đề tài: Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ

Vận dụng các kiến thức vật lí và toán học để đưa ra phương pháp giải một số bài tập về dao động cơ một cách đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng. Từ đó xây dựng một hệ thống bài tập để học sinh có thể vận dụng phương pháp trên.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TR ƯỜNG THPT ………

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

Chuyên đề:

“Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài

toán dao động cơ”

Phần MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ.

Trong chương trình thi đại học (nay là kì thi THPT Quốc gia) thì phần Dao động

cơ là một phần quan trọng không thể thiếu trong cấu trúc đề thi, với tỉ lệ số câutrong đề thi tương đối lớn Hơn nữa, do thi dưới hình thức trắc nghiệm nên để làmnhanh được một bài toán cũng là một vấn đề rất được quan tâm Hình thức thi trắcnghiệm khách quan đòi hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chươngtrình và có kỹ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng Bởi vậy, với mỗibài toán đề ra, người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà còn phảitìm cách giải nhanh nhất

Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều (còngọi là phương pháp vectơ quay) để giải các bài tập dao động cơ đã đáp ứng đượcđiều đó Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng nắm được thành thạo và nhanhnhạy phương pháp này do các em thấy lúng túng khi dùng đường tròn lượng giác

và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động này Vì vậy, tôiđưa ra chuyên đề: “Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ”nhằm giúp các em giải quyết những khó khăn trên

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Vận dụng các kiến thức vật lí và toán học để đưa ra phương pháp giải một số bàitập về dao động cơ một cách đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng Từ đó xây dựng một

hệ thống bài tập để học sinh có thể vận dụng phương pháp trên

III ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG.

Chuyên đề áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 và học sinh chuẩn bị thiTHPT quốc gia

IV THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ

Chuyên đề được giảng dạy trong 9 tiết

Phần NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT.

* Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao

động điều hòa (còn gọi là phương pháp vectơ

quay):

Để biểu diễn dao động điều hòa x=Acos(ωt+φ)

của một vật trên trục Ox, người ta dùng một vectơ

OM

có độ dài bằng A (biên độ), quay đều quanh

điểm O ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc

là ω (với O là vị trí cân bằng của vật)

- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và

OM là φ (pha ban đầu)

- Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM sẽ là

(ωt+φ), góc này chính là pha của dao động

- Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM trên

* Chú ý:

Tại thời điểm ban đầu t = 0:

- Nếu vật đi theo chiều âm trục Ox thì

Vectơ quay ở thời điểm t = 0

M

O

x P

φ

Vectơ quay ở thời điểm t bất kì ωt

x

P

M

A -A P

M

φ>0 O

φ<0

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Bài toán tìm thời gian

1.1.1 Phương pháp giải.

Phương trình dao động điều hòa có dạng: x=Acos(ωt+φ), trong đó A, ω, φ đã biết

Để làm bài toán này, ta dùng Phương pháp vetơ quay, và làm theo các bước:

- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên, dựa vào pha ban đầu φ đề bài cho để vẽvectơ OM 0 tại thời điểm ban đầu t=0

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2t) cm Tìm

thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng kể từ lúc t=0?

HD:

- Vì  = 0 nên ban đầu vectơ quay ở OM0

- Vật đi qua vị trí cân bằng O, ứng với vectơ quay

ở OM1 và OM2

→ Thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí cân bằng

ứng với vectơ quay ở OM1

Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:

- Khi vật đến vị trí cân bằng thì x = 0 ↔ 8cos(2t) = 0

M0α

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t + π

6) cm.Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương kể từ lúc t=0?

HD:

- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0

- Vật qua x = 2cm theo chiều dương tương ứng

vectơ quay ở OM

- Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo

chiều dương tương ứng vectơ quay quét được 2

vòng (qua x = 2cm 2 lần) và lần cuối cùng quét từ

Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:

- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương nên ta có thể viết:

HD:

- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0

- Vật qua x = 2cm tương ứng vectơ quay ở OM1

M

0

2

π 63π 2

M

0

π 6

→ Vật qua x = 2cm lần thứ 2015 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007vòng (qua x = 2cm 2014 lần) rồi quay tiếp từ OM0 đến OM1.

