Đề tài : Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số pdf

SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.. LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một p

Đề tài

Một số phương pháp xác định công

thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU 2

I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT 3

II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 28

IV ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 32 BÀI TậP ÁP DụNG 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số

Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”

nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong qua trình học tập

Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :

I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số

có dạng công thức truy hồi đặc biệt

II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số

III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số

IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về

dãy số - tổ hợp

Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh

Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót Rất mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt hơn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ

DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy

số có công thức truy hồi đặc biệt Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC

1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân

1 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định nghĩa: Dãy số ( )u có tính chất n u n+1 =q u n " În ¥ gọi là cấp số nhân công *

bội q

Định lí 3: Cho CSN ( )u có công bội q Ta có: n u n = u q1 n-1 (3).

Định lí 4: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN ( )u có công bội q Ta có: n

2 Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u được xác định bởi n

Ta thấy dãy ( )u là một CSN có công bội n q = Ta có:2 u n = 3.2n-1

Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( )u được xác định bởi: n

Giải:

Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy ( )u không phải là CSC hay CSN! n

Ta thấy dãy ( )u không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 n - ở VT Ta tìm cách làm mất - đi và chuyển dãy số về CSN Để thực hiện ý đồ này ta đặt 1 u n = k v n + ; l k l là ,các hằng số và k ¹ ( ta sẽ chọn ,0 k l sau)

k l

ì =ïí

=

1 1

Dạng 1 : Dãy số ( ) :u n u1 =x u0, n =au n-1 + " ³ (b n 2 a b ¹ là các hằng số) có , 0CTTQ là:

1

1 1

1

( 1) khi 1

1

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không

phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước

cách giải ở trên làm mất 3n + ở VP, ta đặt :2 u n = k v n +t n l + ; k t l là các hằng số , ,0

Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt u n =v n +an2 +bn v= n +n an b( + )

Dạng 2 : Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của

dãy ( )u được xác định bởi: n 1 0

* Nếu a = , ta đặt 1 u n =v n +n g n ( ) với g n là một đa thức theo n bậc k , thay vào ( )công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g n( ) :ng n( ) (- n -1) (g n -1)= f n( )ta có được dãy ( )v là CSN với công bội n q = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy 1 ( )v suy ra ta có n

CTTQ của dãy ( )u n

* Nếu a ¹ , ta đặt 1 u n = v n +h n( ) với h n là một đa thức theo ( ) n bậc k Thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h n( ) :h n ah n( )- ( -1)= f n( ) ta có được dãy

( )v là CSN với công bội q a n = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )v Suy ra ta có n

CTTQ của dãy ( )u n

Ví dụ 1.6: Cho dãy số 1

1

1( ) :

n

u u

=-

Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy 1

1

2( ) :

n

u u

u u

thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a ¹ ta đặt 1 u n =v n +x.an +g n( ), với g n là đa thức theo n bậc k Ta sẽ ( )chọn sao cho dãy ( )v là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy ( ) n v từ đó ta n

có CTTQ dãy ( )u n

* Nếu a = thì ta tìm được 1 u theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3 n

thức truy hồi là 5;6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta

có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế nào ? Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.10: Cho dãy số ( )u được xác định bởi : n 0 1

x y

x y xy

Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy

Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy ( )u nói trên ta có thể trình bày như sau n

Xét phương trình đặc trưng (1)

· Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X X thì 1, 2 u n = x X 1n +y X 2n, dựa vào u u ta tìm 0 1,được x y ,

· Nếu (1) có nghiệm kép X1 = X2 = thì a u n =(pn q+ ).an, dựa vào u u ta tìm 0 1,được p q ,

Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:

Đặt u n = x n +an2 +bn c+ Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được

Khi đó: a x n +bx n-1 +c x n-2 = Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy 0 ( )x , n

từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )u n

Vấn đề còn lại là giải phương trình (*)

* Nếu PT: aX2 +bX c+ = (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 0 1 thì

