Dự án phát triển bài hình lớp 9 chương II

Chứng minh rằng các đường thẳng QD và EF lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc BQC.. 9 Chứng minh rằng ba đường thẳng AJ EF DI, , đồng quy.. Ta có BI là đường phân gi

Trang 1

GVSB: Nguyễn Công Lợi – nguyencongloi.kt@gmail.com

Bài 1 Cho tam giác ABC có các đường phân giác AA BB CC cắt nhau tại ', ', ' I Đường tròn  I tiếp

xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại , ,, , D E F Gọi , U V lần lượt là giao điểm của EF với , BI CI

Đặt AB a BC a CA b ;  ;  ;2p a b c  

1) Chứng minh rằng

 900 1

2

và AB2 AC2 BC2  2BC AC. .cosC



AB AC AB AC BC AI

3) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạnh CA và CB Tại M và N

Chứng minh rằng BC AI. 2 CA BI. 2 AB CI. 2 AB BC CA . .

2

os 2



a

A

l

A

với AA' l a

5) Gọi J là trung điểm của BC Gọi giao điểm của đường cao AH và JI là K Chứng minh

rằng AK r .

6) Chứng minh rằng UBV UCV  

7) Phân giác của góc EDF cắt EF tại Z và phân giác của góc BIC cắt BC tại O Chứng

minh rằng DZ song song với OI

8) Gọi Q là hình chiếu của D trên EF Chứng minh rằng các đường thẳng QD và EF lần lượt

là phân giác trong và phân giác ngoài của góc BQC

9) Chứng minh rằng ba đường thẳng AJ EF DI, , đồng quy.

10) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB IC AC IB 

2

12) Chứng minh rằng AI BI CI  6r

8

' ' ' 27

AI BI CI

AA BB CC

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 1.

DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG II:

ĐƯỜNG TRÒN

Trang 2

14) Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi 3

2

  

a

, với l là độ dài đường a

phân giác của góc A

15) Gọi giao điểm của A B’ ’ và CC là ’ M' và giao điểm của BB’ và ’ ’A C là ' N Chứng

minh rằng AA' là tia phân giác của góc M AN  ' '

HƯỚNG DẪN GIẢI

Q'

P'

C'

B'

A'

G Z

O

V

U Q

R

S

J

I

H K

T

M P

N

F

E

X

B

A

1) Chứng minh rằng

90 2

và AB2 AC2BC2  2BC AC. .cosC

+ Ta có

+ Vẽ đường cao AH và áp dụng định lý Pythago cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có



AB AC AB AC BC AI

Trên tia AI lấy điểm T sao cho ABT#ALC, khi đó ta được ALC#BLT Do đó

'

AT AA AB AC và TA AA' 'A B' A'C

Do đó AT  AA AT' AB AC A B CA  ' ' hay ta được A'A2 AB AC A B  ' A'C

Ta có BI là đường phân giác của tam giác ABA' nên ta được

Trang 3

Suy ra

' 



AB BC BA

AB AC Hoàn toàn tương tự ta được

' 



AC BC CA

AB AC nên ta được

2 2

AB AC AB BC CA AB AC BC

AB AC BC

Mà ta lại có BI là phân giác của tam giác ABA' nên

' 'B



AB BC

AB AC

Suy ra '





AA AB BC CA Từ đó ta được



AB AC AB AC BC AI

3) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạnh CA và CB Tại M và N

Chứng minh rằng BC AI. 2 CA BI. 2 AB CI. 2 AB BC CA . .

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có

2

Từ đó suy ra AMI INB AIB  

Mặt khác do IAM IAC IBN '; IBA Từ đó suy ra  AMI#AIB#INB

Do AMI∽INB nên

2

Do đó CA BC. AM BC BN CA CI.  .  2 CA BC AB AM BC AB BN CA AB CI AB    2  1

Mặt khác do AMI#AIB#INB nên  ; 

AM AI AB IB  AM AB AI BN AC BI·  2; ·  2  2

Thay vào hệ thức  1 ta được BC AI 2 CA BI 2 AB CI 2 AB BC CA

2

os 2



a

A

l

A

với AA' l a

+ Tính được

1 sin sin os

ABC

Lại có

1 . '.sin



ABD

A

Do đó

2 os

2



ABC ABD

A

AB c

Trang 4

Do đó ta được

2 os 2 os

+ Áp dụng cách chứng inh tương tự như ý 1) cho tam giác ABA' và ACA ta có '

Để ý rằng A A' 2 AB AC BA CA nên ta có .  '. '

2

' ' 2 ' 2 ' ' 2

4

A

Suy ra

a

+ Từ hai kết quả trên ta được

2

os 2

a

A

l

A

Do đó ta được





a

bcp p a l

b c

5) Gọi J là trung điểm của BC Gọi giao điểm của đường cao AH và JI là K Chứng minh rằng



AK r.