→ Góc quét được trong thời gian đó là: α = 1007.2π + π

6

→ Thời điểm cần tìm là:

π1007.2π +

* Nhận xét:

Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:

- Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều âm, ta có:

Ví dụ 4: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k=100N/m, một

đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g Từ

vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi

buông nhẹ cho vật dao động điều hòa Lấy g=10m/s2 Xác định tỉ số thời gian lò xo

+ Thời gian lò xo nén t1 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến

vị trí cao nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng

→ t1 = Δφ = 2π = π s

ω 3.10 2 15 2

+ Thời gian lò xo dãn t2 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến

vị trí thấp nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng

Ví dụ 5 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều

hòa theo phương thẳng đứng với chu kì 1,2s Trong một chu kì, nếu tỉ số của thờigian lò xo dãn với thời gian lò xo nén bằng 2 thì thời gian mà lực đàn hồi ngượcchiều lực kéo về là

-A

A nén

- Gọi độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là ∆ℓ0.

- Gọi  1; 2 là góc quét ứng vời thời gian lò xo nén và dãn, ta có:

1.1.3 Bài tập tự giải.

Bài 1 (CĐ 2009) Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 50 N/m, dao động điều

hòa theo phương ngang Cứ sau 0,05 s thì vật nặng của con lắc lại cách vị trí cânbằng một khoảng như cũ Lấy 2 = 10 Khối lượng vật nặng của con lắc bằng

A 250 g B 100 g C 25 g D 50 g

Bài 2 Vật dao động theo phương trình x = 4cos(t) cm Kể từ t = 0, vật qua vị trí x

= 2 cm lần thứ 2017 vào thời điểm

A 2034,25s B 3024,15s C 3024,5s D 3024,25s

2025 vật cách VTCB 2,5 cm là

A s B s C s D s

Bài 4 Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng 100N/m, một đầu treo

vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g Từ VTCBkéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vậtdao động điều hòa Lấy g=10m/s2 Khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ là

l 0

dãn O

-A

A nén

Bài 5 Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30cm đầu trên treo vào điểm cố định,

đầu dưới gắn vật nhỏ Khi hệ cân bằng, lò xo có chiều dài 31cm Khi con lắc daođộng điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A thì khoảng thời gian lò xo bịnén trong mỗi chu kỳ là 0,05s Tìm A

A 2cm B 1,7cm C 1,4cm D 1cm

đó x tính bằng cm và t giây Vào thời điểm nào sau đây vật sẽ đi qua vị trí

x = 2 3cm theo chiều âm của trục tọa độ?

A 6s B 3s C 4

2

3s

Bài 7 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(t + ) Trong

khoảng thời gian 1/60 (s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x0 = 0 đến vị trí x = A 3 2 theochiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm thì nó có vận tốc là 40 3 cm/s.Khối lượng quả cầu là m = 100g Năng lượng của nó là

A 32.10-2 J B 16.10-2 J C 9.10-3 J D 48.10-2 J

Bài 8 Con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với

tần số 2,5Hz và biên độ 8cm Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên,gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian khi vật đi qua VTCB và chuyển động ngượcchiều dương Lấy g=π2 Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu tớithời điểm lò xo không biến dạng lần thứ nhất là

A 3/10 s B 4/15 s C 1/30 s D 7/30 s

Bài 9 Lò xo k=25N/m treo thẳng đứng, đầu trên giữ cố định, đầu dưới treo vật

m=100g Từ VTCB, kéo vật thẳng xuống một đoạn bằng 2cm rồi truyền cho vậttốc độ 10π cm/s hướng xuống Chọn gốc thời gian là lúc truyền tốc độ, chiềudương trục tọa độ hướng thẳng xuống Cho g=π2=10 Kể từ t=0, tìm thời điểm vật

đi qua vị trí lò xo bị dãn 6cm lần đầu tiên

A 10,3 ms B 33,3 ms C 66,7 ms D 100 ms

Bài 10 Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ k=50N/m và vật m=200g.