0

a b c+ + ¹ nên VT(*) là một đa thức bậc k

* Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 Þ + + = a b c 0

và - +(b 2 ) c k a k +(a b c a+ + ) k-1 = - +(b 2 ) .c k a k ¹ nên VT là một đa thức bậc 01

k -

* Nếu PT (1) có nghiệm kép x = 1 Þ + + = và a b c 0

1 1

(b 2 ) c k a k (a b c a) k- x k

Vậy để chọn g n ta cần chú ý như sau: ( )

v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g n là một đa thức cùng bậc với ( )( ) f n

v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn ( )g n là

đa thức lớn hơn bậc của f n một bậc ( )

v Nếu (1) có nghiệm kép x = thì ta chọn ( )1 g n là đa thức có bậc lớn hơn bậc của

( trong đó f n là đa thức theo n bậc k và ( ) b2 - 4ac ³ ) ta làm như sau: 0

· Xác định đa thức g n a g n bg n( ) : ( )+ ( - +1) cg n( -2) = f n , trong đó ( )( ) g n là: đa

thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1; đa thức bậc + 1 k nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1; đa thức bậc + 2k nếu (1)

a x bx c n Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của ( )x , từ n

đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )u n

Giải: Đặt u n = x n +y.2n Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT

Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (u n -2u n-1) 3(- u n-1 -2u n-2) 5.2= n

Đặt x n = u n -2u n-1 Þ x n -3x n-1 = 5.2n Áp dụng kết quả 2, ta có:

Với dãy số này nếu ta đặt u n =x n +y thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy .2n

ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (u n -2u n-1) 2(- u n-1 -2u n-2) 3.2= nĐặt x n = u n -2u , ta có: n-1 x n -2x n-1 = 3.2n Áp dụng kết quả 2, ta có:

Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:

Dạng 8 : Cho dãy số ( )u xác định bởi: n 0 1

định CTTQ của dãy ( )u ta làm như sau: n

· Nếu phương trình : X2 +bX c+ = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt

Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ u n

· Nếu x = là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: a 2

a x + +bx +c x - = Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þu n

· Nếu x = là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: a 2 2

a x + +bx +c x - = Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þu n

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau

· Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: x1 = x2 ¹ x3 Þ u n =(a b+ n x) 1n +g.x3n

Dựa vào u u u ta tìm được 0 1 2, , a b g, ,

· Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 = x2 = x3 Þ u n =(a b+ n +gn x2) 1n Dựa vào u u u 0 1 2, ,

ta tìm được a b g, ,

dãy ( ),( )x n y ta làm như sau: n

Ta biến đổi được: x n+1 -(p s x+ ) n +(ps qr x- ) n-1 = theo kết quả 4 ta xác định được 0

n

x , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được y n

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

Ta đưa vào các tham số phụ l, 'l 1 1

x u

Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,

do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt u n = x n + Thay vào công thức truy hồi, ta có: a

1 1

Nhận xét: Từ

2 1

2

2

n n

u x v

= ta được dãy số

1 2 1 1

-ì =ï

+í

=ïî

Ta có bài toán sau:

Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số

1 2 1 1

+í

ïî

u x v

-ì =ï

+í

=ïî

n

u u

ïí

Dạng 13:

1( ) :

n

u u

ïí

1

1 2 1

Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:

ïî

Tìm u ? n

Giải:

II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ

Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 2.1: Cho dãy 1

2 1

ì

=ïí

3

n n

3

n n

với u ) của phương trình : 1 a2 -2u a1 + = Vì phương trình này có hai nghiệm có 1 0tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau

ì

=ïí

6

n n

=ïí

12( ) :

u u

u

ì

=ïïí

Ví dụ 2.5: Cho a b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a b, < và hai dãy ( ),( )a n b n

cos cos cos

8

n n

n

u u

u

pp

Vậy 2003 tan 2002 tan ( 3 2)

3

n n

III XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH

Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh

Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor) Trước hết ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1: Cho dãy số a a a0 1 2, , , , , a n

