Ứng dụng vecto

1.1.1 Độ dài vectơ Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.. - Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái

quát cao Nó có thể sử dụng cho cả hình học phẳng lẫn hình học không gian và thậm chí cả đại số Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng,hình học không gian rất khó nếu chỉ giải quyết bằng hình học thuần túy,nhưng lại trở nên đơn giản nếu ứng dụng vectơ Chính vì vậy, nghiên cứu ứng dụng các vectơ vào việc giải toán hình học, thậm chí cả đại số là một vấn đề thú vị và ý nghĩa

Trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, chúng tôi chỉ đề cập đến một số ứng dụng phổ biến của vectơ trong việc giải toán Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã tham khảo một số quyển sách cũng như các trang web và diễn đàn toán học Tuy đã rất cố gắng nhưng chắc chắn vẫn còn rất nhiều sai sót mong các bạn thông cảm Xin chân thành cảm ơn

Tác giả

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

1.1 Định nghĩa vectơ

- Vectơ là một đoạn thẳng định hướng

- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối

Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là uuurAB

Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không Kí hiệu: 0r

1.1.1 Độ dài vectơ

Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Độ dài của uuurAB kí hiệu: uuurAB

1.1.2 Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song

Hai vectơ cùng phuuwong có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:

• Hai vectơ uuurAB,CuuurD cùng hướng , kí hiệu:uuurAB↑↑CuuurD

• Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu: uuurAB↑↓CuuurD

Hai vectơ uuurAB, CuuurDbằng nhau, kí hiệu: uuur uuurAB C= D

DD

- Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ

Cho vectơ uuurAB và một điêwmr O bất kì, t luôn có:

AB OB OA= −

uuur uuur uuur

1.2.3 Phép nhân vectơ với một số thực

- Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ ar là một vectơ, kí hiệu: kar

kar = k ar

- Tính chất:

+ Phân phối đối với phép cộng vectơ: k a b(r r+ =) ka kbr+ r

+ Phân phối đối với phép cộng: (k h a ka ha+ )r= r+ r

- Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị ri, rj có độ dài bằng 1.

- Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ ur, ta có:

- Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì: OMuuuur= +xi y jr r

⇔x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).

1.4 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1.4.1 Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ ar, br là một số, kí hiệu là a br r được xác định bởi:

( ) os ,

a br r= a b cr r a br r

1.4.2 Hệ quả:

- Bình phương vô hướng của vectơ ar: auur2 = ar2

- Điều kiện vuông góc của hai vectơ: a br⊥ ⇔r a br r =0

1.4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a x yr( ; )1 1 , b x yr( ; )2 2

Khi đó a b x xr r = 1 2+y y1 2

Hệ quả:

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

- Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

- Hướng 2: Xác định vectơ uuurAB và uuurAC thông qua các tổ hợp trung gian

* Chú ý: Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc

đường chéo AC thỏa mãn tỉ số E 2

CEuuur= Cuuur uuur+DA

OGuuur= OA OB OCuuur uuur uuur+ + (1)

Gọi E là trung điểm BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

1

( ùng )( ùng )

H Huuuuur uuuur uuuur1 2 =OH2−OH1

Vì các dây cung AA BB CC1, 1, 1 song song với nhau

Nên ba vectơ uuur uuur uuuurAA BB CC1, 1, 1 có cùng phương

Do đó hai vectơ H H v H Huuuuur uuuuur1 2 à 1 3 cùng phương hay ba điểm H H H1, 2, 3 thẳng hàng

1.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Cho ∆ABC Đường tròn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N Gọi

E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng

2 Cho ∆ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Các đường thẳng ∆ ∆ ∆1, 2, 3đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là A B C1, ,1 1 Chứng minh trực tâm của ba tam giác ABC BCA CAB1, 1, 1thẳng hàng

3 Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối

xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB Chứng

minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF

4 Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q là trung điểm MN

và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng

5 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.

Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

a Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng.

b Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng

6 Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm

trên cạnh AC sao cho AK = 31 AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

2 ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC

Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở

điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’

uur uuur uur uuur

Từ đó suy ra SM A Buuur uuuuur ' ' 0= nên SM vuông góc với A’B

2.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, Dlà trung điểm cạnhAB,Elà trọng tâm của

ACD

∆ Chứng minh rằng nếu AB AC= thì OE⊥CD

2 Cho ∆ABC cân tại A Gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm ∆ADC Chứng minhIE⊥CD (I là tâm đường tròn ngoại tiếp∆ABC).