Vật đang nằm yên ở VTCB thì được kéo thẳng đứng xuống dưới để lò xo giãn tổngcộng 12cm rồi thả cho nó dao động điều hòa Lấy g=π2=10 Thời gian lực đàn hồitác dụng vào giá treo cùng chiều với lực hồi phục trong một chu kỳ dao động là

1.2.1 Phương pháp giải.

Với bài toán này ta có thể dùng Phương pháp vectơ quay và làm theo các bước:

- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên

- Khi vật đến vị trí x1, vẽ vectơ OM 1

- Khi vật đến vị trí x2 (mất thời gian ngắn nhất), vẽ vectơ OM 2

- Dựa vào đề bài và hình vẽ, tìm qóc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM 1đến OM 2

- Ta có: α = ωt → t = α

ω.

1.2.2 Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(t-π/2) Cho

biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x= A 3 2 trong khoảng thời gian ngắn

nhất là 1 s

60 và tại điểm cách VTCB 2cm vật có vận tốc 40π 3 cm/s Xác định tần

số góc và biên độ A của dao động

HD:

- Theo đề, tại t = 0, véctơ quay ở vị trí OM0

- Sau khoảng thời gian ngắn nhất t 1 s

 mất khoảng thời gian ngắn nhất thì tương ứng trong khoảng thời gian

đó, vectơ quay phải quét từ OM 0 đến OM 1

m Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn 4cm rồi truyềncho nó tốc độ 40π cm/s hướng thẳng lên để nó dao động điều hòa Lấy π2=10 Tìmthời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén1,5cm.

Ví dụ 3 (ĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc

dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động của conlắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống,gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theochiều dương Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và 2 = 10 Thời gian ngắn nhất kể

từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

A 4 s

7s

3s

1s30

O

x

α 5

M1

M2

l 0

O -4

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:

- Tại t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều

dương, tức là vectơ quay ở OM0

- Vì A > ∆ℓ0 nên lực đàn hồi có độ lớn cực

tiểu bằng 0 tại vị trí lò xo không biến dạng,

khi đó vật ở li độ x1 = -4cm

→ Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến

khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu

tương ứng với thời gian vectơ quay quét từ

tính bằng s) Tính từ t=0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớnbằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là

A 0,083s B 0,104s C 0,167s D 0,125s

Bài 3 Vật dao động điều hòa với tần số 5Hz, biên độ A Thời gian ngắn nhất để

vật đi từ li độ x1=-0,5A đến li độ x2=0,5A là

A 1/10 s B 1 s C 1/20 s D 1/30 s

Bài 4 Vật dao động điều hòa với biên độ A Vật đi từ li độ x=A/2 đến li độ x=-A/2

hết khoảng thời gian ngắn nhất là 0,5s Tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từVTCB đến li độ x = A 2

Bài 6 Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng Một điểm M nằm cố

định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vạt Tại thời điểm tthì vật xa M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là Δt vật gần M nhất a) Vật cách VTCB một khoảng A

2vào thời điểm gần nhất là

bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng ba lần thế năng là 0,1s Tần số daođộng của vật là

A 2,1Hz B 0,42Hz C 2,9Hz D 0,25Hz

Bài 8 CLLX nằm ngang gồm vật m=100g và lò xo k=100N/m Từ VTCB kéo vật

theo phương ngang một đoạn A, rồi thả ra cho vật dao động điều hòa Sau khoảngthời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lầnthế năng đàn hồi lò xo?

Bài 9 Vật dao động điều hòa với biên độ 8cm Trong một chu kì, thời gian dài

nhất vật đi từ vị trí có li độ x1=4cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 4 3 cm là0,45s Chu kì dao động của vật là:

A 2s B 5,4s C 0,9s D 1,8s

Bài 10 CLLX treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo

phương thẳng đứng Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm Chọntrục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thờigian t=0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương Lấy g=π2=10 Thời gian ngắn nhất

kể từ khi t=0 đến lúc lực đàn hồi của lò xo đạt cực đại lần thứ hai là

A 0,1 s B 0,5 s C 0,4 s D 0,2 s

12

1.3 Các bài toán sau đây đều có thể quy về dạng bài trên:

1.3.1 Dạng bài và phương pháp giải.

- Bài toán tìm thời điểm vật có vận tốc (v), gia tốc (a), thế năng (Wt), động năng (Wđ),lực hồi phục (F), lực đàn hồi… nào đó

→ Có thể tìm li độ x, rồi dùng phương pháp vectơ quay để tìm ra yêu cầu của bàitoán

