99
- Áp dụng công thức tìm số hạng trong một dãy số
Số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách + số đầu
(số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều)
- Số hạng thứ 33 của tổng trên là : ( 33 – 1 ).2 + 7 = 71
* Một số lưu ý khi giải bài toán loại này:
- Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối của tổng.
- Biết công thức tính số số hạng trong dãy số cách đều, từ đó suy ra được công thức tìm một số hạng thứ n của tổng các số tự nhiên cách đều đã cho;
Trang 4- Hs hiểu được số số hạng trong trường hợp này chính là số hạng thứ n cần tìm ( trong bài trên số số hạng là 33)
- Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 của dãy thành số hạng có giá trị là 33 trong tổng.
3 Bài toán vận dụng
Từ bài toán trên hs biết vận dụng làm nhanh và biết được công thức tổng quát của các bài toán sau:
Bài 1:
a Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp
Tính tổng A1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ….+ 2015
( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)
* Tổng quát: An= 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2 (n N*)
( được hình thành tương tự bài toán 1.1)
Chứng minh: Tổng quát: An= 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2 (n N*)
- Khi n = 1 ta có: An = 1 = 12 (đúng)
- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = k2
- Ta xét: Ak + 1 = 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = (2k + 1)
= Ak + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Hay Ak + 1 = (k + 1)2 Tức là bài toán đúng với n = k + 1
Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n – 1) = n2
b Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp
Tính tổng A2 = 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2014 + 2016
( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)
* Tổng quát: An = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)
( được hình thành tương tự bài toán 1.1)
Chứng minh Tổng quát: An = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)
- Khi n = 1 ta có: an = 1.(1 + 1) = 2 (đúng)
- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 2 + 4 + 6 + … + 2k = k.(k + 1)
Ta xét: Ak + 1 = 2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2 (k + 1) = Ak + 2(k + 1)
= k.(k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1) + 1
Hay Ak + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1 Tức là bài toán đúng với n = k + 1
Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n (n + 1)
c: Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ”
Tính tổng A3 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 +…+ 2015
( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)
*Tổng quát:An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n N*)
( được hình thành tương tự bài toán 1.1)
Chứng minh Tổng quát: An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n
N*)
- Khi n = 1 ta có; An = -1 = (-1)1 đúng
- Giả sử bài toán đúng với n = k ? 1, nghĩa là:
Trang 5Ak = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)k (2k – 1) = (-1k)k.k
Ta xét: Ak + 1 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 +….+ (-1)k(2k – 1) + (-1)k + 1 (2k + 1)
= Ak + (-1)k +1 (2k + 1) = (-1)k k + (-1)k (-1).(2k + 1) = (-1)k.(k - 2k – 1) = 9-10k(-k – 1) = (-1)k(-1) (k + 1) Hay Ak + 1 = (-1)k + 1(k + 1) Tức là bài toán đúng với n = k + 1
Kết luận: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n
(Đối với GV ta có thể chứng minh bài toán tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại này để làm bài toán thuận tiện hơn)
d Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ”
A4 = 2 – 4 + 6 – 8 +…+ 2010 – 2012 + 2014 - 2016
A5 = 2 – 4 - 6 + 8 + 10 - 12 – 14 + 16 +….+ 98 – 100 – 102 + 104
Bài 2:
1 Bạn Bình đánh số trang chẵn một quyển sách bằng dãy số chẵn bắt đầu từ số 2,
biết rằng quyển sách của bạn Bình có 284 trang chẵn và khi đánh số thì mỗi chữ số mất một giây Hỏi:
a) Bạn Bình cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó
b) Trang chẵn thứ 25 được đánh bằng số nào ?
2 Bạn An đánh số trang lẻ một quyển sách bằng dãy số lẻ bắt đầu từ số 1, biết rằng
quyển sách của bạn An có 283 trang lẻ và khi đánh số thì mỗi chữ số mất một giây Hỏi
a) Bạn An cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó.
b) Trang lẻ thứ 52 được đánh bằng số nào ?
( Ở bài 2 này yêu cầu hs tư duy vận dụng bài toán 1.1 và 1.2 để giải)
Khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
I Tính tổng một dãy số của các số có cùng cơ số theo số mũ tăng dần.
1 Bài toán: Tính tổng
a) B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210
b) B1 = 1 + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Bài làm
a) B = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 10
Cách giải 1:
B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210
= 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024 = 2047
- Ở bài toán này trong câu a, ta có thể giải cách thông thường, HS có thể tính tổng
B theo cách thông thường, tính lũy thừa của từng số hạng rồi cộng các kết quả lại nhưng câu b ta phải tư duy cách giải phù hợp ( không thể tính trực tiếp như cách
Trang 61) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác.
Cách giải 2: (Cách giải bài toán không mẫu mực, không tuân thủ theo quy tắc
thông thường)
HD:
- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ
số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức
đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?
- Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng.
- Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số để được một biểu thức mới rồi thực hiện phép trừ đi biểu thức ban đầu.
Ta có 2B = 21 + 22 + 23 + …… + 210 + 211
Mà B = 20 + 21 + 22 + 23 + …+210
Vậy 2B – B = 211 - 20 =
11
2 1
B = 211 – 1 = 2047
b) B 1 = 1 + 2014 1 + 2014 2 + 2014 3 + ….+ 2014 2014 + 2014 2015
Tương tự bài toán 1a) theo cách giải 1 ta không tính trực tiếp được, mà phải vận dụng cách giải 2 Ta xét:
2014.B1 = 20141 + 20142 + 20143 + 20144+ … +20142015 + 20142016
Mà B1 = 1 + 20141 + 20142 + 20143 + …+ 20142014 + 20142015
Nên 2014.B1 – B1 = 20142016 - 1
Tính được: B1 =
c) Ta có công thức tổng quát cho bài toán này như sau:
Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an =
a n+1−1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0)
CM tổng quát: Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an =
a n+1− 1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0)
Thật vậy: Khi a = 1 ta có ngay Sn = n + 1
Khi a ¿ thì: a.Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an + an + 1 a.Sn – Sn = a n + 1 – 1
Sn (a – 1) = an + 1 – 1 Vậy tổng Sn có giá trị là: Sn =
a n+1−1
a−1
Kết luận: Sn = a0 + a1 + a2 + a3+ …+
a n+1− 1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0)
Từ bài toán tổng quát này ta có thể vận dụng để giải các bài toán tương tự nhưng tổng có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và các bài toán liên quan khác
* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này:
- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ
Trang 7số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức
đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?
- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;
- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số
2 Bài tập vận dụng
a) Cho B2 = 3 + 32 + 33 + 34 + …+3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2B2 + 3 = 3n
HD: Tương tự như trên ra có thể tính được B3 =
3101−3 2 Khi đó: 3101 – 3 + 3 = 3n 3101 = 3n n = 101
b) Cho B4 = 3 + 32 + 33 + 34 + …+3n Tìm số n sao cho B4 = 3280
(1)
3 B4 = 3 32 3n 3n1
Trừ từng vế của biểu thức (2) cho biểu thức (1) ta được:
1 4
2 B 3n 1
4 3n 1 : 2
Mà B4 = 3280 nên 3n1 1 : 2 3280
=>3n1 6561 38
Lập luận để tính n =7
c)Tính tổng B5= 3 – 32 + 33 – 34 + …+32013 – 32014+ 32015 - 32016
Ta có: 3.B5 = 32 – 33 + 34 – 35 +… + 32014 – 32015 + 32016 – 32017
Nên 3B5+ B5 = 3 - 32017
Vậy B5 =
2017
3 3 4
Hs có thể vận dụng cách làm của bài toán 1 để giải các bài toán này không gặp mấy khó khăn.
II Tính tổng các tích của các cặp số nguyên cách đều
1 Bài toán 2.1:
a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101
c) Hãy viết công thức tổng quát cho tổng trên?
( Đây là bài số 5 trong đề kiểm tra trong học kỳ I – toán 6 năm học 2013– 2014 của PGD)
Bài làm
a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Lời giải 1:
Hs dễ dàng thực hiện phép giải thông thường
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Trang 8= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330
Nhưng cách giải này không thể áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác
Lời giải 2:
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + … + 8.9.(10 - 7) + 9.10 (11 - 8)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
= 9.10.11 = 9.10.(10+1)
Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330
Nhận xét: - Trong tổng trên mỗi hạng tử đều là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa số của tích là 1,
ta đã nhân cả hai vế của A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm
- Một cách khác Trong bài toán 2.1a) ta nhân 2 vế của A với 3(để được tích của 3số liên tiếp của số hạng đầu tiên) ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài toán cần tìm.
- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn.
ĐVĐ: Ta có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau:
Lời giải 3 :
Ta có 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2)
= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3
= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11
Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330
Nhận xét: Trong cách giải trên hình như số 3 ta nhân vào cả 2 vế là thừa? Đúng là vậy, nhưng ở đây ta nhân hai vế với 3 để kết quả cuối cùng có thể đưa về công thức tính tổng quát mà ta đang cần tìm.
b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101
Tương tự cách giải 2 ta làm câu b thật dễ dàng
Ta xét: 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + 99.100.3 + 100.101.3
3B = 1.2 (3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4 (5 – 2) +
+ 99.100.(101 - 98) + 100.101.(102 - 99)
= 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 Vậy B = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343400
Nhận xét: Trong câu b này, nếu giải theo cách giải 3 vẫn được, nhưng gặp khó khăn ở chỗ việc tính tổng các bình phương của dãy số cách đều sẽ gặp khó khăn, bài toán này sẽ được giải quyết ở phần tiếp theo.
- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa
số lớn.
c) Bài toán tổng quát:
Trang 9A n = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) =
3
(nN * )
Chứng minh tổng quát: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) =
n(n+1(n+2 )
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh
Bước 1 Với n = 1 Vế trái = 1.2 = 2 Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : 3 = 2
Suy ra vế trái bằng vế phải Vậy bài toán đúng với n = 1
Bước 2 Giả thiết bài toán đúng với n = k ( k > 1) tức là ta đã có:
Bk = 1.2 + 2.3 +….+ (k + 1) (k + 2) =
k(k+1 )(k+2)
3
Bước 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 tức là chứng minh
Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1)(k+2) =
(k +1 )(k+2)( k+3)
3
Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) =
k (k +1 )(k +2)
3 + (k + 1)(k + 2)
Bk + 1 = (k + 1)(k + 2) (k3+1)=(k +10(k +2)(l+3)
3 Kết luận: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4+…+ n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
3 (n N*)
2 Bài toán 2.2:
a) Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
b) Hãy viết công thức tổng quát của bài toán này
Lời giải :
a)Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
Lời giải 1:
Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
= 6 + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720 = 1980
Lời giải 2 :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]
4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11
A = 8.9.10.11 : 4 = 1980
Nhận xét: - Tương tự trong bài toán 2.1a trong mỗi hạng tử đều là tích của 3 số
tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa
số của tích là 1, ta đã nhân cả hai vế của A với 4 lần khoảng cách giữa hai thừa số.Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm )
- Một cách khác: bài toán này ta nhân 2 vế của A với 4 ( để được tích của 4 số liên tiếp của số hạng đầu tiên) để ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài toán cần tìm.
- Vậy trong cách giải bài toán 2.1a; 2.2a ta đã đi nhân 2 vế của biểu thức với 1 số xác định là: (số các thừa số của tích+ 1) Khoảng cách giữa hai thừa số.
- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của
Trang 10thừa số lớn.
ĐVĐ: Ta có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau:
b) Quan sát kết quả bài toán trên ta có công thức tổng quát
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) : 4
- Bài toán tổng quát 2.1b); 2.2b) sẽ giúp hs có cách tìm được kết quả đúng nhanh chóng nhất đối với các bài toán dạng này mà số hạng tử của tổng nhiều hơn nữa
3 Bài toán 2.3 Tính tổng các bình phương của dãy số cách đều.
a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002
c) Viết công thức tổng quát của bài toán trên.
Bài làm
a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
Cách 1.Giải theo quy tắc thực hiện thứ tự phép tính
C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
C1 = 1 + 4 + 9 + … + 81 + 100 = 385
Cách 2 ( giải bài toán không mẫu mực).
C1 = 12 + 22 + 32+…+ 92 + 102
C1 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + 9.9 + 10.10
C1 = 1 (2 - 1) + 2(3 – 1) + 3 (4 – 1) +…+ 9(10 – 1) + 10 (11 – 1)
= 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 +…+ 9.10 – 9 + 10.11 – 10
= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 9.10 + 10.11) – (1 + 2 + 3 + 4 +…+ 9 + 10)
Ta thấy:
1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 9.10 + 10.11 = 10.11.12: 3 = 440 ( vận dụng bài toán 3.1 dạng 2)
1 + 2 + 3 +….+ 10 = (10+1).10 : 2 = 55 ( vận dụng bài toán 1 dạng 1)
Do đó C1 = 440 – 55 = 385 =
10.11.(10.2 1)
6
Nhận xét: - Bài toán 2.3 này thực ra là bài toán vận dụng( trường hợp đặc biệt của bài toán 2.1 vì mỗi hạng tử là tích của 2 thừa số giống nhau;
- Dùng biện pháp tách 1 số hạng để có thể sử dụng kết quả các bài toán
- Kết quả của bài toán cũng liên quan chặt chẽ với cơ số của hạng tử cuối cùng.
Cách 3 Dùng kiến thức lớp 8 để giải bài toán này
Khai thác theo hướng sử dụng hằng đẳng thức:
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Với x = 1 ta có 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1
Với x = 2 ta có 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1
Với x = 3 ta có 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + 1
……
Với x = 9 ta có 103 = 93 + 3.92 + 3.9 + 1
Với x = 10 ta có 113 = 103 + 3.102 + 3.10 + 1
Cộng vế với vế của 10 đẳng thức trên ta được:
23 + 33 + … + 93 + 103 + 113
= 13 + 23 + 33 +…+ 93 +103 + 3(12 + 22 + 32+…+ 92 + 102) + 3 (1 + 2 + 3 + 4 +… +9 + 10) + (1 + 1 + 1 + ….+ 1) (10 số hạng 1)