3 Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN Chứng minh rằng:

7 Cho tam giác cân ABC, AB=AC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm

cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: OG⊥CD

3 CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

3.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:

- Hướng 1: Chứng minh uuuur rA A1 2 =0

- Hướng 2: Chứng minh OAuuur uuuur1=OA2 với O là điểm tùy ý

=uuur uuur+ + uuur uuur+ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: OGuuuur uuuur1 =OG2

Vậy G1 và G2 trùng nhau

3.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

2 Cho lục giác ABCDEF có AB⊥EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm CMR: AB²+EF²=CD²

4 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM

4.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ :

Nếu MAuuur=MBuuur, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB

MC

uuuur

=kuuurAB , với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.Nếu MAuuur=kBCuuur, với A, B, C cho trước thì:

- Với k∈R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

- Với k∈R+ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng uuurBC

- Với k∈R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BCuuur.4.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ∆ABC, tìn tập hợp những điểm M thỏa mãn

a MA k MB k MCuuur+ uuur− uuuur r=0 (1)

b (1−k MA MB k MC)uuur uuur+ − uuuur r=0 (2)

Giải

a Ta biến đổi (1) về dạng:

MA k MC MB= − ⇔MA k BC=

uuur uuuur uuur uuur uuur

⇔M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

(3)⇔2MEuuur−2k MFuuur r= ⇔0 ME k MFuuur= uuur

⇔M thuộc đường trung bình EF của ∆ABC.

Ví dụ 2: Trên tia Ox và Oy của ·xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN

Vậy quỹ tích I thuộc đoạn M N0 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt

các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau

Giải

Ta đặt: CA a CB buuur r uuur r= ; = Khi đó

2

b

CM = CE kCA ka= =

ruuuur uuur uuur r

Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên

có số k sao cho CE kCA kauuur= uuur= r, với 0< k< 1 Khi đó CF kCB kbuuur= uuur= r

Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

Suy ra (1−k AB GB)uuur uuur=

Do đó ED = GB Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho

Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai

đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh

uuur uuur uuur uuur

Do uuur uuur uuur uuurAB AD BA BC + =0 uuurBA= −uuur uuur uuurAB BC; =AD nên:uuur uuur uuur uuurAB AD BA BC + =0

2 Cho ∆ABCcó đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh ABvà CH

Một đường thẳng ddi động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh ACở M và cắt cạnh BCở N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J

là tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ rằng ba điểm I, K, Jthẳng hàng

3 Cho hai hình vuông ABCDvà BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài Chứng minh rằng trung tuyến BE của ∆ABKnằm trên đường thẳng chứa đường cao

BH của ∆BNC

4 Cho ∆ABC vuông tạiA Gọi Aulà tia phân giác của gócA Qua trung điểmM của cạnh huyền BCta dựng đường thẳng vuông góc với tia Aucắt các đường thẳngABvà AClần lượt tại E và F Chứng minh rằng BE CF= .

5 Cho hai điểm A B, cố định và một đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng AB

nhưng không đi qua A B, Một điểm M chạy trên ∆ Tìm tập hợp các giao điểm Ncủa các đường thẳng vuông góc với MA, MB tạiA và B

6 Cho ∆ABC đều, gọiα, β, γ theo thứ tự là góc giữa đường thẳng∆với các đường thẳng,

BC CA AB, Chứng minh rằng:

cos2α.cos2β.cos2γ +sin2α.sin2β.sin2γ

7 Qua trọng tâm Gcủa ∆ABC vẽ đường thẳng ∆cắt các cạnh AB vàACtại M và N

13 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm của AC,BD

CMR :AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2+4IJ2

14 Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp cho P thuộc cạnh BC, B thuộc đoạn AM Tính góc giữa hai đường thẳng AP và DN

15 Cho tứ giác ABCD.M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD.Tính MN theo các cạnh

và hai đường chéo của tứ giác

16 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Hãy xác định vị trí của điểm M trên đường

thẳng d sao cho biểu thức: T = MA2+2MB2−MC2 là nhỏ nhất

17 Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC Chứng minh rằng biểu thức: 2 2 2

a MA +b MB +c MC là không đổi khi M di động trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC

18 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Giả sử M là một diểm di

động trên (O;R) Chứng minh rằng: MA2+MB2+MC2 là luôn luôn không đổi Hãy tính lượng không đổi đó theo R

19 Cho tam giác ABC có trọng tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là B

điểm đối xứng với B qua O Chứng minh : AH =B'C

5 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

(eur uur ur+ +e e ) =eur +euur +eur +2( e eur uur uur ur ur uur+e e +e e )