Gọi DX là đường kính của đường tròn  I Đường thẳng đi qua điểm X và song song với BC cắt AB

tại P Từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được PX đi qua điểm M

Gọi chu vi tam giác ABC là 2 p AB BC CA  Khi đó áp dụng định lí Thales ta có

Từ đó ta được YC  p AC, mà ta lại có 2BD2p 2AC nên ta được BD p AC 

Điều này dẫn đến YC BD , suy ra  JD JY nên JI là đường trung bình của tam giác  DXY

Suy ra JI song song với XY nên tứ giác AKIX là hình bình hành Do đó ta được AK OX r

6) Chứng minh rằng UBV UCV  

Trang 5

Theo giả thiết của bài toán ta có

 1 

2



Do AEF là góc ngoài của tam giác ECV nên ta có

   AEF 1

2

Mà ta lại có

AEF 90

2

  BAC

Từ đó ta được

 0 1   1 

90

Kết hợp hai kết quả ta thu được VUB VCB  

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có UVC UBC Dẫn đến   UIV#CIB nên 

IB IC

Mà lại có BIV CIU nên suy ra  BIV#CIU , do đó ta được UBV UCV  

7) Phân giác của góc EDF cắt EF tại Z và phân giác của góc BIC cắt BC tại O Chứng minh

rằng DZ song song với OI

Ta có biến đổi góc như sau

Mà

EDF  ABC  ACB  ACB   ABC  ACB

Mặt khác do OI là phân giác của góc BIC nên ta có

Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra ZDC IOC nên OI song song với   DZ.

8) Gọi Q là hình chiếu của D trên EF Chứng minh rằng các đường thẳng QD và EF lần lượt là

phân giác trong và phân giác ngoài của góc BQC

Gọi S và R theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên EF Ta có AE và AF là hai tiếp tuyến với

đường tròn  I Khi đó dễ thấy BFS AFE AEF CER nên hai tam giác vuông BSF và CRE  

đồng dạng với nhau Từ đó ta suy ra được 

BF CE Để ý rằng BF BD và CE CD nên ta lại có



BD CD hay ta được 

CR CD Mà ta lại có BS DQ CR, , song song với nhau nên ta dễ dàng chứng

minh được



CD RQ Từ đó ta lại được 

CR RQ , điều này dẫn đến hai tam giác vuông BSQ và CRQ đồng dạng với nhau Từ đó suy ra  BQS CQR Do DQ vuông góc với  EF nên ta lại có

Trang 6

 

BQD CQD hay QD là phân giác trong của góc BQC nên đồng thời EF là phân giác ngoài của góc

BQC

9) Chứng minh rằng ba đường thẳng AJ EF DI, , đồng quy.

Để chứng minh AJ EF DI đồng quy ta gọi , ’, , G J lần lượt là giao điểm của ID với EF , của AG với

BC và chứng minh hai điểm J và ' J trùng nhau Trong tam giác ABC ta có



1

2

AB AN sin BAJ S

J C S ACJ AC AN sin CAJ AC sin CAJ

Trong tam giác AEF ta có



'

:

AGE



1 2

1 . 2

EIG

IF IG sin FIG S

Từ đó ta có được

' 1 ' 

J B

J C nên suy ra 'J là trung điểm của BC hay hai điểm J và J’ trùng nhau Vậy các

đường thẳng AJ EF DI, , đồng quy.

10) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB IC AC IB 

+ Dễ thấy khi tam giác ABC cân tại A thì AB AB IB IC ;  nên ta được AB IC AC IB 

+ Ta chứng minh nếu AB IC AC IB thì tam giác ABC cân tại  A

Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên IF IE Áp dụng định lí Pythago vào các tam giác

vuông BIF và CIE ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Do đó ta được BI CI BI CI      BF CE BF CE     Từ giả thiết AB IC AC IB ta được

AB AC BI IC Mà ta có BF CE AB AC nên ta được 

BI IC AB AC      BF CE AB AC      AB AC BI CI BF CE       0

Do BIBF CI CE;   BI CI BF CE   0

Do đó ta được AB BC  0 AB AC Vậy tam giác ABC cân tại  A

2

Áp dụng tính chất đường phân giác ta được

Trang 7

Mặt khác ta có 'C I là đường phân giác của tam giác AA C nên '’  '  'C

A I A C A Từ đó 'I





hay

'





AI b c Hoàn toàn tương tự ta được

Khi đó ta được

Ta cần chứng minh được   2

Vì a là độ dài cạnh tam giác nên a là số thực dương, do đó     

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng 2



x y xy

ta được  

2



 



a b c

Chứng minh tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được   2

b c c a a b

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  0, điều này trái với giả thiết a, b, c là các cạnh của tam giác

Do vậy đẳng thức không xẩy ra

Tức là ta được   2

b c c a a b Vậy ta được

2

12) Chứng minh rằng AI BI CI  6r

Mặt khác ta có CI là đường phân giác của tam giác AA’C nên

'





AI A I

a

Mà ta lại có IA' ID r Do đó ta được ' .

 b c b c

Tương tự ta chứng minh được  a c ;  a b

Từ đó ta được

a b b c c a

AI BI CI r

Mà ta có a b b c c a      a b a c bc 6

Do đó ta được AI BI CI  6r , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Trang 8

8

' ' ' 27

AI BI CI

AA BB CC

Mặt khác ta có CI là đường phân giác của tam giác AA’C nên 'I









 

AA a b c

Hoàn toàn tương tự ta được ;

Từ đó

' ' '



 

a b b c c a

AI BI CI

Ta cần chứng minh được

8 27



 

a b b c c a

a b c

Thật vậy, dễ thấy

2

 

a b c

Mà theo bất đẳng thức AM – GM Ta có

3

 

a b c

Hay

8 27



 

a b b c c a

a b c Từ đó ta được AA BB CC AI BI'. '. CI' 278 .

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi  a b c hay tam giác ABC đều.

14) Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi 3

2

  

a

, với l là độ dài đường phân giác a

của góc A

+ Dễ thấy nếu tam giác ABC đều thì ta có

3 2



a

a l

và  a b c Khi đó ta có 3a 2  

a

+ Ta cần chứng minh: Nếu 3

2

  

a

thì tam giác ABC đều

Theo kết quả của ý 3) ta có

'

a

Khi đó ta được

2 2 2

2

2 os 2

2

os 2

   

a

A

l

A

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

1 2





bc

Nên ta có

2 2



b c

Trang 9

Lại có

2 0 2



b c

a

nên ta được

2

2 0 4



b c

Do đó ta được

2

2 2

Do đó ta được 3  2 2  2

2 2

Kết hợp  1 và  2 với 3a 2  

a

, ta được ;

2



 b c

b c a

Suy ra  a b c hay tam giác ABC đều.

15) Gọi giao điểm của A B’ ’ và CC là ’ M' và giao điểm của BB’ và ’ ’A C là ' N Chứng minh

rằng AA' là tia phân giác của góc M AN  ' '

Từ M' và 'N kẻ các đường thẳng M P’ ’ và ’ ’N Q P'AC Q, 'AB song song với AA’ Theo định

lí Thales ta có

' '  ' '   ' '

AP

' ' '  ' '   ' '

P M

Khi đó ta được ' ' ' '  1

' ' ' ' '

P M M B AA Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có

'

CB

Chứng minh tương tự ta được ' ; '

Mặt khác ta lại có

' ' ' 'B' '



M CB b c , thay vào hệ thức  1 ta được

' '  '

Chứng minh tương tự ta được

' '  '

N Q b c AA Từ đó ta được

' ' ' '

Lại có P M’ ’ song song với AA’ nên    

' ' 180 ' ' ' 180 ' 180

2

Tương tự ta được

' ' 180

2

Nên ta được AP M' 'AQ N' '

Do đó ta có AP M' '#AQ N' ', suy ra P AM' 'Q AN ' ' N AA' 'M AA hay  ' ' AA’ là tia phân

giác của góc M AN  ' '

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	0,93 MB