A x =a +a x a x+ + +a x + gọi là hàm sinh của dãy ( )a n

Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà

ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x

Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì A x( ) =a0 +a x1 + +a x n n + và chuỗi

Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ của dãy số có thể tóm tắt như sau

Để tìm CTTQ của dãy ( )a , ta xét hàm sinh ( ) n A x của dãy ( ) a Khi đó do tính chất của n

dãy ( )a nên ( ) n A x phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định Giải các hệ thức đó ta tìm

được A x( ) = f x( ) trong đó f x là một hàm số chứa các biểu thức số học (cộng, trừ ( )nhân, chia, lũy thừa, ), ta tìm cách khai triển f x thành chuỗi và so sánh hệ số của ( ) x n

Þ hệ số của x trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 4x k - bằng:

n

n n n

IV ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP

Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên

Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên ( ) :u n u1 = 2;u2 = và 7 2 1

2

u u

v v

Ví dụ 4.2: Cho dãy số (a n) :a0 =0,a1 =1,a n+1 =2a n -a n-1 +1 " ³ Chứng minh n 1rằng A = 4a a n n+2 + là số chính phương 1

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 5 k -1 37M Vì 536 -1 37M Þ 36 kM

h h

Với h =108 ta dễ dàng chứng minh được u n h+ ºu n(mod1998) " ³ n 1

Vậy h =108 là giá trị cần tìm

x x

+

Ví dụ 4.7: Cho hai dãy 1

1

1( ),( ) :x n y n ìïí =ïîx y = -1 và

ïí

n

a a

+

y

-

* Nếu p = Þ2 x2 +y2 = 4 2M Þ =p 2 không thỏa yêu cầu bài toán

* Nếu p = Þ3 x3 +y3 = - không chia hết cho 16 3 Þ = thỏa yêu cầu bài toán p 3

* Nếu p = ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán 5

* Nếu p > Þ -5 ( 5)p- 1 º1(mod )p Þ x p +y p º 0(mod )p

Vậy p = 3,p = là hai giá trị cần tìm 5

Ví dụ 4.8: Cho dãy 1

1 1

23( ) :

x y

ì =ïí

1

n n

n

y y

y

-

| | 1

22

1) Cần có thêm điều kiện gì đối với x để dãy gồm toàn số dương ? 1

2) Dãy số này có tuần hoàn không ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990)

< < là điều kiện cần phải tìm

2) Dựa vào kết quả trên ta có:

· Nếu sin sin 1 1

x x

Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy và

đôi một không cắt nhau Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ?

Giải: Gọi a là số miền do n đường thẳng trên tạo thành Ta có: n a = 1 2

Ta xét đường thẳng thứ n + (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n 1điểm và bị n đường thẳng chia thành n + phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền 1của a Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của n a sẽ chia miền đó thành 2 miền, n

nên số miền có thêm là n + Do vậy, ta có:1 a n+1 =a n + + n 1

2

Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa

giác tạo thành thì ta tìm được: ( 2)( 1)

2

Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, trong đó ba mặt phẳng nào cũng cắt

nhau và không có bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm Hỏi n mặt phẳng trên

chia không gian thành bao nhiêu miền ?

Giải:

Gọi b là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành n

Xét mặt phẳng thứ n + (ta gọi là ( )1 P ) Khi đó ( ) P chia n mặt phẳng ban đầu theo n

giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia ( ) P thành 1 ( 1)

2

n n +

trong một miền của b và chia miền đó làm hai phần.Vậy n 1 2 2

Ví dụ 4.16: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n ngày

thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và 1

7 số huy chương còn lại Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và 1

7 số huy chương còn lại Những ngày còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát

Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967)

Giải: Gọi a là số huy chương còn lại trước ngày thứ k k Þa1 =m, khi đó ta có:

Vậy có 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày

Ví dụ 4.17: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đó không có hai bit 1 đứng cạnh