3 2( cosB cosC cos ) 0A

3cos cos cos

2(OA OB OCuuur uuur uuur+ + ) =OAuuur +OBuuur +OCuuur +2(OA OB OB OC OC OAuuur uuur uuur uuur uuur uuur + + )

=3R2+2(R os22c C+R os22c A+R os2 ) 02c B ≥

2

c A c+ B c+ C≥ − , đpcm

Ví dụ 3: Chứng minh ∀ x, y ∈R, ta có: ((1 2)()(11 2)) ≤21

+ +

− +

y x

xy y

≤ +

+

− +

−

⇔

y x

x y y x

1

1 1

2 1

1 1

2

2 2 2

2 2







 +

y y

y x

=

2 2

2 2

2 2

1

2 , 1 1

1

1 , 1 2

y

y y

y b

x

x x

x a

r

r

Suy ra : r r

Mà ar.br ≤ar.br Vậy ar,br ≤ 1 (đpcm).

Ví dụ 4:

Cho ba số x, y, z thỏa hệ thức x2 +y2 +z2 =xy+yz+xz. Chứng minh rằng

0 ) (

y x xz yz

8 Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có:

9 tan+ 4 A+ 9 tan+ 4B+ 9 tan+ 4C ≥9 2

9 Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:

4 cos os2x c 2y+sin (2 x y− )+ 4sin sin2x 2 y c+ os (2 x y− ) 2≥

Với x, y là hai số thực bất kì tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = x + + x + xy y+ + + y − y+

10 Cho x là số thực Chứng minh rằng :

sinx+ 2 − sin 2x+ sinx 2 − sin 2 x ≤ 3

11 Cho bốn số thực a, b, c, d tùy ý Chứng minh rằng :

(a+c) 2 + (b+d) 2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2

12 Tìm GTNN c ủa hàm số :

y= x2 − 2px+ 2p2 + x2 − 2qx+ 2p2

Trong đó p, q là hai số thực cho trước và p≠q.

13 Chứng minh rằng với mọi số thực a ta có:

(Trích đề thi HSG quốc gia lớp 12 năm 1998)

17 Cho hàm số f( )x = a2 +x2 + a2 +(c−x)2 Với giá trị nào của x hàm số f( )x có giá trị nhỏ nhất ?

18 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y= cos x2 −2cosx+ +3 cos x2 +4cosx+8

19 Cho x, y, z là các số thực đôi một khác nhau Chứng minh:

7.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Cho

Một số kiến thức thường dùng:

(1), (2) xảy ra khi và cùng hướng

(3) xảy ra khi hoặc và ngược hướng

Nếu ngược hướng (VL)

Vậy phương trình có nghiệm khi

Ví dụ 1: Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.

a CMR: MA BC MB CA MC ABuuur uuur uuur uuur uuuur uuur + + =0

b CMR: MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3MG2, từ đó suy ravị trí của M để

uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuuur uuur uuuur uuur

Cộng vế theo vế ta dược:

= + + + (vì GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0)

Từ đó suy ra MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MG2 = ⇔0 M ≡I

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý.

uuur uuuur uuuur

uuur uuuur uuur uuuuruuur uuuur uuuur

b Từ kết quả câu a) suy ra 2 2 2

MA −MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MD2 nhỏ nhất

⇔M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).

2 Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.

a CMR vevtơ v MA MBr uuur uuur= + −2MCuuuur, không phụ thuộc vào vị trí của M

b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, chứng minh rằng:

Ta có x + y + z =1 và:xMA yMB zMCuuur+ uuur+ uuuur r=0

Đây là một hệ thức quen thuộc và dĩ nhiên việc chứng minh không có gì khó khăn.Tuy nhiên từ đây ta thu được rất nhiều bất đẳng thức trong tam giác khi cho M là những điểm đặc biệt cũng như khi xét những mối quan hệ giữa điểm đặt biệt đó.Trước hết cho O là một điểm bất kì trong mặt phẳng ta có:

x y z OM xOA yOB zOC

x y z OM x OA y OB z OC xyOAOB yzOB OC xzOC OA

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur r

uuuur uuur uuur uuur

uuuruuur uuur uuur uuur uuur

x y z OM x y z xOA yOB zOC xyc yza xzb

OM xOA yOB zOC xyc yza xzb

Cho M lần lượt là các điểm đặt biệt trong tam giác,ta có các bài toán sau:

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC.Chứng minh:a2+ + ≤b2 c2 9R2

Lời giải:Khi M trùng G,ta có 1

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2:Chứng minh:

a) 2 abc

R

a b c

≥+ +