- Bài toán tìm số lần vật đi qua li độ x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F,… → tìm ra li độ x) từthời điểm t1 đến t2

→ Dùng phương pháp vetơ quay, và lưu ý rằng, trong mỗi chu kỳ thì vật qua mỗi vịtrí biên 1 lần còn các vị trí li độ khác 2 lần

- Bài toán tìm li độ x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F, → tìm ra li độ x) sau (trước) thờiđiểm t một khoảng thời gian t, biết tại thời điểm t vật có li độ x1

→ Dùng phương pháp vetơ quay, biểu diễn OM 1

khi vật ở li độ x1, sau đó 1 khoảngthời gian là t, vectơ quay quay được góc α, ta biểu diễn vectơ OM lúc đó trênđường tròn Sau đó dựa vào hình vẽ để tìm x

1.3.2 Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2t -π

6) cm Tìmthời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8 cm/s?

- Vì v < 0 nên vectơ quay ở OM1 và OM2

→ Cứ 1 chu kì (vectơ quay được 1 vòng) thì

- Biểu thức vận tốc là: v = 16π.cos(2t +π

3) cm/s(Tức là vận tốc có thể biểu diễn theo hàm

cos nên có thể sử dụng vectơ quay cho

trục vận tốc)

- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0

- Khi v = -8 cm/s thì vectơ quay ở OM1 và OM2

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì vật có v = -8 cm/s 2 lần

→ Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8 cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơquay phải quét 1007 vòng (qua v = -8 cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến

OM2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2 + 

→ Thời điểm cần tìm là: t = α =1007.2π + π = 1007,5s

ω 2π

3) cm Tìmthời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng?

- Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt

ứng với vectơ quay quét từ OM0 đến OM1

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(t - π

4) cm Tìmthời điểm lần thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng?

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A = 5cm và chu kỳ 0,2s.

Tại thời điểm t1, chất điểm có li độ x1 = 2cm đang đi theo chiều dương Hỏi sau đó0,05s chất điểm có li độ là bao nhiêu và chuyển động theo chiều nào?

HD:

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính A = 5cm, trục Ox

nằm ngang

- Tại thời điểm t1, vectơ quay ở OM1

- Sau thời điểm t1 0,05s, vectơ quay quét được

M1

x +

x2

M2

α

Ví dụ 5: Một con lắc dao động với phương trình x = 4cos(4t - /3) cm Xác

định số lần vật qua li độ x = 3cm trong 1,2s đầu tiên

HD:

- Tại thời điểm ban đầu t=0 vật có

x0=2cm và v0> 0 (vectơ quay ở OM0)

- Trong khoảng thời gian t=1,2s, vectơ

quay quét được góc α = ω.t = 4π.1,2

= 4π + 0,8π

- Với góc quét 4π (vectơ quay quét được

2 vòng), vật qua li độ x = 3cm 4 lần, và

vectơ quay lại trở về OM0

- Với góc quét 0,8π = 1440, vectơ quay quét từ OM0 đến OM1, do đó vật đi qua li

độ x = 3cm 2 lần nữa

- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = 3 cm trong thời gian 1,2s đầu tiên là 6 lần

Ví dụ 6: Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt)cm

a) Tính số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong 2s và trong 3,25s

c) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm

+ Với góc quét 0,5π, vectơ quay quét từ OM0 đến OM1, do đó vật không đi qua li

độ x = -2cm lần nào nữa

Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong thời gian 3,25s đầu tiên là 6 lần

c) Xác định vị trí sau thời gian t:

- Khi t = 6s: Véctơ quay quét góc: α = ω.t = 12π → Véctơ quay đã quay 6 vòng

H.1

3

P -4

- Khi t = 1

3s: Véctơ quay quét góc: α = ω.t =

2π3

+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm và v<0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM1) và t +1

3s (OM2) được biểu diễn như H.3 Từ hình vẽ suy ra: x(t+

1

3) = -4cm và đang ởbiên âm

đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì lực hồi phục sinh công

âm trong khoảng thời gian là

A 2013,08 s B 1207,88 s C 1207,4 s D 2415,8 s

HD:

- Tại t=0, vectơ quay ở OM0

- Khi vật ở li độ x = -10cm thì vectơ quay ở